第三章：量子力学中的力学量_6讲分析课件(PPT 119页)

1、量子力学与统计物理Quantum mechanics and statistical physics光电信息学院 李小飞第1页，共119页。第三章：量子力学中的力学量第2页，共119页。第一讲：力学量的算符表示第3页，共119页。微观粒子具有波粒二象性，其运动状态用波函数描述，那么，如何从波函数求体系的性质？引入薛定谔说：用算符作用于波函数就行了 第4页，共119页。比如：对于在势场不显含时间中运动的粒子，其波函数时间t和位置r可分离，用哈密顿算符H作用于定态波函数上，就可以得到粒子的能量。那么，对于其它各种物理量，比如位置、动量等，是否也可以？第5页，共119页。 经典系统与量子系统的区别：

2、经典系统的力学量有确定性，遵守因果论；量子系统由于波粒二象性，一般不具有确定性，但服从统计律，即：虽然每一次测量的值可能不同，但多次测量的统计平均值具有确定性。 一、统计平均值与算符的引入（力学量期望值，或理论平均值） 例：若已知波函数 ，按照波函统计解释，利用统计平均方法，可求得粒子坐标 的期望值： 同样，若已知波函数 ，可求粒子动量 的期望值： 问题：如何在知道波函数 的情况下求 的期望值？ 第6页，共119页。定义算符：第7页，共119页。力学量算符与期望值的关系：第8页，共119页。对于任意一个力学量A，如果知道它的算符，则它的期望值应为：如果波函数没有归一化，则算符在量子力学中的重要

3、位置，由此可见一斑因此，先定义出各种力学量算符是必要的定义标积（内积），简化书写第9页，共119页。经典物理学中，一般力学量都是坐标与动量的函数，可以依据如下对应关系定义这些力学量的算符二、由经典物理引进量子力学量算符第10页，共119页。再论波函数的作用：1. 由 Born 的统计解释可知，描写粒子的波函数已知后，就知道了粒子在空间的概率分布，即 (r, t) = |(r, t)|2 2. 已知 (r, t)， 则任意力学量的可能值、相应的概率及它的统计平均值都知道。也就是说，描写粒子状态的一切力学量就都知道了。所以波函数又称为状态波函数或态函数。 3. 知道体系初始时刻的态函数及其所处的力

4、场，由Schrodinger方程即可确定以后各时刻的态函数。波函数完全描述微粒的状态第11页，共119页。四、力学量算符是线性厄密算符（ Hermitian） 1. 线性算符的定义 2. 厄密算符的定义三、算符的定义算符：作用于一态函数，把这个态函数变成另一个态函数满足如下运算法则的算符，称为线性算符满足如下关系式的算符，称为厄密算符用内积表示：第12页，共119页。证明：力学量算符是线性算符设1，2是力学量算符F的本征方程的两个解，有：根据态叠加原理, c11+c22也是本征方程的解：所以：得证：第13页，共119页。例 第14页，共119页。例 第15页，共119页。证明：力学量算符是厄密

5、算符力学量A的期望值为取上式的复共轭因为可观测力学量的期望值应为实数，即得证：第16页，共119页。 因此，我们只需要研究 (1) 线性算符的运算特点、 (2) 厄密算符的性质 (3) 厄密算符的本征值等问题，就可知道所有力学量算符的基本性质 结论：所有力学量算符都是线性厄密算符第17页，共119页。五、线性算符的运算1. 算符的和：算符的和运算满足交换律和结合律2. 算符的积算符的积不一定满足交换律第18页，共119页。3. 算符的对易式, 定义：如果： ，称两算符对易，否则称不对易六、厄密算符的性质1. 两厄米算符之和仍为厄米算符 3. 无论两厄米算符是否对易，算符 及 都是厄米算符。2.

6、 当且仅当两厄米算符 和 对易时，它们之积 才为 厄米算符。4. 第19页，共119页。七、厄密算符的本征值与本征函数 厄密算符的本征值方程厄密算符作用于一波函数，结果等于这个波函数乘以一个常数，则称 是 的本征值， 为属于 的本征函数，此方程称为算符 的本征值方程。全部本征值 是且仅是相应力学量A的所有可能取值（或测量值）.第20页，共119页。2. 在任何状态下平均值均为实数的算符必为厄米算符。厄米算符的平均值、本征值、本征函数有如下定理：1. 厄米算符的本征值为实数。3. 厄米算符属于不同本征值的本征函数正交。4. 厄米算符的简并的本征函数可以经过重新组合后使它正交归一化。5. 厄米算符

