复习：直线和二元一次方程

1、直线和二元一次方程 小结与复习0(0,1)(1,0)L.xy一 直线的倾斜角，斜率1 如果直线L和 x 轴相交，就把x轴绕交点按逆时针方向旋转到和直线L重合时所转的最小正角叫做直线L的倾斜角。2 斜率k = tan x,当 x = 900，k不存在。 过已知点p1(x1,y1),p2(x2,y2)的直线斜率 k =y2y1x2x1二 常见的直线方程1 过点p(x1,x2),斜率为k的直线方程 y-y1= k(x-x1)2 纵截距为b,斜率为k的直线方程 y= kx+b3 直线方程的一般式 Ax+By+C=0(A,B不同时为0）三 两条直线的位置关系 L1:y=k1x+b1; L2:y=k2x+

2、b2, 则1 L1/ L2 k1= k2, b1 = b22 L1 L2 k1k2= -13 不垂直的两条直线的夹角 tanx = ( 00 X900)四 直线外一点P(x0,y0)到直线L:Ax+By+C=0的距离： k2- k11+k2k1Ax0+By0+CA2+B2d=一 判断题1 倾斜角 x 的正切叫做这条直线的斜率。（ ）错错2 过两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)的直线的斜率公式是 ( )y2y1x 2x1k =3 直线的点斜式方程是由直线上的一点和直线的斜率确定的。（ ） 4 直线L1 : x -2y+1= 0与L2:3x - 6y - 5 = 0平行。（ ）5 直线L

3、1:x+y =1与L2: 3x - 3y = 4 不垂直。（ ）对对错二 填空题1 如果直线 L 的倾斜角x = 450，则直线的斜率k=2 已知直线的点斜式方程是 y-3 = x-2,那么直线的斜率 k=113 直线4x-3y+12= 0与x 轴，y 轴的交点坐标分别是（-3，0），（0，4）4 已知直线的斜截式方程 y = 3x-7,则直线的斜率 k= ,在 y 轴上的截距 b =3-75 直线 x = 0 和直线 y = 0 的交点是（0，0） 三 按照下列图示写出直线L方程。 xy0过原点且倾斜角为450L(1)设直线方程为 y = kx+b因为 k = tan450 =1, b =

4、0所以 y = x三 按照下列图示写出直线L方程。 (2)0(0,1)(1,0) 与x, y 轴交于点（0，1）（1，0）L设直线方程为 y-y1= k(x-x1) xy.所以 y-1= -1 (x-0) 即 x+y-1=0y2y1x2x1k =0110因为= 1例1 一根铁棒在 40 度时，长12.506米,在80度时，长12.512米，已知长度 y 米与温度 x 度的关系可以用直线 方程表示，求此直线方程，并求此铁棒在 100 度时的长度。解：设此直线方程为 y = kx + b, 根据题意， 12.506 = 40k + b (1) 12.512 = 80k +b (2)(2)-(1)得

5、：40k = 0.006, k = 0.00015把 k = 0.00015 代入（1）得，b = 12.5所以所求直线方程为 y = 0.00015x + 12.5当x = 100 时，y = 0.00015100 + 12.5 = 12.515, 即当铁棒在 100 度时的长度为 12.515米。例2 求过点P（3，2），并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。32。yo.P(3,2)若直线的截距不为0：( 0,a)x(a,0)若直线截距为 0,设所求直线方程为 y = kx, 将点（3，2）代入得2 = 3k ,解得 k = 故所求直线方程为y = x 解法一：设所求直线方程为 y = k

6、x+b 因为直线在两坐标轴上的截距相等 ，所以直线与坐标轴交点为（0,a) , (a,0), y2y1x2x1k =0aa0= 1所以y = - x +b把（3，2）代入上式得，2 = -3 + b, 所以b = 5, 所以y = - x +5则直线方程为 x + y 5 = 0.综上所述，所求直线方程为 y = x 或 x + y 5 = 0因为 k = -1,把（3 , 2）代入方程得， y 2 = - 1( x 3 ) y 2 = - x + 3, 即 x + y 5 = 0解法二 ： 设所求直线方程为 y - y1 = k ( x - x1)解法三 ：设所求直线方程为 + =1因为 a

7、 = b, 所以 + =1, 即 = 1x + ya所以所求直线方程为 + = 1即 x + y 5 = 03 + 2a把（3，2）代入上式得 =1, 所以 a = 5根据实验知道，酒精的体积 y (升）与温度 x (度）之间的关系在一定范围内可用直线方程表示。现在测得一定量的酒精在 0 度时的体积是 5.250 升,在40 度时的体积是 5.481升,求此直线方程，并求酒精在 10 度时的体积。解 ：设直线方程为 y = kx + b, 根据题意，得 5.250 = 0k +b (1) 5.481 = 40k +b (2)由（1）得 b = 5.250, 把（1）代入（2）得5.481 =

8、40k + 5.250, 40k = 0.231, k =0.005775所以 y = 0.0005775x + 5.25当 x = 10 时，y = 0.00577510 + 5.25 = 5.30775 ，即酒精在 10 度时的体积为 5.30775 升。练习 求过点p ( -2, -1),且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。（用三种方法）xy- 2- 1.P(-2,-1)0解：当截距为 0 时,设直线方程为y = kx, 将（-2，-1）代入方程得（0,a) (a,0)-1= -2 k, k = ,所以 y = x当截距不为 0 时：解法一：设所求直线方程为 y = kx +b 因为直线在两坐标轴上的截距相等 ，所以直线与坐标轴交点为（0,a ), (a,0), y2y1x2x1k =0aa0= 1所以所以 y = -x +b 把（-2，-1）代入上式得，-1 = 2+b, 所以 b = -3, y = -x-3则直线方程为 x + y + 3 = 0. 综上所述，所求直线方程为 y = x 或 x + y + 3 = 0 解法二 ： 设所求直线方程为 y - y1 = k (x-x1)因为 k = -1,把（-2，-1）代入方程得，y+1 = -1(x+2)y+1 = -x-2 ,即 x + y + 3 = 0即 x+y+3=0解法三 ：设所求