博弈论整理稿

1、博弈论考试形式：开卷考题分为两道分析题、三道计算题。最近同学都忙着国考，估计暂无时间理会这门校内考试，所以今年不参加国考的某A来搞 个无责任整理版。分析题，提及了纳什均衡、信息集、博弈基本结构等等(总之开卷也没啥好整理，考察 上在打印号的ppt里面找就是了) 计算题，其实也没什么好整理的，ppt上也有的，就是单独拿出来，看起来方便点吧第一题：古诺模型(要求：1.最优的反映函数；2.最优时候的产量；3.纳什均衡解) 特点:存在两家厂商，同时行动确定产量通过预测另一家厂商的产量来选择自己利润最大化产量，寻求预测均衡厂商1：利润最大表示为max p(y1 +)02)*)1431)【实际上就价格X效率

2、-成本】这里的价格p要由市场总供给决定，所以p用(y1 +y2)的函数表示即：y1 = /(ye2)同理得：y2 = Z(ye1)解出来的(ye1,ye为纳什均衡解，即最优产量例：p = a - (y1 + y；2)；Ci = yic ；C 2 = v2用古诺模型，求1.最优的反映函数；2.纳什均衡产量；3.均衡利润。解：1.厂商iMaxp (y1 + y2) * y1 - C1 Maxa - (y1 + y2) * y1 - y1c化简得：Maxay 1 - y12 y1y2 - y1c d(ay1 -y12 -y1y2 匕。八 dyia - y2 - c y =2Ji2同理得：a - y1

3、 - c y2=212.把y2 =。广代入)=口尸中，a - a-yi-c - cyi=2化简得：a-c yi=3同理：a-cy2 =(E即为纳什均衡的产量3.把(a-c,a-c)代入怛-(y1 + y2) * y1 - y1c计算厂家1的利润 TOC o 1-5 h z a-ca-ca-c a-ca-ca * 2* c3l 3333简化得：(a-c)29同理，厂家2的利润也是：(a-c)29(孑，耕)即为均衡利润第二题：混合策略的纳什均衡(2道例题+1道作业题，应该可以理解了) 1.投硬币il：面MW11而luJiltlli，a1-PPqi-q给定参与人1 (q.l - q)；参与人2的支付

4、是:l*q+(-l)(l-q)(正面)C反面)；I即2选正反面的期里收益相等p(标示版，对应的是哪个1，哪个-1,考试时不需要圈出来) 上式 q+(-1)(1-q) =(-1)q+(1-q)，求解得 q=1/21-PP绐定参与人2(p,i -p)：参与人 i 的支付是；面)反面)； .那1.选王反面的期望收登相等 (标示版，对应的是哪个1，哪个-1,考试时不需要圈出来)上式 p*(-1)+1*(1-p)= 1*p+(-1)*(1-p)，求解得 p=1/2求得(1/2, 1/2)是纳什混合战略均衡如果再进一步考混合策略反应函数(貌似没提到，不过也不难,ppt中投硬币算纳什混合战略 均衡与混合策略

5、反应函数说用的表格，p,q位置是互换的，计算几个虽不会有差异，但是混 合策略反应函数图画出来会稍有不同，总之会画进行下图是根据上表画的) 当1出正面的概率q1/2, 2出正面的概率为0，因为他对反面的预期收益大于正面，p=0； 当1出正面的概率q1/2, 2出正面的概率为1，因为他对正面的预望收益大于反面，p=1； 当2出正面的概率p1/2, 1出正面的概率为1，因为他对正面的预期收益大于反面，q=1； 当2出正面的概率p1/2, 1出正面的概率为0，因为他对反面的预望收益大于正面，q=0。pHq)1/2 ,1/2J2.老婆老公看电视(上题，应该明白了，这题就不标示了)P1-P妻二时装足球时装

6、2, 1。，0足球0, 01, 3给定妻子分别以(q,1-q )的概率选择时装、足球，则丈夫选择时装、足球的期望收益相等， 即:1*q+0*(1-q)=0*q+3*(1-q)，求解得q=3/4；故妻子选择时装、足球的概率分别为(3/4, 1/4) 给定丈夫分别以(p,1-p )的概率选择时装、足球，则妻子选择时装、足球的期望收益相等， 即2*p+0*(1-p)=0*p+1*(1-p)，求解得q=1/3；故丈夫选择时装、足球的概率分别为(1/3, 2/3)当妻子以(3/4，1/4)的概率分布随机选择时装表演和足球，丈夫以(1/3，2/3)的概率随 机选择时装表演和足球时，双方都无法通过单独改变策

