不变子空间、若当、最小多项式简介

1、 7不变子空间本节重点：不变子空间的定义与“限制”.已知可对角化对应于对角矩阵，但是并不是每个都能对角化的.退一步，对应于准对角形也好；虽然比对角形复杂，但也算简单.这个问题的研究需要用到不变子空间的概念.定义与例子.定义：L L L(Vn) , W是仃的不变子空间u W是V的子空间，且X/SW,有o(L)ww.简称仃-子空间.(注意：与线性变换有关).例子：设仃w L(Vn),则下列子空间W都是仃的不变子空间：1) W = 0 2 ) W =V 3 ) W =仃,(0) 4 ) W =a(V) 5 ) W =V8 =也 w V |。&)=九。匕 叵上线性变换A与B是可交换的，则B的核与值域都

2、是A -子空间.二、线性变换在不变子空间上的“限制”.定义：设W是仃wL(Vn)的不变子空间，可只在 W中考虑仃，记为仃|W.【意义】缩小了线性变换的范围，从而简化线性变换.因此，如果V可分解为若干仃-子空间W的直和，那么对V的线性变换仃的研究就归结为对各个子空间 W的直和研究.区别：Q|W与仃的作用结果一样，但作用范围不同.即tWW= (Q|Wg=m ；七正W= (Q|W)已无意义.三、不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系(意义)设V可分解为若干个仃-子空间的直和：V =W, W25母Ws ,在每个不变子空间Wi中取基气，,， , i =1,2,S ,并把他们合并为V的一组基，则在这组基下

3、，仃的矩阵具有Ai7准对角形*.,其中A , i =1,2,s是A|W在对应基下的矩阵.As )进一步的，我们有：*四、不变子空间的直和分解定理12：设线性变换仃W L(Vn)的特征多项式f (九)可分解成一次因式：f (九)=(九Xjr1 (九一九2)r2(九-工一，则V可以分解成不变子空间的直和：V =V1 V2 份 Vs,其中 V =之 WV | ( -E)ri 0 =0. 8若当（Jordan）标准形介绍若当（Jordan）标准形是一类特殊的准对角矩阵、基本定义儿0 . 000、：1九. 000J (九,D = - - - -00 -.1九000 . 012.若当形矩阵=由若干个若当块

4、（阶数未必相同、1.若当块（九是复数；注意对角元相同）九未必相同）组成（不计顺序）的准对角矩阵.（若当形矩阵中包括对角矩阵） 【问题】若当形矩阵的特征值=?例1求所有的三阶若当形矩阵.（若当块不计排列顺序）二、主要结论定理13: VbWL（Vn（C）,在V中必定存在一组基，使 仃在这组基下的矩阵式若当形矩阵.（这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外，是被仃唯一决定的，它称为仃的若当标准形）若用矩阵来描述，即定理14:复数域上，每个方阵都相似于某个若当形矩阵.（好用的结论）三、若当标准形的求法 （第八章介绍）【特例】若A可对角化，则若当标准形就是相似的对角矩阵.|10 1030【第二届中国大学

5、生数学竞赛预赛 2010设B = |。0 2010 ,10 00证明X2 =B无解，这里X为三阶复数矩阵.证法对复数矩阵，优先考虑它相似于某个 Jordan矩阵这个性质，并联系特征值 9最小多项式介绍最小多项式有着良好的理论意义，特别是适用于对角化问题.已知HamHton Cayley定理：方阵A的特征多项式是A的零化多项式.要寻找其中次数最低的，这就是最小多项式的研究思路.基本定义定义：中(x)是方阵A的最小多项式=f(A) =0且邛(x)次数最低、首项系数为1.例 数量矩阵kE的最小多项式是 二、基本性质引理1矩阵A的最小多项式必唯一.证法带余除法引理2 f (x)是A的零化多项式仁f(x

6、)是A的最小多项式中(x)的倍式，即邛(x)|f(x).【特例】最小多项式是特征多项式的因式.证法带余除法1 1、例求A=1 的最小多项式. (x-1)2【问题】相似矩阵有相同的最小多项式？1a 1a例k阶若当块J =.的最小多项式是 1 21 10 ；11 ，晨(直接计算，(x-a)k)三、主要结论定理 数域P上矩阵A可对角化的充要条件是 A的最小多项式是P上互素的一次因式的乘积.推论复数域上A可对角化的充要条件是A的最小多项式无重根.例 设A是n阶幕等矩阵，且秩为r.试求A的相似标准形，并说明理由；求 2E-A.Er 00 0，解法：由A2 =人知八有最小多项式g(，。=九2-九=九(九-

