惠州市2015届高三第一次调研考试(理数)

1、惠州市2015届高三第一次调研考试数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在 答题卡上。2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置 上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要 求作答的答案无效。、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分.在每小题

2、给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.复数（其中i为虚数单位）的虚部是B. 1i2D. 1i2.已知集合yy x 1,xR, B xx2,则下列结论正确的是（A 3 A.某学校高B. 3 BC. AD. A B B、高二、高三年级的学生人数分别为90R900、1200人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为A.15B.20C. 25D. 30.已知等差数列an的前n项和为Sn,若a418a5 ,则 S8A18B. 36C. 54D.在二项式J（x2 一）5的展开式中，含x4的项的系数是（A.10 xB. 10C. 5D.若某几何

3、体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（A 30B.12C. 24D.4*3 3 ,72侧视图20俯视图正视图7,已知x, y都是区间0,1内任取的一个实数，则使得 ysin x的取值的概率是（B.-C.D.228.已知向量a与b的夹角为定义向量积”，且a b是一个向量，它的长度A. 4 3|a b sinB. 3C.(1,u (u v)二、填空题(本大题共 7小题，分为必做题和选做题两部分.每小题 5分，满分30分) (一)必做题：第 9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答.函数y log3(3x 2)的定义域是 .以抛物线y2 4x的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线方程是

4、 .用数字1,2,3,4可以排成没有重复数字的四位偶数，共有 个.x 0.设变量x, y满足x y 1 ,则x y的最大值是. y 1.函数f(x)的定义域为 R, f ( 1) 2,对任意x R, f(x) 2,则f(x) 2x 4的解集 为.(二)选做题：第 14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。.(坐标系与参数方程选做题)极坐标系中， A, B分别是直线cos sin 5 0和圆 2sin 上的动点，则A, B两点之间距离的最小值是 .(几何证明选讲选做题)如图所示，OAB是等腰三角形， TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmar

5、k65 o Current Document P是底边AB延长线上一点，且 PO 3, PA PB 4,/ 淤、则腰长 OA=./、.三、解答题：(本大题共6小题，满分80分.须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.).(本小题满分12分)x c x C HYPERLINK l bookmark67 o Current Document 已知 sin- 2cos- 0. 22(1)求tanx的值；.2 cos(x) sin x4.(本小题满分12分)去年2月29日，我国发布了新修订的环境空气质量标准指出空气质量指数在0 50为优秀，各类人群可正常活动.惠州市环保局对我市 2014年进行为期一

6、年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告， 样本数据分组区间为5,15, 15,25,25,35 , 35,45 ,由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图 (1)求a的值；(2)根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；(注：设样本数据第i组的频率为r ,第i组区间的中点值为 x i 1,2,3,L ,n，则样本数据的平均值为 X x1Pl x2 P2 x3 P3 L xnpn.)(3)如果空气质量指数不超过 15,就认定空气质量为 特优等级”，则从这一年的监测数据中随机 抽取3天的数值，其中达到特优等级”的天数为，求 的分布列和数学期

7、望.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱 ABC AB1cl中，平面 ABC 侧面AABB1 ,且AA AB 2求证：AB BC ;(2)若直线AC与平面Ai BC所成的角为一6.(本小题满分14分) ._1 .已知数列an中，a1 3,前n项和Sn -(n 1)(an(1)求数列 an的通项公式;M ,使得TnM对一切正整数n都1(2)设数列 的刖n项和为Tn ,是否存在实数angan 1成立？若存在，求出 M的最小值；若不存在，请说明理由.(本小题满分14分)22_椭圆C : S 4 1 (a b 0)的离心率为-,其左焦点到点 P(2,1)的距离为 国.a b2(1)求椭圆C的标准方程；

8、(2)若直线l : y kx m与椭圆C相交于A、B两点(A B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆 过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.2bx cx bc ,其导函数为f (x).记函数g(x)f (x)在21.(本小题满分14分)已知关于x的函数f(x)区间 1,1上的最大值为M4(1)如果函数f(x)在x 1处有极值 一，试确定b、c的值; 3(2)若b 1,证明对任意的c ,都有M 2 ； 若Mk对任意的b、c恒成立，试求k的最大值.1.2.3.4.5.6.7.参考答案题号12345678答案CCBDACAD选择题：共8小题，每小题5分，满分40分【解析】化简得z数

9、为已知集合1.i 21,则虚部为一，故选C2(3,), B2,),A B B,故选C三个年级的学生人数比例为450 20人，故选3 3 43:3:4 ,由题意a4 a5 18 ,等差数列中a4按分层抽样方法，在高三年级应该抽取人8(a4 a5)r r 10 3r _ _由二项式定理可知，展开式的通项为C5( 1) x ，则10 3r 4得r的系数为C；( 1)2【解析】由三视图可知,72 ,故选D10,故选A原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的,上E1如图V 3 4 52【解析】此题为几何概型,的面积，即S8.【解析】由题意sinr ru,u二.填空题：共,2、9- (3,)15.

