函数的极值与导数--完整版PPT课件

1、1.3.2 函数的极值与导数跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t(单位：秒)存在函数关系h(t)= 2+10其图象如右.单调递增单调递减1、对于d点函数y=f(x)在点x=d的函数值f(d)比在其附近其他点的函数值都小， =0 ，并且在点x=d 附近的左侧 0我们把点d叫做函数y=f(x)的极小值点，f(d)叫做函数y=f(x)的极小值。在点 x=e 附近的左侧 0在点 x=e 附近的右侧 02、对于e点函数y=f(x)在点x=e的函数值f(e)比在其附近其他点的函数值都大， =0 ，并且我们把点e叫做函数y=f(x)的极大值点，f(e)叫做函数y=f(x)的极大值

2、。3、极小值点、极大值点统称为极值点 极小值、极大值统称为极值1.函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？想一想做一做已知导函数f(x)的下列信息:当1x3时,f(x)3,或x0;当x1,或x3时,f(x)0.则f(x)的极大值点为_,极小值点为_.答案:x1x3例1：（1）求函数f(x)=x3-12x+12的极值。解： =3x2-12=3(x-2)(x+2)令 =0得x=2,或x=-2下面分两种情况讨论：(1)当 0即x2,或x-2时;(2)当 0即-2x0,得x1,所以f(x)的单调增区间为(-,-2) 和(1,+)由 0,得-2x1,所以f(x)的单调减

3、区间为(-2,1)练习2:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为 10,求a、b的值.解: =3x2+2ax+b=0有一个根x=1,故3+2a+b=0.又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.由、解得 或当a=-3,b=3时, ,此时f(x)在x=1处无极值,不合题意.当a=4,b=-11时,-3/11x1时, ,此时x=1是极值点.从而所求的解为a=4,b=-11.例3:已知f(x)=ax5-bx3+c在x= 1处有极值,且极大值为 4,极小值为0.试确定a,b,c的值.解:由题意, 应有根 ,故5a=3b,于是:(1)设a0,列表如下: x -1 (-1,1) 1

4、 + 0 0 + f(x) 极大值 极小值 由表可得 ,即 .又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2.(2)设a0,列表如下: x -1 (-1,1) 1 - 0 0 0 - f(x) 极小值 极大值 由表可得 ,即 .又5a=3b,解得a=-3,b=-5,c=2.题型三与函数极值有关的综合问题例3 已知a为实数,函数f(x)x33xa.(1)求函数f(x)的极值,并画出其图象(草图);(2)当a为何值时,方程f(x)0恰好有两个实数根？【思路点拨】函数f(x)的导数f(x)求极值、画图象需运用导数求解.【解】(1)由f(x)x33xa,得f(x)3x23,令f(x)0,得x1或x1.1分当

5、x(,1)时,f(x)0;当x(1,)时,f(x)0.2分所以函数f(x)的极小值为f(1)a2;极大值为f(1)a2.由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象,如图所示.这里,极大值a2大于极小值a2.(2)结合图象,当极大值a20时,有极小值小于0,此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点,即方程f(x)0恰有两个实数根,所以a2满足条件;当极小值a20时,有极大值大于0,此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点,即方程f(x)0恰好有两个实数根,所以a2满足条件.综上,当a2时,方程恰有两个实数根.【小结】研究方程根的问题可以转化为研究相应函数图象的问题,一般地,方程f(x)0的根就是函数f(x)

6、的图象与x轴交点的横坐标,方程f(x)g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标.互动探究2.本例条件不变,求当a在什么范围内取值时,曲线yf(x)与x轴仅有一个交点？解:函数f(x)的大致图象如图所示:当函数f(x)的极大值a20时,曲线yf(x)与x轴仅有一个交点,所以所求实数a的范围是a2.备选例题由上表可以看出:当x1时,函数有极小值,并且极小值为f(1)3;当x1时,函数有极大值,并且极大值为f(1)1.x(,1)1(1,1)1(1,)f(x)00f(x)极小值3极大值1为何值时,方程x33x2a0恰有一个实根？两个不等实根？三个不等实根？有没有可能无实根？解:令f(x)x33x2,则f(x)的定义域为R,由f(x)3x26x0,得