7、1)且无重根，所以A相似于对角矩阵, 且特征值只能是1或0.又r(A)=r,故存在可逆矩阵P使P，AP =一一11 怎 0)从而 PA(2E -A)P = 2E-P-AP= r U 2E-A = 2n- 1。1 3go1 11 45A=的特征值为%2,对应的特征向量为10),2F1V5,1 ， P AP =L 2 J3.利用矩阵相似对角化线性方程组【例】(人口流动问题)设某国人口流动状态的统计规律是每年有十分之一的城市人口流向农村，十分之 二的农村人口流入城市.假定人口总数不变，则经过许多年以后，全国人口将会集中在城市吗？解 设最初城市、农村人口分别为 x0,y0,第k年末人口分别为xk,yk

8、,则%169 0.2j选、Xk0.9 0.2、住二yU-0.1 0.8般/ 半 厂 1 0.8八y70.9 0.2,可得0.1 0.8；=AkX0U0J为计算A： 可考虑把 A相似对角化.特征多项式KE A =(九一 1)(九一0.7).k10P9 0.7；1 =1对应的特征向量为=(2,1)；九=0.7对应的特征向量为口2=(1,-1)仃2141 111取 P = (c( a2)=，得 P = -1-1J31-2；令 kT % 有 0.7k T 0,得 Ak T1 23di 0 yi i、i 仔 2、 -1X0 0 人1 _21312 1,XJ2Yk；31证1: A正定=特征值 0= A +

9、 E的特征值4 +1 1于是 A + E|=（A +1）（九2 +1）（4 +1） 11=1证 2: A 正定=T1AT = diag （九1，Kn）, % 0|A + E| = Tdiag（兀，Kn）T，+E|TTdiag& +1,4n +1）丁 =TG +1）（入2 +1）（儿 +1）T1ir=1期末总复习一、考试题型填空、计算、证明、讨论或判断二、复习依据作业（习题集）、例题、课外提高三、各章主线.线性空间线性空间1定义、线性运算、基、维数、坐标子空间两个封闭性、基、维数、生成子空间、扩充基、维数公式、和、直和同构构造、判定、意义.线性变换线性变换验证（定义）、运算、关于基的矩阵及变换问

10、题的转化、不变子空间 特征值与特征同功证明、求法（可验证）、结论、对角化判定及求可逆矩阵 C 值域与核基、维数、两者维数关系. Jordan标准形不变因子初等因子 Jordan标准形.欧氏空间（注意：涉及的概念都与内积有关）丽验证（四条公理）、长度、夹角、标准正交基（求法，可验证）正交变换判定、不变性、正交矩阵（ 可验证）对称变换判定、特征值、对角化（求正交矩阵 可验证.区别第5章方法）四、注意事项.几类矩阵的特点、区别与联系：可逆矩阵、对称矩阵、合同矩阵、相似矩阵、正定矩阵、正交矩阵.线性变换问题与矩阵问题的转化线性空间（通过基）、欧氏空间（通过标准正交基）.可验证的几种计算类型特征值（迹）

11、、特征向量（代入方程组）、标准正交基（两两正交、长度为 1）、 正交矩阵（行或列向量组标准正交，或 A，A = E）二*小学少先队组织机构少先队组织由少先队大队部及各中队组成，其成员包括少先队辅导员、大队长、中队长、 小队长、少先队员，为了健全完善我校少先队组织，特制定以下方案： 一、成员的确定1、大队长由纪律部门、卫生部门、升旗手、鼓号队四个组织各推荐一名优秀学生担任 （共四名），该部门就主要由大队长负责部门内的纪律。2、中、小队长由暮从碧山下，山月随人归。却顾所来径，苍苍横翠微。相携及田家，童稚开荆扉。绿竹入幽径，青萝拂行衣。欢言得所憩，美酒聊共挥。长歌吟松风，曲尽河星稀。我醉君复乐，陶然

12、共忘机。【简析】终南山，在今陕西西安市南，地近京城而又山林幽静。斛斯山人想来是一位隐 士，同时是李白的好朋友。这首诗只写一次很平常的作客经过，但写出了很淳朴的感情。各 班中队公开、公平选举产生，中队长各班一名（共 11名），一般由班长担任，也可以根据本 班的实际情况另行选举。小队长各班各小组先选举出一名（共8个小组，就8名小队长）然后各班可以根据需要添加小队长几名。3、在进行班级选举中、小队长时应注意，必须把卫生、纪律部门的检查学生先选举在 中、小队长之内，剩余的中、小队长名额由班级其他优秀学生担任。4、在班级公开、公平选举出中、小队长之后，由班主任老师授予中、小队长标志，大 队长由少先队大队部授予大队长标志。二、成员的职责及任免1、大、中、小队长属于学校少先队组织，各队长不管是遇见该班的、外班的，不管是 否在值勤，只要发现任何人在学校内出现说脏话、乱扔果皮纸屑、追逐打闹、攀爬栏杆、乱 写乱画等等一些违纪现象，都可以站出来制止或者报告老师。2、班主任在各中队要对中、小队长提出具体的责任，如设置管卫生的小队长，管纪律 的小队长，管文明礼貌的、管服装整洁的等等，根据你班的需要自行定出若干相应职责，让 各位队长清楚自己的职权，有具体可操作的事情去管理，让各位队长成为班主任真正