10、75事件02 sinxdxr ru (ur v)7小题，每小题22 y10. x 33 4) 3 24 ,故选 C3244第6题图A的度量为函数y sin x的图像在0,一内与x轴围成的图形2(1,出)，则r ur(u v)rv sincosr ru,uu, u,3 /曰，得2满分30分.其中1415题是选做题，考生只能选做一题.11. 1212. 313. ( 1,)14. 272 110【解析】抛物线焦点(1,0),则双曲线中：a 1,且ey 3 ,故x y的最大值为3。15【解析】以。为圆心，以OA为半径作圆，则圆O经过点B,即OA OB r,设PO与圆O交于点C且延长PO交圆。与点D

11、,由切割线定理知得r V5,所以OA r 55三、解答题：16.(本小题满分12分)PAgPBPDgPC ,-.x_ x_x解：（1） sin-2cos0,则cos0 1分222tanx 22 分2x 2tan-,2tanx -2 xtan 一2241 2234 分5 分 TOC o 1-5 h z ，八 c C 口22、9.【解析】由3x 2 0得x ,则定义域为：(一，) HYPERLINK l bookmark100 o Current Document 33C_999 一 22,得 c 2,又 c2a2 b2 得 b33,a2则双曲线的标准方程为：x2 y- 1311 【解析】由题意，

12、没有重复数字的偶数，则末位是2或4,当末位是2时，前三位将1,3, 4三个数字任意排列，则 有解 6种排法，末位为4时一样有 A 6种，两类共有:32A3 12种，故共有没有重复数字的偶数12个。12【解析】由约束条件画出可行域如图所示，则目标函数z x y在点B(2,1)取得最大值，代入得x13.【解析】设函数g(x) f (x) 2x 4,则g(x) f (x) 2 0,得函数g(x)在R上为增函数， 且 g( 1) f( 1) 2 ( 1) 4 0 ,所以当 f (x) 2x 4 时，有 g(x) 0,得 x 1 , 故不等式f (x) 2x 4的解集为(1,)14【解析】由题意，直线l

13、:x y 5 0,圆的标准方程x2 (y 1)2 1 ,则圆心(0,1)到直线l的 距离为2 J2 ,且圆半径r 1 ,故AB min dr 272 1(2)原式22cos x sin x7 分- 2 cosx sin x sin x 22(cosx sin x)(cosx sin x)(cosx sin x)sin x9 分cosx sin xsin x1 tanxtanx1424.6.0C；64，P125c3481252C；412 c-,P5125C33112510 TOC o 1-5 h z 1O分11分12分.(本小题满分12分)(1)解：由题意，得 0.02 0.032 a 0.01

14、8 10 1,1 分解得a 0.03.2分(2)解：50个样本中空气质量指数的平均值为X 0.2 10 0.32 20 0.3 30 0.18 40 24.63 分 由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为(3)解：利用样本估计总体，该年度空气质量指数在5,15内为特优等级且指数达到特优等级”的概率为0.2，则：B的取值为0,1,2,3,的分布列为：12548125c 12 c23125112511分12分0123P64125481251212511255 5.（本小题满分14分） TOC o 1-5 h z 解：（1）证明：如右图，取 A1B的中点D ,连接AD ,1分因 AA

15、 AB ,则 AD A1B2 分由平面 ABC 侧面A1ABB1,且平面 ABC I侧面A1ABB1 AB, 3分得AD 平面ABC,又BC 平面ABC,所以AD BC.4 分因为三棱柱 ABCAB1G是直三棱柱，则AA1 底面ABC , 所以AA1 BC .又 AAI AD=A ,从而 BC 侧面 A1ABB1 ,又 AB 侧面 AABB1 ,故 AB BC .（2）解法一：连接 CD,由（1）可知AD 平面ABC ,则CD是AC在平面ABC内的射影ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，则 ACD = -8分6在等腰直角 A1AB中，AA1 AB 2 ,且点D是A1B中点1226AC 2

