东莞市2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题(含答案)

1、 东莞市2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题一、单项选择题：每小题 5分，共40分.1.已知函数 f x cosx sinx,则f xA. sinx cosxB. sin x cosx2.设随机变量x服从正态分布 N 3,16 ,若( )C.sin x cosxP X c P XD. sin x cosxA.1B.2C.33 ,贝U c (D.43.A, B, C, D, E等5名学生进入学校劳动技能大赛决赛，并决出第一至第五名的名次知学生A和B都不是第一名也都不是最后一名，则这5人最终名次的不同排列有（无并列名次）.已A.18 种B.36 种C.48 种D.54 种4.某企业建立

2、了风险分级管控和隐患排查治理的双重独立预防机制,已知两套机制失效的概率分别为11,则恰有一套机制失效的概率为（53A.一59B.207C.205.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成1D.20.有一种“金钱起卦法”，其做法为:1,则一卦中恰有两个变爻的2概率为（5 35 A.16. x xA.-402x34B.465展开式中的常数项为（15C/1D/B.-20C.20D.40取两枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下，再撒钱币到桌面或平盘等硬物上，此为一爻，重复六次, 得到六爻 两枚钱币全部正面向上称为变爻，若每一枚钱币正面向上的概率为t.某放射性同位素在衰变过程中，其含量N

3、 （单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系N t NeW TOC o 1-5 h z 其中No为t 0时该同位素的含量.已知t 24时，该同位素含量的时变化率为e1,则N120（）A.24贝克B.24e5贝克C.1贝克D. e5贝克.已知函数f xex2, g x 1 lnx,若存在实数t1，t2使得ftgt2，则3t2的最大值为（）A. ln 2B.1C.1 ln2D. 2 ln 2 e二、多项选择题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5分，有选错的得0分，部分选对的得 2分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑 HYP

4、ERLINK l bookmark42 o Current Document .下列结论正确的是（）A.若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则相关系数r的绝对值r越接近于1B.样本x1,y1,x2,y2,x3,y3，xn,yn的回归直线? &a?至少经过其中一个样本点C.在回归方程贸0.2x 0.8中,D.在线性回归模型中，用相关指数当解释变量x每增加.已知复数z满足zA.01,则zB.1-2 .- ,一R刻回拟合效果，i的可能取值有（1个单位时，预报变量 ?平均增加0.2个单位R2的值越小，模型的拟合效果越好）.图1是函数f x的导函数fC.2的图象，则下列结论正确的是（D.3)C.

5、X 1是f X的极小值点B. X 1是f X的极小值点D. x 3是f X的极大值点12.将3个不同的小球随机放入3A. P 1-8三、填空题：本大题共表示空盒子的个数，则下列结论正确的是(3127B. P2C. P3D. E1664164个不同的盒子，用4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.在两名男生与三名女生中随机抽取两人进行某项体能测试，则在第1次抽到男生的条件下，第 2次抽到女生的概率为.a 2i.若复数a_w (i是虚数单位)是纯虚数，则实数 a .2 i15.已知图2是“杨辉三角”，图 3是“莱布尼茨三角”，两个“三角”之间具有关联性.已知“杨辉三角”中第n

6、行第r 1个数为C：,则“莱布尼茨三角”中第 n行第r 1个数为;已知“杨辉三 角”中第n行和第n 1行中的数满足关系式 C； Cn 1 C： 1，类比写出“莱布尼茨三角”中第n行和第n 1 行中的数满足的关系式.1 1 1271 2 11 1 !3 6 313 3 11 .L JL 1412 12 4j 1 1 J_ 15 20 X) 20 51I1I11GW60603()0卤3In xX 的图象有且仅有两个公共点，则实数 a的取值范围为 .6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文字14 6 41 5 1() 10图216 .若 f x ax 与

