3.5.1 二元一次不等式（组…1

1、教学设计35.1二元一次不等式(组)所表示的平面区域整体设计教学分析前面已经学习了一元一次不等式(或组)、一元二次不等式及其解法，并且知道相应的几何意义作为不等式模型，它们在生产、生活中有着广泛的应用然而，在不等式模型中，除了它们之外，还有二元一次不等式模型教材通过举例验证和归纳猜想的途径，得出二元一次不等式(组)所表示的平面区域本节的主要内容有：二元一次不等式(或组)的概念、表示的平面区域及相应的画法其中，重点是二元一次不等式所表示的平面区域，难点是复杂的二元一次不等式组所表示的平面区域的确定在教学中，可启发学生观察图象，循序渐进地理解掌握相关概念，以学生探究为主，老师点拨为辅，学生之间分组

2、讨论，交流心得，分享成果，进行思维碰撞，同时可借助计算机等媒体工具来进行动态演示本节内容在教学中应体现以下几点：注重探究过程能正确地画出给定的二元一次不等式(组)表示的平面区域，是学习下节简单线性规划问题的重要基础由于二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，决定了问题的研究应从二元一次不等式所表示的平面区域入手注重探究方法充分理解二元一次不等式解集的几何意义，以不等式解(x，y)为坐标的所有点构成的集合，叫做不等式表示的区域或不等式的图象注重探究手段信息技术可作为探究平台，有条件的学校可利用信息技术手段对直线AxByC0一侧的点P(x，y)的坐标进行跟踪显示，并将点P(

3、x，y)的坐标代入AxByC中，观察所得值的符号，由学生发现处于直线AxByC0同侧的点的坐标代入AxByC中符号都相同，直线AxByC0异侧的点的坐标代入AxByC中符号不同，由此得到判定AxByC0(0)表示的是直线AxByC0哪一侧的平面区域三维目标1通过本节探究，使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域；能画出二元一次不等式(组)所表示的平面区域2通过学生的亲身体验，培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力3通过本节学习，着重培养学生深刻理解“数形结合”的数学思想尽管侧重于用“数”研究

4、“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力；培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生大胆探索，勇于创新的科学精神重点难点教学重点：会画出二元一次不等式(组)所表示的平面区域教学难点：二元一次不等式表示的平面区域的确定及怎样确定不等式AxByC0(或0)表示AxByC0的哪一侧区域课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(直接引入)让学生阅读教材，自己得出二元一次不等式(组)的概念，教师结合多媒体点出本节所要解决的问题，由此展开新课的进一步探究思路2.(类比导入)可采用与一元一次、一元二次不等式的类比引出，借助“类比”思想，通过与熟悉的一元一次不等式(

5、组)或一元二次不等式(组)比较，引出二元一次不等式(或组)的概念由此展开新课推进新课eq blc rc (avs4alco1(新知探究)eq blc rc (avs4alco1(提出问题)eq avs4al(1让学生阅读教材，并回答什么是二元一次不等式组？其解集是什么？,2二元一次不等式解集的几何意义是什么？,3怎样判断二元一次不等式AxByC0表示的是直线AxByC0哪一侧的平面区域？,4直线AxByC0将平面内的点分成了哪几类？)活动：教师引导学生得出二元一次不等式(组)的概念后，借助多媒体课件进一步探究二元一次不等式解集的几何意义，以及如何求二元一次不等式在直角坐标平面上表示的区域，以直

6、线l：xy10为例如图由直线方程的意义可知，直线l上的点的坐标都满足l的方程，并且直线l外的点的坐标都不满足l的方程事实上，在平面直角坐标系中，所有的点被直线xy10分为三类：在直线xy10上；在直线xy10右上方的平面区域内；在直线xy10左下方的平面区域内如(0,2)、(1,3)、(0,5)、(2,2)点的坐标代入xy1中，有xy10，(0,2)、(1,3)、(0,5)、(2,2)点在直线xy10的右上方(1,2)点的坐标代入xy1中，有xy10，(1,2)点在直线xy10上(1,0)、(0,0)、(0，2)、(1，1)点的坐标代入xy1中，有xy10，(1,0)、(0,0)、(0，2)、

