第3章-图形变换课件

1、第3章 图形变换 3.1 几何变换 3.2 投影变换 3.3 窗口视区变换 3.4 视向变换作业1 作业2 作业3 3.1 几何变换二维空间中，用（x，y）表示平面上的一点；三维空间中，用（x，y，z）表示空间一点。用点的集合（简称点集）表示平面图形或三维立体，其矩阵形式为：,3.1 几何变换3.1.1 几何变换的齐次坐标法 齐次坐标：用n+1维向量表示n维向量的方法。2D平面上的点 (x,y)表示成齐次坐标的形式为： (Hx,Hy,H)当H=1时，(x,y,1)称为点(x,y)的规范化齐次坐标。由点的齐次坐标(Hx,Hy,H)求点的规范化齐次坐标(x,y,1)，可按如下公式： x=Hx/H

2、y=Hy/H3.1 几何变换齐次坐标的几何意义： 相当于图形落在3D空间H=1的平面上。3.1 几何变换图形变换可以通过相应的矩阵运算来实现，即： 矩阵运算 图形旧点集 变换矩阵 图形新点集 3.1 几何变换其中，变换矩阵 T 定义如下：a、b、c、d 四项用于图形的比例、对称、旋转等基本变换；k、m 用于图形的平移变换；p、q 用于图形的透视变换；s用于图形的全比例变换。 k3.1 几何变换3.1.2 二维基本变换 1、平移变换定义：将图形上的所有点按照给定的偏移量在水平方向沿x轴、在垂直方向沿y轴移动，平移后的图形与原图形相同。平移变换的矩阵表示：T = ，则 x y 1 = x+k y+

3、m 1= x y 1 3.1 几何变换例，令k = 10，m = 10，对图中的三角形ABC作平移变换。yxABCABC0 10 20102030 x y x y = 3.1 几何变换2、旋转变换定义：以图形的中心为原点，将图形上的所有点都旋转一个相同的角度。旋转变换的矩阵表示：假定图形绕坐标原点旋转角，且逆时针为正，顺时针为负，变换矩阵如下： T =3.1 几何变换则对点进行旋转变换：例，对三角形ABC绕坐标原点逆时针旋转60 x y 1 = xcosysin xsin+ycos 1= x y 1 x y x y = 3.1 几何变换旋转60的结果：yxABCABC600-20 -10 0

4、10 20 10203.1 几何变换3、比例变换定义：比例变换是让原图形上的点x,y坐标各乘以一 个比例因子，从而得到新图形。 x = ax y = dy 比例变换的矩阵表示：T = ，则 x y 1 = ax dy 1 = x y 1 3.1 几何变换 若a = d = 1, 为恒等变换，变换后点的坐标不变。 若a = d 1，为等比例变换，则有：a = d 1，图形等比例放大；0 a = d 1，图形等比例缩小。 若ad，则变换后图形将变形。 3.1 几何变换 例1，将三角形P1P2P3放大2倍。 (a = d = 2) 例2，将三角形P1P2P3经比例变换，选择a=2, d=3 。3.1

5、 几何变换 (a) 三角形等比例变换； (b) 三角形畸变3.1 几何变换4、对称变换对称变换可分为对坐标轴（x或y轴）、45线以及原点的对称变换。(1) 对x轴的对称变换点对x轴对称应有：X = X，Y = Y，则矩阵表示为： T = ， 即 X Y 1 = X Y 1 = X Y 1 3.1 几何变换(2) 对y轴的对称变换点对y轴对称应有：X = X，Y = Y，则矩阵表示为：T = ，即 X Y 1 = X Y 1 = X Y 1yxABC10 201020对坐标轴的对称变换 3.1 几何变换(3) 对原点的对称变换点对原点对称变换应有：X = X，Y = Y，则矩阵表示为：T = ，

6、即 X Y 1 = X Y 1 = X Y 1 yxABC10 201020对原点的对称变换 3.1 几何变换(4) 对 45线的对称变换点对45线的对称变换应有： X = Y，Y = X，则矩阵表示为：点对 45线的对称变换应有：X = Y，Y = X，则矩阵表示为： T = ，即 X Y 1 = Y X 1 = X Y 1 T = ，即 X Y 1 = Y X 1 = X Y 13.1 几何变换yxABC10 20102030对+45和45线的对称变换3.1 几何变换3.1.3 二维组合变换定义：由多种基本变换组合而成的变换称为组合变换，相应的变换矩阵叫做组合变换矩阵。分类：同一种基本变换

