3.3.1 几何概型3

1、PAGE PAGE - 5 -几何概型教学设计 赣榆高级中学卢海燕教学过程：师：我们已经学习了古典概型，其基本事件特点？概率计算公式？m和n含义？问题1：一根3m长的绳子上有五个等份点，随机的从某个等分点处将绳子剪断，求剪得两段长都不小于1m概率。师：拿到一个概率问题我们首先要分析试验的一个基本事件是什么？生：从每个等分点处剪断都是一个基本事件，师：基本事件个数有限（共5个）且等可能。师：显然是一个古典概型，记A=“剪得两段长都不小于1m”。当从哪几个等分点处剪断时事件A发生？生：从B、C、D三点。师：即A中包含3个基本事件，故 P（A）=3/5。问题2：将一根3m长的绳子，拉直后在任意位置剪

2、断，求剪得两段长都不小于1m的概率师：（这题实际上是由上题发展而来）试验的一个基本事件？生：从每个位置剪断都是一个基本事件，师：因此，基本事件无限且等可能，这样分析本题不属于古典概型，记A=“剪得两段长都不小于1m”。当剪断点落在哪些位置时随机事件A发生？生：如图将绳子3等分，当从中间一段CD处剪开时，事件A发生。师：直观感觉事件A发生的概率与什么有关？生：与中间一段线段CD的长度有关。师：你们觉得事件A发生的概率可以如何计算？生：P(A)=L/L=1/3。师：很好，你是如何想到这种比例的解法？ 生：（回答）师：类比古典概型的计算方法，P(A)=CD所包含的基本事件个数/AB所包含的基本事件个

3、数，而这个比例实为：无穷大/无穷大，根本无法操作，这就需要引进一个度量来刻画两条线段中包含的基本事件个数，使这个比例可以操作。同学们想一想哪一个度量比较合理？生：长度。师：看来同学们都比较支持这种想法。问题3：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环,从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶星是金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为，靶心直径为.运动员在外射箭.假设射箭都能中靶，且射中靶面内任何一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？师：首先强调最后一句话“假设射箭都能中靶，且射中靶面内任何一点都是等可能的”这里实际上给出了一个理想化的条件，同学们注意体会。试验的一个基本事件是什么？特点

4、怎样？生：命中靶面上任一点都是一个基本事件。基本事件无限多个且每个基本事件发生的可能性相等。师：这样分析本题也不属于古典概型，直观感觉射中黄心的概率大小与什么有关？生：与黄心面积有关。师：射中黄心的概率你想如何计算？生：黄心的面积/靶面的面积=0.01。师：问题2和问题3有共同点吗？生：有，基本事件无数且等可能。师：同学们给出的解法也有相似之处吗？生：有，利用几何图形的长度比，面积比（测度比），师：那么这种求概率的方法可靠吗？同学们有没有方法可以检验它的正确性呢？师：在学习古典概型之前，我们怎么研究一个随机事件概率？生：做试验，通过大量重复试验，统计随机事件发生的频率，用频率估计概率。师：下面

5、，我们就利用计算机模拟上述两个试验。请同学们记录射中黄心的频率。（计算机模拟射箭）随着试验次数增加，事件A发生频率越来越稳定于一个常数0.01，和刚才的计算结果比较一致。师：（计算机模拟剪绳子）请同学们记录两段都不小于1的频率，随着试验次数增加，A发生的频率越来越稳定于一个常数0.3333，和刚才的计算结果比较一致。师：因此验证了我们刚才的解法应该是合理的，类似古典概型，对于这类问题我们也希望建立一个概率模型。结合问题2和问题3我们可以将这类问题的基本事件理解为什么？生：理解为几何区域内的点师：这就是今天我们要学习的几何概型。几何概型的概念：对于一个随机试验，将每个基本事件理解为从某个特定的几

6、何区域D内随机的取一点，该区域中每个点被取到的机会均等; 随机事件A的发生则理解为恰好取到上述区域D内的某个指定区域d中的点，这时事件A发生的概率只与d的测度（长度、面积、体积）成正比，与d的形状和位置无关，满足这种条件的概率模型，称为几何概型。（操作：放映幻灯片）师：概念比较长，我们再仔细理解一遍。先看前半句，是将基本事件理解为什么？因此几何概型应有什么特点？2几何概型的特点：（提示学生采用类比思维进行总结，在这里可培养学生的自信心）基本事件具有无限性。 每个基本事件发生具有等可能性。师：再看后半句，将随机事件A的发生理解为什么？因此概率计算公式是什么？3.几何概型的概率公式：师：对于一个随

