压缩机机组性能优化技术课件

1、5 无约束优化方法5.1 无约束优化方法简介5.2 最速下降法5.3 共轭方向法5.4 坐标轮换法5.5 单形替代法15.1 无约束优化方法的简介研究无约束优化方法的意义无约束优化方法是优化设计方法的基本组成部分，也是优化方法的基础。通过对无约束最优化方法的研究，可为研究有约束问题提供良好的概念基础。约束优化问题的求解可以通过一系列无约束优化方法来实现。无约束优化问题基本解法解析解法：利用无约束优化问题的极值条件，适用于目标函数简单的情况。数值解法：按照定的逻辑结构进行反复的迭代数值计算，获得具有足够精度的近似解。适用于数学描述复杂和无法用数学方程描述的问题。2基本思想：最佳步长（一维搜索）搜

2、索（迭代）方向，（由目标函数和约束条件的局部信息状态形成，分类的关键）5.1 无约束优化方法的简介无约束优化方法的分类依据:构成搜索方向和所使用信息性质两类：3间接法：（利用目标函数一、二阶导数）最速下降法共轭梯度法牛顿法变尺度法直接法：（利用目标函数值）坐标轮换法单行替代法鲍威尔法无约束极小值算法基本框图5.2 最速下降法基本原理4作为迭代方向，又称为梯度法特点在确定搜索方向后，根据一维搜索确定最佳步长：相邻两个迭代点上的函数梯度相互垂直。局部上看：在一点附近下降很快整体上看：下降速度并不快最速下降法搜索路径5.2 最速下降法基本步骤5确定方向确定步长只是需要求一阶偏导数，并且其算法和计算程

3、序简单，迭代过程直观，在迭代点距离函数最优点比较远时的下降速度还是很快的。将梯度法与其他优化方法配合构成更加有效和实用的算法。最速下降法程序框图5.3 共轭方向法6共轭方向法的引出目标函数在极值点附近的二次近似函数对于二维的情况，目标函数为二元二次函数，任选取初始点x0沿某个下降方向d 0作一维搜索，得x15.3 共轭方向法7因为 是沿d0方向搜索的最佳步长：如果按最速下降法，选择负梯度方向 为搜索方向，则将发生锯齿现象。若取下一次的迭代搜索方向d1直指极小点x*。0d0 x0 x1x*111dd1这样的d1方向应该满足什么条件呢?5.3 共轭方向法8对于前述的二次函数:当 时，x*是f(x)

4、极小点，应满足极值必要条件，故有将等式两边同时左乘 得，且：d0与d1 关于矩阵G共轭5.3 共轭方向法9共轭方向的概念设G为nn阶实对称正定矩阵，如果有两个n维向量d0和d1满足 ，则称向量d0与d1 关于矩阵G共轭。当G为单位矩阵时，共轭方向法的性质性质1 若非零向量系d0,d1,d2,dm-1是对G共轭，则这m个向量是线性无关的。性质2 在n维空间中互相共轭的非零向量的个数不超过n。 性质3 从任意初始点出发，顺次沿n个G的共轭方向d0,d1, d2,进行一维搜索，最多经过n次迭代就可以找到的二次函数f(x)极小点。 5.3 共轭方向法10共轭方向法的步骤：共轭梯度法：共轭方向法中的一种

5、，该方法中每一个共轭向量都是依赖于迭代点处的负梯度而构造出来。鲍威尔法：直接利用目标函数值来构造共轭方向。共轭方向法程序框图关键是新的共轭方向的确定5.4 坐标轮换法基本原理11将多维的无约束优化问题转化为一系列一维的最优化问题。每次搜索只允许一个变量变化，其余变量保持不变，即沿着n个线性无关的方向（通常坐标方向）轮流进行搜索。每一轮的迭代公式：轮次坐标收敛判据：坐标方向坐标轮换法搜索过程5.4 坐标轮换法基本步骤12用一维搜索最佳步长赋值新起点，进行下一轮5.4 坐标轮换法特点13简单易实现；收敛效果与目标函数等值线的形状有很大关系，一般认为此法仅适宜n10的小型优化问题的求解；等值线为圆或

6、长短平行于坐标轴的椭圆，此法很快收敛；不平行时，收敛速度很慢。当目标函数的等值线出现与坐标轴斜交的脊线时，这种方法完全失去求优效能。搜索过程三种情况5.5 单行替代法基本原理14单纯形：n维空间中具有n+1个顶点的多面体；单形替代法（也称单纯形法）不是沿一个方向进行搜索，而是构成的单纯形，求出这些顶点处的目标函数值并加以比较，确定它们当中有最大值的点及函数值的下降方向，再设法找到一个新的比较好的点替换那个有最大值的点，从而构成新的单纯形。随着这种取代过程的不断进行，新的单纯形将向着极小点收缩，直到搜索到满足收敛条件的极小值点为止。利用目标函数为二元函数为例：初始单纯形比较顶点函数值重心计算反射

7、、扩张、收缩、缩边新单纯形基本步骤： 反射点比最好点好扩张5.5 单行替代法15初始单纯形顶点：除去最差点的其余点的中点反射根据 f(x5) 可能出现以下5种情况最好点最差点次差点二维目标函数使用单行替代法示意图 5.5 单行替代法16最好点最差点 反射点比次差点好，比最差点好收缩 反射点比最差点还差加大收缩次差点二维目标函数使用单行替代法示意图5.5 单行替代法17 在x1x4方向上所有点都比最差点差缩边最好点最差点次差点通过反射、扩张、收缩和缩边得到一个新的单纯形，新单纯形比前一个单纯形更靠近最优点。二维目标函数使用单行替代法示意图缩边计算几何示意收敛判据5.5 单行替代法基本步骤构造初始单纯形顶点，可初选x0，从x0出发沿各坐标轴走步长h生成n个点，使单纯形各棱线性无关计算各顶点函数值比较各