7、依次连续进行若干次；包含有不同的基本变换。组合变换矩阵：等于基本变换的矩阵按顺序依次相 乘得到。3.1 几何变换1、复合平移 设原图形先平移到新位置P1(l1 , m1 )后，再将图形平移到P2(l2 , m2 )位置，则复合平移矩阵表示为：总结：结果是对平移常量作加法运算。3.1 几何变换2、 复合比例 对某个图形连续进行比例变换，最后合成的复合比例矩阵表示如下：总结：结果是对比例常量作乘法运算。3.1 几何变换3、 复合旋转 对某个图形连续进行旋转变换，最后合成的复合旋转矩阵表示如下：总结：结果是等于两次旋转角度的和。3.1 几何变换4、绕任意点旋转变换平面图形绕任意点P(xp , yp)

8、逆时针旋转角，通过以下步骤实现： 将旋转中心P平移到坐标原点，变换矩阵为： T1 = 3.1 几何变换 将图形绕坐标原点逆时针旋转角，变换矩阵为： 将旋转中心P平移回到原来的位置，变换矩阵为： T2 = T3 = 3.1 几何变换则绕任意点P的旋转变换矩阵为： T = T1 T2 T3 = T = 3.1 几何变换例，设P1P2P3三个顶点分别为P1(10,20), P2(20,20), P3(15,30), 它绕点Q(5,25)逆时针方向旋转30，求其变换矩阵及旋转后各顶点坐标。3.1 几何变换3.1 几何变换3.1.4 三维基本变换三维空间中点的规范化齐次坐标 三维空间变换的一般公式x y

9、 z 1 = x y z 1 T3D (x, y, z) (x, y, z, 1)3.1 几何变换三维变换矩阵T3D = 3.1 几何变换1、平移变换定义：指三维立体沿x、 y、 z三个方向分别移动k, m, n到一个新的空间位置。 平移后, 立体的大小和形状保持不变。矩阵表示： x y z 1 = x y z 1T = x+k y+m z+n 13.1 几何变换三棱锥的平移变换示意图 3.1 几何变换2、比例变换定义：指三维立体在x、 y、 z三个方向以原点为中心，分别放大或缩小a, e, j倍，得到一个新的三维立体。变换后，三维立体的大小和形状可能发生改变。矩阵表示： x y z 1 =

10、x y z 1T = ax ey jz 1 T = 3.1 几何变换（1）当a=e=j时，三维立体在三个方向以相等比例 放大或缩小；（2） a、e、j不等时，三维立体发生畸变。正方体的等比例变换3.1 几何变换三棱锥的不等比例变换3.1 几何变换3、旋转变换定义：给定的三维立体绕三维空间某个指定的坐标轴旋转角度。 旋转后，立体空间位置发生变化，但形状不变。 注意：三维旋转变换可以看作是三个二维旋转变换，且旋转轴分别为x，y，z轴。角的正负判定：右手规则3.1 几何变换 绕x轴旋转角立体上各点的y、z坐标改变，x坐标不变。x*=xy*=y cos - z sin z*=y sin + z cos

11、 变换矩阵为： 3.1 几何变换 绕y轴旋转角立体上各点的x，z坐标改变，y坐标不变。 x*= x cos + z sin y*= y z*= -x sin + z cos 变换矩阵为： 3.1 几何变换 绕z轴旋转角立体上各点的x，y坐标改变，z坐标不变。 x*= x cos - y sin y*= x sin + y cos z*= z变换矩阵为： 3.1 几何变换例，设三棱柱ABCDEF的各顶点为：A(0,0,0)，B(20,0,0)，C(0,10,0)，D(0, 0, 10)，E(20, 0, 10)，F(0, 10, 10)求三棱柱ABCDEF绕x、 y、 z各轴正向旋转90后各顶点

12、的新坐标。3.1 几何变换旋转变换3.1 几何变换4、对称变换三维对称变换包括：对原点、对坐标轴、对坐标平面的对称，常用的是对坐标平面的变换。 对xoy平面的对称x、 y坐标保持不变，z坐标互为相反数。矩阵表示： x y z 1 = x y z 1 Txoy = x y z 13.1 几何变换 对xoz平面的对称x、 z 坐标保持不变， y坐标互为相反数。矩阵表示： x y z 1 = x y z 1 Txoz = x y z 1 3.1 几何变换对yoz平面的对称y、 z 坐标保持不变， x坐标互为相反数。矩阵表示： x y z 1 = x y z 1 Tyoz = x y z 13.1 几