7、略，即单独改变随机选择纯策略的概 率分布而提高利益，因此双方的上述概率分布的组合构成一个混合策略纳什均衡。该混合策略纳什均衡给妻子和丈夫各自带来的期望收益分别为：qp2+q(1-p)0+(1-q)p0+(1-q)(1-p)1=2/3;qp1+q(1-p)0+(1-q)p0+(1-q)(1-p)3=3/4双方的期望收益均小于纯策略时的期望收益。混合策略反应函数如果p1/3,则妻子选择时装的期望得益小于选择足球，因此妻子应选择足球，即q=0； 如果p1/3,则妻子选择时装的期望得益为大于选择足球的得益，因此选时装，即q=1； 如果q3/4，则丈夫选择时装的期望得益小于选择足球，因此丈夫应选择足球，

8、即p=0； 如果q3/4，则丈夫选择时装的期望得益为大于选择足球的得益，因此选时装，即p=1；3.男女朋友去看球赛还是音乐会给定男方分别以(q,1-q)的概率选择足球、音乐会，则女方选择足球、音乐会的期望收益相等， 即:2*q+0*(1-q)=1*q+4*(1-q)，求解得q=4/5；故男方选足球、音乐会的概率分别为(4/5, 1/5) 给定女方分别以(p,1-p)的概率选择足球、音乐会，则男方选择足球、音乐会的期望收益相等， 即:4*p+1*(1-p)=0*p+2*(1-p)，求解得p=1/5；故女方选足球、音乐会的概率分别为(1/5, 4/5)顼判女方足球音乐会足球4 21, 1音乐会0,

9、 02, 4当男方以(4/5，1/5)的概率分布随机选择足球和音乐会，女方以(1/5，4/5)的概率随机 选择足球和音乐会时，双方都无法通过单独改变策略，即单独改变随机选择纯策略的概率分 布而提高利益，因此双方的上述概率分布的组合构成一个混合策略纳什均衡。该混合策略纳什均衡给男方和女方各自带来的期望收益分别为：qp4+q(1-p)1+(1-q)p0+(1-q)(1-p)2=8/5;其实就是把q=4/5, p=1/5代入左边，算出右边 qp2+q(1-p)1+(1-q)p0+(1-q)(1-p)4=8/5;双方的期望收益均小于纯策略时的期望收益。混合策略反应函数如果p1/5,则男方选择足球的期望

10、得益小于选择音乐会，因此男方应选择音乐会，即q=0； 如果p1/5,则男方选择足球的期望得益为大于选择音乐会的得益，因此选足球，即q=1； 如果q4/5,则女方选择足球的期望得益小于选择音乐会，因此女方方应选择音乐会，即p=0； 如果q4/5,则女方选择足球的期望得益为大于选择音乐会的得益，因此选足球，即p=1；第三题：进入模型问题（暂时这么称呼吧，就是进入不进入、在位者默许还是斗争的问题）同样也整理三道题1.这个题，要通过读上表和树形图把表格扩展成下表在位者默许，默许默许，斗争斗争，默许斗争，斗争进入者进入40,5040,50-10,0-10,0不进入0,3000,3000,3000,300

11、在市场进入博弈中：进入者有两个行动：“进入”、“不进入”。由于是先行动者，只有两个战略：选择“进入”或“不进入”。 在位者有两个行动：“默许”、“斗争”。但是，有4个战略: 若进入者选择“进入”，在位者选择“默许”，默许）斗争）默许）斗争）若进入者选择“不进入”，在位者选择“默许”，即（默许， 若进入者选择“进入”，在位者选择“默许”，若进入者选择“不进入”，在位者选择“斗争”，即（默许， 若进入者选择“进入”，在位者选择“斗争”，若进入者选择“不进入”，在位者选择“默许”，即（斗争， 若进入者选择“进入”，在位者选择“斗争”，若进入者选择“不进入”，在位者选择“斗争”，即（斗争， 这个部分不

12、用写出来，但是必须会，这是解这一题型的基础 该博弈中有四个纳什均衡：（这个大家应该会的吧。） &进入，（默许，默许）进入，（默许，斗争）3不进入，（斗争，默许）不进入，（斗争，斗争）【如下图所标示的，考试中不用标出，不过想圈还是可以圈的】在位者丁E 卜E 1- 默讦!默讦丁默许斗争斗争.默许日斗争斗争也X驴不进JVOf3DDOf3OO然后要分析这几个威胁是可置信的么？&进入，（默许，默许）是合理的意味着当进入者进入时，在位者默许；而当进入者不进入时，在位者仍默许因为进入者是先行动者，理性的进入者会选择进入”（他知道在位者是理性的，在位者不会 选择斗争），而理性的在位者选择“默许。进入，（默许，

