函数最大小值和导数(2)

1、关于函数的最大小值与导数 (2)第一张，PPT共二十六页，创作于2022年6月aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf (x)0f (x)0复习:一、函数单调性与导数关系如果在某个区间内恒有 ,则 为常数.设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导，f(x)为增函数f(x)为减函数第二张，PPT共二十六页，创作于2022年6月二、函数的极值定义设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)；函数的极大值与极小值统称 为极值. 使函数取得极值的点x0称为极值点第三张，PPT共二十六页，创

2、作于2022年6月xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6观察下列图形,你能找出函数的极值吗？观察图象，我们发现， 是函数y=f(x)的极小值， 是函数y=f(x)的 极大值。第四张，PPT共二十六页，创作于2022年6月求解函数极值的一般步骤：（1）确定函数的定义域（2）求函数的导数f(x)（3）求方程f(x)=0的根（4）用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格（5）由f(x)在方程f(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况第五张，PPT共二十六页，创作于2022年6月 在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用

3、料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题 函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？新 课 引 入 极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。第六张，PPT共二十六页，创作于2022年6月知识回顾 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： 1最大值: （1）对于任意的xI，都有f(x)M; （2）存在x0I，使得f(x0) = M那么，称M是函数y=f(x)的最大值 2最小值: 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在

4、实数M满足： （1）对于任意的xI，都有f(x)M; （2）存在x0I，使得f(x0) = M那么，称M是函数y=f(x)的最小值 第七张，PPT共二十六页，创作于2022年6月观察下列图形,你能找出函数的最值吗？xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值. 在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值因此：该函数没有最值。f(x)max=f(a), f(x)min=f(x3)第八张，PPT共二十六页，创作于2022年6月xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6如何求出函数在a,b上的最值？一般的

5、如果在区间，a,b上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。第九张，PPT共二十六页，创作于2022年6月 观察右边一个定义在区间a,b上的函数y=f(x)的图象：发现图中_是极小值，_是极大值，在区间上的函数的最大值是_，最小值是_。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3) 问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？ xX2oaX3bx1yy=f(x)第十张，PPT共二十六页，创作于2022年6月 (2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处) 比较,其中最大的一个为最大值，最小的 一

6、个最小值. 求f(x)在闭区间a,b上的最值的步骤：(1) 求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)； 新授课注意:1.在定义域内, 最值唯一;极值不唯一2.最大值一定比最小值大.第十一张，PPT共二十六页，创作于2022年6月求函数的最值时,应注意以下几点:(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念.(2)闭区间a,b上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而函数的极值则可能

7、不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值).第十二张，PPT共二十六页，创作于2022年6月题型：求函数的最大值和最小值1、求出所有导数为0的点；2、计算；3、比较确定最值。第十三张，PPT共二十六页，创作于2022年6月例2:求函数y=x4-2x2+5在区间-2,2上的最大值与最小值.解:令 ,解得x=-1,0,1.当x变化时, 的变化情况如下表:x-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2y -0 +0 -0 +y13 4 5 4 13从上表可知,最大值是13,最小值是4.题型：求函数的最大值和最小值第十四张，PPT共二十六页，创作于2022

8、年6月练习：函数 y = x + 3 x9x在 4 , 4 上的最大值为 ,最小值为 .分析: (1) 由 f (x)=3x +6x9=0,(2) 区间4 , 4 端点处的函数值为 f (4) =20 , f (4) =76得x1=3，x2=1 函数值为f (3)=27, f (1)=576-5当x变化时，y 、 y的变化情况如下表：x-4(-4,-3)-3(-3,1)1(1,4)4y+0-0+0y2027-576比较以上各函数值，可知函数在4 , 4 上的最大值为 f (4) =76，最小值为 f (1)=5第十五张，PPT共二十六页，创作于2022年6月练习：求下列函数在给定区间上的最大值

9、与最小值：54-5422-102-18aa-40第十六张，PPT共二十六页，创作于2022年6月典型例题反思：本题属于逆向探究题型： 其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。 第十七张，PPT共二十六页，创作于2022年6月拓展提高1、我们知道，如果在闭区间【a，b】上函数y=f（x）的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值；那么把闭区间【a，b】换成开区间（a,b）是否一定有最值呢？ 如下图：不一定2、函数f(x)有一个极值点时，极值点必定是最值点。 3、 如果函数f(x)在开区间（a,b）上只有一个极值点，那么这个极值点必定是最值点。

10、第十八张，PPT共二十六页，创作于2022年6月有两个极值点时，函数有无最值情况不定。第十九张，PPT共二十六页，创作于2022年6月动手试试第二十张，PPT共二十六页，创作于2022年6月4、函数y=x3-3x2，在2，4上的最大值为（ )(A) -4 (B) 0 (C) 16 (D) 20C第二十一张，PPT共二十六页，创作于2022年6月1. 求函数f(x)=x2-4x+6在区间1，5内的极值与最值 故函数f(x) 在区间1，5内的极小值为3，最大值为11，最小值为2 解法二:f (x)=2x-4令f (x)=0，即2x-4=0，得x=2x1（1，2）2（2，5）5y，0y-+3112选做题：解法一:将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二次函数单调性处理第二十二张，PPT共二十六页，创作于2022年6月2、 解令解得x0(0, ) ( , )+-+00 ( , )0第二十三张，PPT共二十六页，创作于2022年6月 应用( 2009年天津（文）21T )处的切线的斜率；设函数 其中（1）当 时，求曲线 在点 （2）求函数 的单调区间与极值。答:（1）斜率为1;(2)第二十四张，