7、(1，1)点在直线xy10的左下方如图因此，我们猜想，对直线xy10右上方的点(x，y)，xy10成立；对直线xy10左下方的点(x，y)，xy10成立这个结论不仅对这个具体的例子成立，而且对坐标平面内的任一条直线都成立一般地，直线l：AxByC0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分直线l的同一侧的点的坐标使式子AxByC的值具有相同的符号，并且两侧的点的坐标使AxByC的值的符号相反，一侧都大于0，另一侧都小于0.由于对在直线AxByC0同一侧的所有点(x，y)，实数AxByC的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax0By0C的正、负就可判断AxByC0表示直

8、线哪一侧的平面区域当C0时，我们常把原点作为这个特殊点去进行判断如把(0,0)代入xy1中，xy10.这说明xy10表示直线xy10左下方原点所在的区域，就是说不等式所表示的区域与原点在直线xy10的同一侧如果C0，直线过原点，原点坐标代入无法进行判断，则可另选一个易计算的点去进行判断讨论结果：(1)含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式称为二元一次不等式构成的不等式组称为二元一次不等式组(2)二元一次不等式解集的几何意义为：不等式表示的区域或不等式的图象(3)取点验证(4)将平面内的点分成了三类：在直线上，在直线左右两侧eq blc rc (avs4alco1(应用示例)例1(教材

9、本节例1)活动：通过本例要教给学生如何画出二元一次不等式所表示的区域要严格要求学生按规定画图，并且画图时要细致、正确注意开区域和闭区域边界的画法教师要给出示范直线画成虚线表示不包括边界，画成实线表示包括边界点评：本例的关键是正确画出直线2xy30和3x2y60.阴影部分用短线表示，且短线要画得均匀美观.变式训练画出以下不等式表示的平面区域(1)xy10；(2)2x3y60；(3)2x5y100; (4)4x3y12.解：(1) (2) (3) (4) 例2画出不等式组eq blcrc (avs4alco1(x3y60，,xy20)表示的平面区域活动：教师引导学生正确画出边界直线，注意虚线、实线

10、，同时根据给出的不等式判断出所表示的平面区域，将平面区域的公共部分用阴影表示出来解：x3y60表示直线上及其右上方的点的集合xy20表示直线左上方一侧不包括边界的点的集合如下图阴影部分点评：在确定这两个点集的交集时，要特别注意其边界线是实线还是虚线，还有两直线的交点处是实点还是空点.变式训练1画出不等式组eq blcrc (avs4alco1(xy50，,xy0，,x3)表示的平面区域解：不等式xy50表示直线xy50右下方的平面区域，xy0表示直线xy0右上方的平面区域，x3表示直线x3左方的平面区域，所以原不等式表示的平面区域如下图中的阴影部分点评：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示

11、的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分引导学生观察所画出的图形是个封闭图形，三条直线两两相交的交点是个实点2若A为不等式组eq blcrc (avs4alco1(x0，,y0，,yx2)表示的平面区域，则当a从2连续变化到1时，动直线xya扫过A中的那部分区域的面积为_答案：eq f(7,4)解析：在平面直角坐标系内画出不等式组所表示的平面区域，以及直线xya从a2到1连续变化时，动直线扫过A中的那部分区域可以看出，该区域是四边形OCDE(如图)，且C(2,0)，D(eq f(1,2)，eq f(3,2)，E(0,1)因此所求区域的面积为eq f(1,2)22eq f(1

12、,2)1eq f(1,2)eq f(7,4).例3画出不等式(x2y1)(xy4)0表示的平面区域活动：教师引导学生将题中不等式转化为两个不等式组：eq blcrc (avs4alco1(x2y10)或eq blcrc (avs4alco1(x2y10，,xy40，,xy40)或eq blcrc (avs4alco1(x2y10)表示的区域，如下图点评：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.变式训练1在平面直角坐标系中，由满足不等式组eq blcrc (avs4alco1(3xy80，,xy，,xy0)的点组成的图形为F，则A(4