13、何变换 (a) 对xOy面的对称； (b) 对yOz面的对称; (c) 对xOz面的对称3.1 几何变换3.1.5 三维组合变换三维组合变换矩阵：三维基本变换矩阵，按一定顺序依次相乘。三维复合平移、复合比例和复合旋转实例：绕任意轴旋转的问题设空间有一旋转轴AA ，A点坐标是(xA，yA，zA)，A点坐标是(xA，yA，zA)，空间一点P(x，y，z)绕AA轴旋转角到P (x ，y ，z )。3.1 几何变换 ZXYAAPPO3.1 几何变换该三维复合变换的矩阵表示： x y z 1 = x y z 1TT ：绕任意轴旋转的变换矩阵，由基本变换矩阵组合而成。构造矩阵T ，步骤如下： 将点P与旋转

14、轴AA一直起作平移变换，使旋转轴AA过原点，A与原点重合，其变换矩阵为： 3.1 几何变换3.1 几何变换 令AA轴首先绕X轴逆时针旋转角，使其与XOZ平面共面，然后再绕Y轴顺时针旋转角，使其与Z轴重合，该变换矩阵为：和可通过旋转轴的两个端点坐标计算得到。 3.1 几何变换 将P点绕Z轴（AA轴）旋转角，变换矩阵为： 对步骤作逆变换，将AA旋转回到原来位置，变换矩阵为： 3.1 几何变换 对步骤作逆变换，将旋转轴平移回到原来的位置，变换矩阵为： 3.1 几何变换以上五步连起来，组成绕任意轴旋转变换矩阵：3.2 投影变换定义投影变换：将三维坐标表示的几何形体变换成二维坐标表示的图形的过程。分类平

15、行投影：投影中心与投影平面之间距离无穷大。透视投影：投影中心与投影平面之间距离是有限的。3.2 投影变换 (a) 平行投影； (b) 透视投影3.2 投影变换3.2 投影变换3.2 投影变换3.2.1 正平行投影变换（三视图变换）定义：投影面与某一坐标轴垂直的正平行投影。三视图在三维坐标系OXYZ中，有三个投影平面，表示为：XOY面 H面XOZ面 V面YOZ面 W面3.2 投影变换V面上的投影主视图H面上的投影俯视图W面上的投影侧视图XZYHWVO三面视图的定义 3.2 投影变换1、正面(V面)投影的主视图变换将立体向xOz平面(V面)作垂直投影，即Y=0，变换矩阵为：3.2 投影变换2、水平

16、面(H面)投影的俯视图变换将立体向xOy平面(H面)作垂直投影，即Z=0，变换矩阵为：3.2 投影变换3、侧面(W面)投影的侧视图变换将立体向yOz平面(W面)作垂直投影，即X=0，变换矩阵为：3.2 投影变换例：设六面体各顶点的坐标位置为A(0, 2, 0), B(2, 2, 0), C(2, 0, 0), D(0, 0, 0) E(0, 2, 2), F(2, 2, 2), G(2, 0, 2), H(0, 0, 2)试求六面体各顶点在V、 H、 W面上的投影坐标。3.2 投影变换3.2.2 正轴测投影变换定义将空间立体绕某个投影面所包含的两个轴旋转，再向该投影面做正投影，即得到立体的正轴

17、测图。投影过程描述选V面做轴测投影面，立体先绕Z轴逆时针旋转角，再绕X轴顺时针旋转角，最后向V面正投影。3.2 投影变换正轴测投影变换矩阵3.2 投影变换（1）正等轴测（正等测）定义：投影面与三个坐标轴的夹角都相等时的正轴测变换，即=45，=35 16。正等测投影变换矩阵3.2 投影变换例：对长方体进行正等轴测投影变换3.2 投影变换ZXY长方体的正等轴测图 将立体放置成使它的三条坐标轴与轴测投影面具有相同的夹角(3516) ，然后向轴测投影面作正投影。 3.2 投影变换（2）正二轴测（正二测）定义：投影面与两个坐标轴夹角相等时的正轴测变换，即=2042，=19 28。正二测投影变换矩阵3.2

18、 投影变换例：对长方体进行正二轴测投影变换3.2 投影变换长方体的正二轴测图ZXY3.2 投影变换3.2.3 透视投影变换1、几个基本概念透视投影：从视点发出的所有通过对象的射线和投影平面的交点形成了对象的透视投影。灭点：不平行于投影面的视线汇聚到一点，这个点称为灭点。主灭点：坐标轴方向的视线在投影面上形成的灭点。主灭点最多3个。3.2 投影变换透视投影 3.2 投影变换分类：（按主灭点的个数分） 一点透视 二点透视 三点透视 (a) 一点透视； (b) 二点透视； (c) 三点透视3.2 投影变换2、一点透视变换定义：只有一个主灭点，投影面与一个坐标轴正交，与另外两个坐标轴平行。需要考虑的几