16、我9 分AD - A1B 衣，且 ADC=, ACD = -过点A作AE AC于点E ,连DE由（1）知 AD 平面 A1BC，则 AD AC ,且 AEI AD AAED即为二面角 A AC B的一个平面角 10小AAgAC 2 2 2 2.6且直角 AAC中：AE产AC2 .33又 AD= 2, ADE= 一2sin AED =AD、2AE 2,6,且二面角A AC B为锐二面角 2AED=-,即二面角A3AC B的大小为一3解法二（向量法）：由（1）知AB BC且BB1底面ABC，所以以点B为原点，以BC、BA、BB1所在直线分别为x, y, z轴建立空间直角坐标系B xyz,如图所示，

17、且设A(0,2,0),B(0,0,0),C(a,0,0),A(0,2,2)uur BC (a,0,0),uurBA (0,2,2)，uurAC(a,2,0),uurAA1 (0,0,2)设平面urA BC的一个法向量n1(x, y, z)uur由BCurn,uur urBA 叫得:xa2y2zir则n(0,1,1)10分设直线AC与平面A, BC所成的角为得 sin 一6uuur irACgi1UUULU又设平面AC74a2v2uuur2,即 AC (2, 2,0)12分uuA1AC的一个法向量为n2 ,同理可得,uun2(1,1,0)设锐二面角A A1CB的大小为，则cos cosIT LU

18、ngur uu。少2ur uun,n2;且(0, a)得锐二面角A A1CB的大小为一。314分19.（本小题满分14分）解：（1）（解法一）SnSn 1%n2(n1)(an1) 1, , an 1512)(1 11) 1121(n 2)(an 1 1) (n 1)(% 1)整理得 nan 1 (n 1)an 1(n 1)an 2(n 2)an 1 1两式相减得(n 1同2 nan 1 (n 2)an 1 (n 1注即(n 1)an 22(n 1)an1 (n 1同 0, , an 2 2an 1anan 1an 1 an数列an是等差数列且a1 3,得a2 5 ,则公差d 2an 2n 1（

19、解法二） Sn Sn1-(n 1)(an1)12(n 2)(an 11) 1一 an整理得12(n 2)(an 11)(n1)(an1)nan 1 (n1)an等式两边同时除以n(n1)得anan nn(n 1)annn(n 1) n累加得an ann n1an 1n 11an 2a221311L 1 32得 an 2n(2)由(1)知 an 2n 1an 甲n1(2n 1)(2n3)/) 2n 3Tn1(1 1 1 12 312n 12n 1 2n/)则要使得TnM对一切正整数n都成立,只要(Tn ) max存在实数M,使得Tn M对一切正整数n都成立，且一，一1M的最小值为-614分20.

20、(本小题满分14分)c解：(1)由题：e 一a左焦点(一c,0)到点P(2,1)的距离为：d = 42 + c) 2 + 1 2 = J而由可解得c = 1 , a = 2 ,b 2 = a 2-c 2 = 3.x 2，所求椭圆C的万程为了 +(2)设 A(X1,y1)、B(x2,y2),将y = kx + m代入椭圆方程得(4 k 2+ 3) x 2+ 8kmx + 4m 2 12 = 0.8km1 + x2 = 4k 2 + 3，x1x2 =4m 2 124k 2 + 3，且 y1 = kx1 + m, y2 = kx2 + m. AB为直径的圆过椭圆右顶点A2(2,0),所以 A2A ?

21、A2B = 0.2分x所以(x1一2,y1)(x2 2,y2) =(x1 2) (x2 2) +y1y2= (x1一 2)(x2 2) + (kx1 +m) (kx2+ m)=(k 2 + 1) x1x2+ (km 2) (x1 + x2) + m 2 + 42 4m 2128km 2=(k + 1) 4k 2+ 3 -(km-2) 4k 2+ 3 + m + 4 = 0 .2.整理得 7m 2+ 16km + 4k 2 = 0.m = 7 k 或 m = 2k 都满足 0.若m = 2k时，直线l为y = kx-2k = k (x- 2)，恒过定点 A2(2,0),不合题意舍去;13分222右 m = 7 k 时，直线 l 为 y = kx7 k = k (x-7),恒过定点a ,0).21.(本小题满分14分)解：(1) f (x)x2 2bx c ,由 f(x)在 x41处有极值一，可得3(2)一个f (1)1 2b c,1f(1) b c 3若 b 1, c 1 ,则 f (x)若 b 1, c 3,贝U f (x)变化情况如下表:f (x)f(x)当x 1时,证法一：g(x)bcf (x)有极大值(x)2x2x(x(x1)21)(x0,此时函数f (x)没有极值；3分1),此时当x变化时,f(x) , f (x)的(3,1)(1,)极小值12x2 2b