7、的本征函数系具有完备性。6. 厄米算符的本征函数系具有封闭性。第21页，共119页。定理1 厄密算符的本征值是实数第22页，共119页。定理2 在任何状态下平均值均为实数的算符必为厄米算符第23页，共119页。定理3 厄密算符的任意两个属于不同本征值的本征函数正交.第24页，共119页。正交归一的表示形式：分立谱:连续谱：正交归一系满足以上条件的函数系 n 或 称为正交归一系。第25页，共119页。定理4 属于同一本征值的多个简并本征函数可经重组后正交归一化：如果对于同一本征值有多个独立的本征函数则称本征值a是f重简并的， 这f个函数不一定是彼此正交的，但它们可以重新组合成f个独立而彼此正交的

8、新函数，这些新函数依然是本征值a的本征函数。第26页，共119页。例 1. 找正交归一化函数 第27页，共119页。第28页，共119页。2. 看它们是否依然简并第29页，共119页。定理3 厄密算符的任意两个属于不同本征值的本征函数正交.定理4 属于同一本征值的多个简并本征函数可经重组后正交归一化 由以上两定理，可以认定厄密算符的本函数是彼此正交的第30页，共119页。定理5 厄密算符的本征函数具有完备性，构成完备系.体系的任一态函数都可用在任一力学量的本征函数集上展开，不再需要添加其他任何波函数。定理6 厄密算符的本征函数具有封闭性.不证？求展开系数：展开系数 的物理意义（1）： 处于本征

9、态 的概率第31页，共119页。证明：计算力学量A的期望值展开系数 的物理意义（2）：在 态对力学量A进行测量， 测得本征值 的概率证毕！第32页，共119页。小结：在任一态（叠加态）下对随意力学量A进行测量，得到的只能是它的本征值之一！测得这个本征值的概率就是展开式中对应本征函数前的系数！证毕！第33页，共119页。封闭性是完备性的充要条件：必要条件充分条件第34页，共119页。本征函数的封闭性也可看作是 函数按本征函数展开，而展开系数恰好是本征函数的复共轭。第35页，共119页。例第36页，共119页。例第37页，共119页。第38页，共119页。例 第39页，共119页。第40页，共11

10、9页。备注施密特正交化方法第41页，共119页。第二讲：几种基本力学量算符 及其本征值问题第42页，共119页。引入：算符与力学量的关系 力学量算符本征值： （本征值谱)本征函数： （正交归一完备函数系） 当体系处于 的本征态 时， 表示的力学量有确定值，该值就是 在 态中的本征值 本征态第43页，共119页。非本征态当体系处于的态(x)不是 的本征态，那么这个态总可以展开在由本征函数构成的完备集上。因此测量力学量A所得到的值虽不是确定的，但它必定是算符 的某个本征值 ，测得此本征值的概率为 。第44页，共119页。证明第45页，共119页。力学量取某一本征值的几率第46页，共119页。方法1

11、方法2若(x)为归一化的波函数，则F平均值为力学量算符的平均值第47页，共119页。证：第48页，共119页。若波函数没有归一化，则平均值的计算方法为第49页，共119页。若本征值有连续谱第50页，共119页。总之： （1） 各力学量算符的本征值问题， 具有重要的物理意义（2）了解常用力学量算符（如坐标、动量、 角动量等）的本征值问题，是有必要的第51页，共119页。（一）坐标算符本征值谱为连续谱本征值为 的本征函数正交归一性完备性本征方程任意两个属于不同本征值的本征函数正交封闭性与完备性的充要条件，所以可以这么写第52页，共119页。（二）动量算符本征值谱为连续谱，区间 内所有实数本征值为

12、的本征函数本征方程正交归一性完备性第53页，共119页。由于角动量平方算符中含有关于 x，y，z 偏导数的交叉项,所以直角坐标下角动量平方算符的本征方程不能分离变量,为此，我们采用球坐标较为方便. (I) 直角坐标系角动量平方算符（三）角动量算符的形式第54页，共119页。直角坐标与球坐标之间的变换关系xz球 坐 标ry这表明： r = r (x, y, z) x = x (r, , )(II) 球坐标将（1）式两边分别对 x y z 求偏导数得：将（2）式两边分别对 x y z 求偏导数得：对于任意函数f (r, , ) （其中，r, , 都是 x, y, z 的函数）则有：将（3）式两边分