19、点：（1）三维物体与投影面的相对位置；（2）视距，即视点与投影面的距离；（3）视点的高度。3.2 投影变换讨论：灭点在z轴上的一点透视变换假设视点在坐标原点，z坐标轴方向与观察方向一致， 三维形体上某一点P(x, y, z)，一点透视变换后在投影面UO*V上的对应点为P*(x*, y*, z*)，投影面与z轴垂直，与视点的距离为d，z轴过投影面窗口的中心O*。3.2 投影变换3.2 投影变换一点透视变换的矩阵形式为：3.2 投影变换整理之后得：则透视变换矩阵T为：3.2 投影变换例：已知投影面为xoy坐标平面，投影中心（视点）在z轴的正向，z=d的位置上，求此时一点透视投影的变换矩阵。 V是投

20、影中心，z为负值 3.2 投影变换解：如图所示，由几何关系得, 同理 3.2 投影变换设投影矩阵为T，则有，根据上式可以得到： 3.3 窗口视区变换一、坐标系世界坐标系（用户坐标系，WCS）一个符合右手定则的直角坐标系。单位根据所描述实际对象的大小来确定，定义域为实数域且无界。YXOYXOZ3.3 窗口视区变换设备坐标系（物理坐标系，DCS）图形输出设备自身的坐标系。是一个二维平面坐标系，度量单位是步长（绘图仪）或象素（显示器），定义域是整数域且是有界的。规格化设备坐标系（NDCS）与设备无关的规格化的设备坐标系。取值范围为：左下角（0.0，0.0），右上角（1.0，1.0）3.3 窗口视区变

21、换WCS、 NDCS和DCS间的转换 yxWCSO3.3 窗口视区变换二、窗口与视区窗口：在用户坐标系中定义的确定显示内容的一个矩形区域。窗口内的图形在设备坐标系下输出，窗口外的部分则被裁掉。YXOWxlWxrWybWyt(Wxl,Wyb)(Wxr,Wyt)用矩形的左下角点（Wxl，Wyb）和右上角点（Wxr，Wyt）确定窗口的大小和位置。3.3 窗口视区变换视区：在设备坐标系中定义的一个矩形区域，用于输出窗口中的图形。视区决定了窗口中的图形要显示于屏幕上的位置和大小。YXOVxlVxrVybVyt(Vxl,Vyb)(Vxr,Vyt)用矩形的左下角点（Vxl，Vyb）和右上角点（Vxr，Vyt

22、）确定视区的大小和位置。3.3 窗口视区变换在同一屏幕上可以定义多个视区，用来同时显示不同的图形信息。分别显示一个机械零件的前视图，侧视图、顶视图和轴测图3.3 窗口视区变换窗口与视区示意图 3.3 窗口视区变换边与坐标轴不平行的窗口及其视区示意图3.3 窗口视区变换窗口-视区变换1、定义把用户坐标系的坐标值转化为设备坐标系的坐标值，这个变换即为窗口-视区变换。2、变换公式用户坐标系下定义的窗口为：左下角点（Wxl，Wyb），右上角点（Wxr，Wyt）；设备坐标系中定义的视区为：左下角点（Vxl，Vyb），右上角点（ Vxr，Vyt）。 3.3 窗口视区变换3.3 窗口视区变换窗口中的点W(x

23、w，yw)投影到视区中的点V(xv，yv)，有下列等式关系： （1）3.3 窗口视区变换由（1）式得窗口中点W(xw，yw)变换到视区中对应的点V(xv，yv)二者之间的关系为： （2）3.3 窗口视区变换设 ： 3.3 窗口视区变换写成矩阵为：3.3 窗口视区变换图形窗口与屏幕视区的对应关系 3.3 窗口视区变换窗口-规格化设备坐标-视区变换进行窗口-视区变换时应尽可能使图形程序设计与设备无关，将视区设置在规格化设备坐标系中。3.3 窗口视区变换 （2）(1) 窗口-规格化设备坐标由于Vxr=Vyt=1, Vxl=Vyb=0, 变换公式(2)表示如下:3.3 窗口视区变换(2) 规格化设备坐标-视区变换根据物理输出设备坐标或具体显示器屏幕尺寸和分辨率，再将规格化设备坐标变换到具体视区内。全屏显示情况下，屏幕的显示分辨率为10241024像素单位时，显示点坐