7、 g四、解答题：本大题共说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.(本小题满分10分) 32已知函数f X x 2x x 2.(2)若对任意的x i1都有f x c成立，求c的取值范围.(1)求函数f x的极值;.(本小题满分12分)已知复数 z1 abi a,b R ,z2c di c,d R .(1)当 a 1,b 1,c 1,d2 时，求，|z2,怙 z2；(2)根据(1)的计算结果猜想 Z! Z2与Z! Z2的关系，并证明该关系的一般性;(3)结合(2)的结论进行类比或推广，写出一个复数的模的运算性质(不用证明).(本小题满分12分

8、)为了了解员工长假的出游意愿，某单位从“ 70后”至“ 00后”的人群中按年龄段分层抽取了 100名员工进 行调查.调查结果如图4所示，已知每个员工仅有 “有出游意愿”和“无出游意愿”两种回答，且样本中“00 后”与“ 90后”员工占比分别为 10%和30%.出和宜愿通微小淮图3(1)现从“ 00后样本中随机抽取 3人，记3人中“无出游意愿”的人数为随机变量X,求X的分布列及数学期；(2)若把“ 00后”和“ 90后”定义为青年，“ 80后”和“ 70后”定义为中年，结合样本数据完成2 2列abcd acbd.(本小题满分12分)已知函数f x ln x ax.(1)讨论函数f x的单调性；(

9、2)若a 0,且g x f x sinx在 一，2 上有且仅有1个极值点，求a的取值范围221.(本小题满分12分)共享单车以低碳、环保、节能、健康的理念，成为解决市民出行“最后一公里”的有力手段.某公司调研部门统计了最近5个季度本公司的共享单车使用次数(万次)，结果如下：季度序号x12345使用次数y (万次)11.21.51.82.2(1) (i)根据上表，画出散点图并根据所画散点图，判断能否用线性回归模型拟合使用次数y与季度序号x之间的关系，如果能，求出 y关于x的线性回归方程；如果不能，请说明理由.(ii)如果你是公司主管领导，你会在下一季度向市场增加投放共享单车吗？请说明理由(2)为

10、进一步开拓市场做准备，公司目前接受报价的有两款车型：A型单车每辆500元，第一年收入 500参考数据:xixyiy3,10.参考公式:xii 1?bx.元，以后逐年递减 80元；B型单车每辆300元，第一年收入 500元，以后逐年递减100元.经市场调研，两 款车型使用寿命频数统计如下表：车型使用寿命1年2年3年4年总计A10203040100B10353025100不考虑除采购成本以外的其它成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计概率，以1辆单车所产生的利润的数学期望为决策依据，如果你是公司负责人，会选择哪款车型？_ 2xixi 12 ,记函数求实数a的取值范围22.（本小题满分1

11、2分）已知函数 f x x2 x xlnx, g xx3 3ax e.(1)证明f x 0恒成立;f x(2)用max m, n表示m, n中的最大值.已知函数h x xxx max h x , g x ,若函数 x在0, 上恰有2个零点，参考答案13.414.115.nC：1n 2 C；1 Cnr16. 0, 2e四、解答题3_ 217.解：（1）因为 f x x 2x一 一 123x 4x 1,令f x 0,解得x 或x 1 ,31当fx 0,即x 或x 1；当fx3故f x的单调递增区间为，1和 1,3 TOC o 1-5 h z 所以，x 1时，f x有极大值f 12,r /1八0,即

12、 1 x 3分3 HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 1,单调递减区间为1, 1 , 4分当x 1时， f x有极小值 f 6分3327(2)由(1)知f x在 2 1上单调递减，在 1 1上单调递增， 7 分3 3352又 f 252 , f 16, 8分272 一，9分10分2分所以 x ,1 时，f x max 6,I max.一，一，2，-八 ，因为对任意的x 2,1都有f xc成立，所以c 6.318.解（1）由题知 |z1小1T 亚，|z2J12 22屈，.4 Z21 i 1 2i 3 i , 3分所以乙z2，32 12 而.(2)猜