13、别对 x y z 求偏导数得：第55页，共119页。将上面结果 代回原式得：则角动量算符 在球坐标中的 表达式为：可以看出，球坐标第中，角动量算符只与 有关 第56页，共119页。（四）Lz角动量算符求 归 一 化 系 数正交性：I. 波函数有限条件，要求 z 为实数； II.波函数单值条件，要求当 转过 2角回到原位时波函数值相等，即：合记之得 正交归一化 条件：(I) 的本征方程第57页，共119页。Lz角动量算符本征方程本征函数第58页，共119页。（五）L2角动量算符取本征方程因为Lz是厄密算符，它的本征函数集 是完备的可以在它上面展开第59页，共119页。第60页，共119页。第61

14、页，共119页。L2的本征值是（2l+1)简并的第62页，共119页。例 第63页，共119页。第64页，共119页。例 第65页，共119页。例 第66页，共119页。例 证 第67页，共119页。例 证 第68页，共119页。第三讲：算符的对易关系第69页，共119页。算符对易关系的定义设 和 为两个算符若 ，则称 与 对易若 ，则称 与 不对易引入对易子：若 ， 则 与 对易若 ， 则 与 不对易第70页，共119页。算符对易关系的运算法则 第71页，共119页。第72页，共119页。但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间也相互对易。第73页，共119页。坐标与动量对易关系总结第74

15、页，共119页。其他力学量一般都是坐标和动量的函数，知道以上基本的对易关系，其他力学量之间的对易关系也都可以得到 。 动量和坐标对易关系通式:量子力学基本的对易关系。（一）量子力学最基本的对易关系第75页，共119页。（二）角动量算符之间的基本对易关系证：第76页，共119页。【证明】例，证明对易关系式第77页，共119页。定理1. 如果两算符具有共同的本征函数完备系，则它们对易（四）算符对易的条件及其意义第78页，共119页。第79页，共119页。逆定理. 如果两算符对易，则它们具有共同的本征函数完备系。【证明】第80页，共119页。定理推广：（两个以上的算符）一组力学量算符具有共同完全本征

16、函数系的充要条件是这些算符相互对易。即：如果一组算符有共同本征函数，而且这些共同本征函数组成完全系，则这组算符中的任何一个和其余的算符都对易。这个定理的逆定理也成立。第81页，共119页。（五）算符对易的物理意义 1. 若一组不同力学量相互对易，则它们有共同的本征态，当体系处于共同本征态时，它们同时具有确定值。第82页，共119页。 2. 若一组相互对易的力学量能完全确定一个量子体系的状态，即构成一个力学量的完全集合，则这组完全集合中力学量的数目一般与体系的自由度的数目相等第83页，共119页。（五）算符不对易测不准原理引言由前面讨论表明，两对易力学量算符则同时有确定值；不对易两力学量算符，一

17、般来说，不存在共同本征函数，不同时具有确定值。问题两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中进行测量时，究竟不确定到什么程度？即不确定度是多少？不确定度：测量值 F 与平均值 的偏差的大小。第84页，共119页。均方差即等于平方的平均值减去平均值的平方第85页，共119页。测不准关系的推导是算符或普通数第86页，共119页。第87页，共119页。第88页，共119页。或对比方程：第89页，共119页。例1：坐标和动量的测不准关系海森堡测不准关系 (1927年）海森堡，德，190119761932年诺贝尔物理学奖第90页，共119页。 由测不准关系 看出：若两个力学量算符 和 不对易，则一般说来

18、与 不能同时为零，即 和 不能同时测定（但注意 的特殊态可能是例外），或者说它们不能有共同本征态。反之，若两个厄米算符 和 对易，则可以找出这样的态，使 和 同时满足，即可以找出它们的共同本征态。 比如： 表明： 和 不能同时为零，坐标 的均方差越小，则与它共轭的动量 的均方偏差越大，亦就是说，坐标愈测量准，动量就愈测不准。 海森堡测不准关系 第91页，共119页。 角动量的测不准关系当粒子处在 的本征态时 谐振子的零点能的量子根源第92页，共119页。第93页，共119页。第94页，共119页。第95页，共119页。科学界最珍贵的照片永恒的瞬间, （29人，17人诺贝尔物理学奖）第96页，共

