甘肃省白银市第十一中学甘肃白银谢海平

1、甘肃省白银市第十一中学 甘肃 白银 谢海平730900 电子邮箱： 例谈存在型问题的解法随着新课程改革的不断深入，近年来的竞赛、中考数学试题出现了大量的、内容丰富的、形式多样的能力型试题。其中存在型问题就像一颗颗璀璨的“明珠”,常考常新,备受命题者的青睐。是否存在型探索性问题是指具有某种性质的数学对象是否存在，或数学对象是否具有某种性质. 是否存在型探索性问题,由于存在与否是未知的,往往难以入手,解这类问题的一般的求解方法是：假设结论存在，然后根据题意列出满足条件的等式（方程或方程组）或不等式（组），如果求出的结论符合已知条件则结论存在；如果求出结论不符合已知条件或与定理、公理等相矛盾，则结论

2、不存在。例1已知数列中，且对于任意自然数，总有，是否存在实数，使得对于任意自然数恒成立？证明你的结论解：是一个一般性的结论，为了探求是否存在，我们可从特殊的n出发，求出的值，再检验是否满足一般的条件由，代入，可解得代入检验，可知当时，一方面由得，另一方面，由得，矛盾所以，这样的实数不存在例2.如图所示，已知A(1,0)、B（，）为直角坐标系内两点，点C在x轴负半轴上，且OC=2OA，以A点为圆心、OA为半径作A。直线CD切A于D点，连结OD。 （1）求点D的坐标； （2）求经过O、B、D三点的抛物线的解析式； （3）判断在（2）中所得的抛物线上是否存在一点P，使DCPOCD？若存在，求出P点坐

3、标；若不存在，请说明理由。 分析：本例是是否存在性探索型题目。欲判断上是否存在一点P，使DCPOCD，可从代数、几何两个方面入手去考虑。从代数入手，可先求抛物线与x轴的交点坐标，然后证明该点在A上，进而证明该点满足条件DCPOCD。从几何入手，可先假设存在这样的点P(m ,n),使得DCPOCD,通过计算进而求出P点的坐标。 解：（1）连结AD，则ADCD于D,作DEOA于E。 点A坐标为（1，0），且OC=2OA，AC=3， sinACD= = , sinADE= , AE=,因而OE=1=， DE=， D点坐标为（，）。（2）设抛物线y=ax2+bx+c经过O(0,0)、B（，）、D（，）

4、, 则C=0，且 =+ =+解得： a= b= 所求的抛物线的解析式为y =- x2 +x（3）设A与x轴的另一个交点为F(2,0)，连结DF， CD切A于D，CDO=CFD， 又DCO=FCD，OCDDCF， 将x=2代入y =- x2 +x中，得y=0， F（2，0）在抛物线上， 点F即为所求的P点， 抛物线y =- x2 +x上存在一点P，使PCDDCO。 例3.设P是任一奇质数，试证：一定存在着整数x、y使得二次三项式5x2+11y2-1是P的倍数。分析：此题中P是任意奇质数，导致确定x,y这两个变数非常困难，但是假设x=y时，这样的问题就变二元为一元，从而问题简单化了。证明：假设xy，则5x2+11y2116x214x1）（4x1）已知为奇质数，不妨设P2n1（为正整数），显然，若取xn2，则4x14n2=（2n1）（2n1）P（2n1）此时16x21P（2n1）（4n21）因此二次三项式5x2+11y2-1是P的倍数。存在型问题由于选择范围广,覆盖知识面大,具有较强的综合性,对所使用的解题方法也有较高的