13、斗争）也是合理的意味着当进入者进入时，在位者默许；而当进入者不进入时，在位者斗争因为进入者是先行动者，理性的进入者会选择进入”（他知道在位者是理性的，在位者不会 选择斗争），而理性的在位者选择“默许。3不进入，（斗争，默许）意味着当进入者进入时，在位者斗争；而当进入者不进入时，在位者默许显然，当进入者选择进入时，在位者选择斗争是不合理的，在位者的战略是不可置信的。不进入，（斗争，斗争）意味着当进入者进入时，在位者斗争；而当进入者不进入时，在位者也斗争（在位者威胁无 论如何都要斗争）显然，当进入者选择进入时，在位者选择斗争是不合理的，在位者的战略是不可置信的。观察博弈树上的四个均衡中，在位者的不

14、可置信战略中的反应，在第二阶段在位者开始行动 的两个子博弈中不是最优;而合理的纳什均衡中，在位者的战略在所有子博弈中都是最优的， 与进入者的第一阶段可能选择的行动构成该子博弈的纳什均衡。2.AB进入/不进入之争收益：A B只给树形图也要转化成下表B进入，进入进入，不进入不进入，进入不进入，不进入A进入-3,-3-3,-31,01,0不进入0,10,00,10,0不论如何都要会的这一步！ 在市场进入博弈中：A有两个行动：“进入”、“不进入”。由于是先行动者，只有两个战略：选择“进入”或“不进入”。B有两个行动：“进入”、“不进入”。但是，有4个战略：若A选择“进入”，B选择“进入”，若A选择“不

15、进入”，B选择“进入”，即（进入，进入）若A选择“进入”，B选择“进入”，若A选择“不进入”，B选择“不进入”，即（进入，不进入）若A选择“进入”，B选择“不进入”，若A选择“不进入”，B选择“不进入”， 即（不进入，进入）若A选择“进入”，B选择“不进入”，若A选择“不进入”，B选择“不进入”， 即（不进入，不进入） 该博弈中有三个纳什均衡：&不进入，（进入，进入）进入，（不进入，进入） 3进入，（不进入，不进入）3进入.进入入，不进不进入进入中不进入不也挪进入口部W比不进沁0.均然后要分析这几个威胁是可置信的么？&不进入，（进入，进入）意味着当A不进入时，B选择进入；而当A选择进入时，B仍

16、选择进入3威胁无论如何都要进入市场）显然，当A选择进入时，B仍选择进入是不合理的，如果A进入市场，B选择不进入”比选 择进入”收益要更大，理性的B不会选择进入，而A知道B是理性的，因此也不会把该战略 视为B会选择的战略。因此，B的战略（进入，进入）是不可置信威胁。进入，（不进入，进入）是合理的如果A进入，B不进入；如果A不进入，B进入。因为A是先行动者，理性的A会选择进 入”（他知道B是理性的，B不会选择进入”），而理性的B选择不进入”。3进入，（不进入，不进入）意味着当A进入时，B选择不进入；而当A选择不进入时，B仍选择进入3威胁无论如何都不进入市场）。显然，当A选择不进入时，B仍选择不进入

17、是不合理的，B的战略是不可置信的。观察博弈树上的三个均衡中，B的不可置信战略中的反应，在第二阶段B开始行动的两个子 博弈中不是最优；而合理的纳什均衡中，B的战略在所有子博弈中都是最优的，与A的第一 阶段可能选择的行动构成该子博弈的纳什均衡。3.两家糕点店，卖软香饼还是脆皮蛋卷同样第一步把树形图，译成表格软，软软,脆脆，软脆,脆1软0,00,010,2010,20脆20,100,020,100,0在市场进入博弈中：1有两个行动：“软”、“脆”。【这个框只是帮大家理解用的】 由于是先行动者，只有两个战略：选择“软”或“脆”。B有两个行动：“软”、“脆气但是，有4个战略：若A选择“软”，B选择“软”

18、，若A选择“脆”，B选择“软”，即（软，软）若A选择“软”，B选择“软”，若A选择“脆”，B选择“脆”，即（软，脆）若A选择“软”，B选择“脆”，若A选择“脆”，B选择“脆”，即（脆，软）若A选择“软”，B选择“脆”，若A选择“脆”，B选择“脆”，即（脆，脆） 该博弈中有三个纳什均衡:（脆，（软，软） （脆，（脆，软） 软，（脆，脆）然后要分析这几个威胁是可置信的么？ （脆，（软，软）意味着当1脆时，2选择软；而当1选择软时，2仍选择软（2威胁无论如何都要卖软香饼）显然，当1选择软时，2仍选择软是不合理的，如果1选择软，2选择脆”比选择软”收益 要更大，理性的2不会选择软，而1知道2是理性的，因此也不会把该战略视为2会选择的 战略。因此，2的战略（软，软）是不可置信威胁。脆，（脆，软）是合理的如果1