19、119页。Werner Heisenberg维尔纳海森堡第三排：奥古斯特皮卡尔德、亨里奥特、保罗埃伦费斯特、爱德华赫尔岑、顿德尔、 埃尔温薛定谔、维夏菲尔特、沃尔夫冈泡利、维尔纳海森堡、拉尔夫福勒、里昂布里渊，第二排：彼得德拜、马丁努森、威廉劳伦斯布拉格、亨德里克安东尼克雷默、保罗狄拉克、 阿瑟康普顿、路易德布罗意、马克斯玻恩、尼尔斯玻尔，第一排：欧文朗缪尔、马克斯普朗克、玛丽居里、亨德里克洛伦兹、阿尔伯特爱因斯坦、保罗朗之万、查尔斯欧仁古耶、查尔斯威耳逊、欧文理查森第97页，共119页。第四讲：力学量平均值随时间的演化第98页，共119页。（1）由薛定谔方程有 1、力学量平均值随时间的演化体

20、系所处的状态 随时间而变化力学量算符 是时间的显函数， 随时间变化此式表明力学量平均值随时间变化有两方面的原因:第99页，共119页。利用对易子记号 （2）因 是厄米算符 则这就是力学量平均值随时间的演化规律如 不显含t第100页，共119页。2、力学量守恒的条件则有常量若力学量算符 不显含时间t,且与哈米顿算符 对易即 ，可以证明力学量F测量值的概率分布也不随时间改变结论:力学量 的平均值 不随时间而变化,则称 为运动恒量，或 在运动中守恒。第101页，共119页。证明力学量F测量值的概率分布也不随时间改变考虑到 可以选择包含 和 在内的一组力学量完全集，将其共同本征态记为 （n是一组完备的

21、量子数标记）有： nnntCtjy)()(=体系的任一状态 均可用 展开：在 态下，t 时刻测量 得到 的概率为下面证明 成立第102页，共119页。第103页，共119页。而得第104页，共119页。 在球坐标系中算符 等只是 的函数，与时间t无关，对时间偏微商为0。 Ex2. 粒子在中心力场中运动的角动量又故 守恒自由粒子的动量是运动恒量动量守恒Ex1. 自由粒子的动量 不显含时间第105页，共119页。角动量各分量算符及角动量平方算符均为守恒量。 角动量守恒定律！角动量各分量算符及角动量平方算符均与哈米顿算符对易Ex3. 哈米顿算符不显含时间的体系的能量当 不显含t时， 又即：能量守恒定

22、律！哈米顿算符可表示为： 第106页，共119页。Ex4. 哈米顿算符对空间反射不变时的宇称守恒 空间反演算符也称为宇称算符空间反射算符反射算符 的本征值本征值空间反射：第107页，共119页。 具有偶宇称或奇宇称的波函数称为具有确定的宇称。宇称是运动空间对称性的描述。宇称守恒律：若体系的哈米顿算符具有空间反射不变性即则 为运动恒量，即宇称守恒证：(偶宇称)(奇宇称)第108页，共119页。 故 宇称守恒表示体系的哈米顿算符和宇称算符具有共同本征函数, 因而体系能量本征函数可以有确定的宇称，而且不随时间变化。因此,为运动恒量，亦即宇称守恒又 不显含t，第109页，共119页。与经典力学守恒量不

23、同,量子体系的守恒量并不一定 取确定值,即体系的状态并不一定就是某个守恒量的 本征态. 一个体系在某时刻是否处于某守恒量的本征态,决定 于其初始条件. (2) 量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值.关于量子体系的守恒量的几点说明若初始时刻体系处于守恒量F的本征态,则体系保持在该本 征态;反之,若初始时刻体系并不处于守恒量F的本征态,则以后的状态也不是F的本征态,但F的平均值和测量值概率 的分布不随时间变.第110页，共119页。(1)定态是体系的一种特殊的状态,即能量本征态, 在定态 下,一切力学量(不显含时间t,但不管是否守恒量)的平均 值和 测量值概率分布都不随时间而改变;(2)守

24、恒量则是体系的一种特殊的力学量,它与体系的 Hamilton量对易,守恒量则在一切状态下(不管是否 定态)的平均值和测量值概率分布都不随时间而改变.只当一个体系不处于定态,而所讨论的力学量又不是体系的守恒量时,才需要研究该力学量的平均值和测量值概率分布如何随时间改变.守恒量与定态的区别第111页，共119页。思考题: 判断下列提法的正误在非定态下,力学量的平均值随时间变化设体系处于定态,则不含时力学量的测量值的概率分布 不随时间变化(3)设Hamilton量为守恒量,则体系处于定态第112页，共119页。3. 能级简并与守恒量关系守恒量在能量本征值问题中的运用第113页，共119页。附录1：用到的部分积分公式 第114页，共119页。 在一些具体的问题中遇到动量的本征值问题时，常常需要把动量的连续本征值变为分立本征值