13、,4)、B(5,0)、C(2，1)三点中，在F内(含边界)的所有点是_答案：A、C解析：由题意，如图，A(4,4)、C(2，1)在区域内，B(5,0)不在区域内(也可将点的坐标代入不等式组验证)2已知点A(0,0)、B(1,1)、C(2,0)、D(0,2)，其中不在不等式2xy4所表示的平面区域内的点是_答案：C(2,0)解析：不等式可变形为2xy40，对应的直线为2xy40.A点是坐标原点，代入2xy4得40，即原点A在不等式所表示的区域内把B、C、D点坐标依次代入2xy4，由所得值的正负来判断点是否与A点位于直线2xy40的同侧或异侧可判断出C(2,0)符合条件(或将点代入验证)点评：此类

14、型的题的解法，就是将点的坐标代入二元一次不等式，若不等式成立，则可得点在二元一次不等式所表示的区域内，否则就不在二元一次不等式所表示的区域内. 例4(教材本节例3)活动：教材安排本例的目的是分散难点首先让学生了解恰当地运用字母表示实际问题中的变量，就可以将复杂的实际问题中的变量关系转化为二元一次不等式组，然后利用下一节知识解决教学时教师引导学生将题中的数量关系用不等式组表示出来由于变量x、y题已经给出，学生仅是将文字语言转换为数学语言，难度不大，可由学生自己完成.变式训练甲、乙、丙三种药品中毒素A、B的含量及成本如下表：甲乙丙毒素A(单位/千克)600700400毒素B(单位/千克)80040

15、0500成本(元/千克)4911某药品研究所想用x千克甲种药品，y千克乙种药品，z千克丙种药品配成100千克新药，并使新药含有毒素A不超过56 000单位，毒素B不超过63 000单位. 用x、y表示新药的成本M(元)，并画出相应的平面区域解：由已知，得xyz100，M4x9y11z4x9y11(100 xy)1 1007x2y.又600 x700y(100 xy)56 000，800 x400y500(100 xy)63 000，eq blcrc (avs4alco1(2x3y160，,3xy130，,xy100，,x0，y0.)表示的区域如下图所示：eq blc rc (avs4alco1

16、(知能训练)1画出不等式2xy60表示的平面区域2某人上午7：00乘汽车以匀速v1千米/时(30v1100)从A地出发到距300 km的B地，在B地不作停留，然后骑摩托车以匀速v2千米/时(4v220)从B地出发到距50 km的C地，计划在当天16：00至21：00到达C地，设乘汽车、摩托车行驶的时间分别是x、y小时，则在xOy坐标系中，满足上述条件的x、y的范围阴影部分表示正确的是()3在平面直角坐标系中，不等式组eq blcrc (avs4alco1(xy20，,xy20，,x2)表示的平面区域的面积是()A4eq r(2) B4 C2eq r(2) D24若a0，b0，当且仅当eq bl

17、crc (avs4alco1(x0，,y0，,xy1)时，恒有axby1，则以a，b为坐标点P(a，b)所形成的平面区域的面积等于()A.eq f(1,2) B.eq f(,4) C1 D.eq f(,2)5本节探索与研究本节后的探索与研究宜针对较好的学生进行，让其明白其结论的原理在向量知识的基础上明白道理不是太困难的事实际画图时，也并不需要画出直线的法向量，只需取点验证即可因此本内容不宜对一般学生进行，以免冲淡了本节的主题答案：1解：先画直线2xy60(画成虚线)取原点(0,0)代入2xy6，因为200660，所以原点在2xy60表示的平面区域内，不等式2xy60表示的区域如左下图所示2B解

18、析：由题意得eq blcrc (avs4alco1(xv1300，,yv250，,9xy14，)而30v1100,4v220，则不等式组变化为eq blcrc (avs4alco1(3x10，,2.5y12.5，,9xy14.)3B解析：画出不等式组表示的平面区域如图可知面积eq f(1,2)424.4C解析：由axby1恒成立知，当x0时，by1恒成立，0b1；同理0a1，以a，b为坐标点P(a，b)所形成的平面区域是一个边长为1的正方形，其面积为1.eq blc rc (avs4alco1(课堂小结)1由学生自己回顾本节课的探究过程，整合二元一次不等式组与平面区域的关系，注意如何表示边界的虚与实，明确不等式AxByC0表示直线AxByC0的某一侧的平面区域(不包括边界直线)2教师画龙点睛比较是最好的学