7、机试验，从基本事件的角度你是如何理解D（讲解）和d?（提问）因此师：需要给大家说明：测度由区域D来决定，线段的测度为长度，平面图形的测度为面积，空间几何体的测度为体积：得到几何概型的概念和计算公式后，再回头看。射箭问题：师：这是一个什么概型？为什么？生：几何概型（基本事件无限多个且等可能）师：（在黑板上画图）问题可以抽象为随机地向大圆内投一点，该点落入圆中每一点等可能，求恰好投进小圆概率，故D整个靶面，d黄心，概率=S黄心/S靶面。剪绳子问题：也是几何概型师：问题可以抽象？（在黑板上画图）生：从线段AB上等可能的任取一点，求恰好取到线段CD上的点的概率。区域D为线段AB，d为线段CD，测度为长

8、度，概率为长度比。师：我们可以从哪些方面去比较古典概型与几何概型：（学生讨论自发完成） 古典概型几何概型基本事件个数有限个(n个)无限个每个基本事件发生的可能性等可能等可能每个基本事件发生的概率1/n0概率的计算P(A)=m/nd测度/D测度师：为什么基本事件概率为0？每个基本事件都看作区域D中一个点，而点的测度为0，所以基本事件概率为0。 下面试着用几何概型去解决一些概率问题例1. 取一个边长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.师：基本事件？特点？概型？生：豆子落入正方形内任一点都是一个基本事件，基本事件无限且等可能，故几何概型。师：将豆子抽象为点，问题

9、抽象为？生：向正方形内等可能任投一点，求恰好投入圆内概率，故D为正方形，d为圆，测度面积。（一起书写解答过程）解：设A=豆子落入圆内，则P(A)=圆的面积/正方形面积=/4= 答：豆子落入圆内的概率为。本题比较简单，但同学们因初学概率要注意解题规范，要有记事件，解的过程和答。例2. 在1L高产小麦种子中混入了一粒带锈病的种子，从中随机取出10ml含有麦锈病种子的概率是多少？师：基本事件？概型？生：麦锈病种子出现在1L小麦种子中每一个位置都是一个基本事件，基本事件无限且等可能，故为几何概型。师：将种子抽象为点，1L小麦抽象为容积1L的几何体，10ml小麦抽象成一个容积为10ml的几何体。（教师画

10、图帮助分析）假设带麦锈病种子被取出，用慢镜头回放，它必落入1L容器中的10ml的几何体内，问题转化为？生：将病种子这一点随机的放入1L几何体中，问病种子落入10ml几何体的概率。D为1L几何体，d为10ml几何体，测度为体积，概率为体积比。师：谁来叙述一下解题过程解一：设A=“取出10ml麦种，含有麦锈病种子” P(A)=取出种子的体积/所有种子的体积=10/1000=1/100。答：含有麦锈病种子概率为1/100。师：本题大多数同学都可以得到正确答案，但为什么这么做呢？同学们平时做题时一定要注重分析，弄清问题的本质，不能只求结果。例3. 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报

11、时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.师：此人可以在下午任一时刻打开收音机，显然是个周期问题。只要选择一个周期来考虑，即两次整点报时间60分钟。基本事件？概型？生：此人在两次整点报时之间的任意时刻打开收音机都是一个基本事件，基本事件无限且等可能，故为几何概型。(学生板演解题过程,)（教师巡视一周在黑板画图）法一：如图，此人可以在分针指向任一方向打开收音机，当他在指向阴影区域时等待时间不多于10分钟。法二:如图,此人可以在线段AB所对应任一时刻打开收音机，当他在线段CB所对应某一时刻打开时等待时间不多于10分钟。师：说说你是怎么分析的？还有什么方法？生：还可用扇形的弧长之比，面积之比计算概率。

12、师：如果手表面为长方形，还有这些方法吗？变式练习1： 如图6,将一个长与宽不等的长方形水平放置，长方形对角线将其分成四个区域.在四个区域内涂上红、蓝、黄、白四种颜色，并在中间装个指针，使其可以自由转动.对于指针停留的可能性，下列说法正确的是（ ）A一样大 B. 黄、红区域大 C. 蓝、白区域大 D. 由指针转动圈数确定师：这题主要是测度的选择问题，是“角度”还是“面积”“边长”？师：其实，正确选择测度关键是找准等可能的角度，这个一般在题目的叙述中都有提示。如在变式练习1中就有:“指针可以自由转动”即指针指向任何一个方向都是等可能的，因此选择角度为测度才是正确的，故选C师：例3中有同学分析：此人可以在分针指向任一方向打开收音机，正确的测度应为角度，那么为什么用面积，弧长也可以解决？由学生分组讨论,给出回答：因为在半径一致的情况下，弧长之比等于角度之比，也等于面积之比. 变式练习2：如图所示，正方体容器内分别倒置一个圆柱形和一个圆锥形容器