13、想 Z| Z2 Z| Z2 , 5分证明：因为 z1 Ja2 b2 , z2| 4cd-2 , 6分所以 z1 z2 4a南4cd2 7a2c2a2d2b2c2b2d2 , 7分因为 zi z2abi c di ac bdad bc i ,所以 z1 4 J ac bd 2 ad bc 2Ja2c2a2d2b2d2b2c2 9分所以4zZ| z2成立 10分（3） ，或ZiZ2Z3ZiZ2Z3,或ZiZ2 ZnZiZ2 Zn.Z2Z2说明：只要写出复数模运算相关的一个正确结论即可给2分. 12分19.解：（1）由题知，样本中“ 00后”员工人数ni 100 10% 10人，. 1分由图4知，其

14、中8人有出游意愿，2人无出游意愿，从中随机抽取3人，抽到“无出游意愿”的人数X的所有可能取值为0,1 2,.2分P X 0C；7C仁2L X 17 P X2C8C2P X2JCw 15Ci3015Ci3015随机变量X的分布列为X012P7157151155分、 7713随机变量X的期望E X 012- 6分1515155 TOC o 1-5 h z （2）由题知，样本中中年员工占比为 1 10% 30% 60% ,人数n2 100 60% 60人，青年员工人数n3 100 40% 40 人， 7分结合图3得到如下2 2列联表，有出游意愿无出游后愿合计青年301040中年402060合计703

15、01009分假设“有出游意愿与年龄段无关”，则2 TOC o 1-5 h z ,100 30 20 40 105011分k - 0.794 3.841,70 30 40 6063.不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该单位员工长假的出游意愿与年龄段有关 12120.解：（1）由题得，函数定义域为0, f x a, x当a 0时，f x 0在0,上恒成立,所以函数f x在0,上单调递增;当a 0时，由f x当f x 0时，0 x1/口1一a 0 ,得x-， HYPERLINK l bookmark31 o Current Document xa HYPERLINK l bookmark2

16、3 o Current Document 1 一一；当 f x 0 时，x ai i,、，一 ,所以f x在0, 1上单调递增，在 ，上单调递减,aa综上所述，当a0时，f x在0,上单调递增;(2)因为所以当当0时，f由题得g232x在0, 1上单调递增，在 a1八 人一 cosx a a 0 ,令 g x上单调递减.x 在一，22时,综上所述,21.解：(上有且仅有1个极值点,cosx在,22cos x,此时由前面的分析得,的图象有且仅有一个交点,两个函数图象在cos 221a的取值范围为 0 1 ，21) (i)散点图如图所示：a与y cos x没有交点,33-, 2上有且仅有一个交点，

17、则212分根据散点图，可以用线性回归模型拟合使用次数y与次季度序号x之间的关系，设回归方程为？政 ？，nx x yi y则 b? J - 0.3,210X xi 1由 x 3, y 1.54，得分 y bx 1.54 03 3 0.64,所以y关于x的线性回归方程为 ? 0.3x 0.64. TOC o 1-5 h z (ii)开放型答案，根据学生理由叙述情况，酌情给分参考答案一：下一季度可以向市场增加投放共享单车，理由：由(i)中散点图判断可预估下季度市场对本公司单车使用次数会持续上涨；由(i)中使用次数y关于季度序号x的线性回归方程? 0.3x 0.64可知，下季度市场对本公司单车下一季度

18、的使用次数会持续上涨0.3万次左右，因此需要向市场增加投放共享单车说明：答出一种理由即可给满1分，其他理由酌情给分 5分参考答案二：下一季度可以先不向市场增加投放共享单车，理由：题中只给出了使用次数这一方面的数据，是否增加投放共享单车还要考察单车的使用率高低，单车的区域 分布是否合理，单车使用后的回收与分配是否及时等等因素，这些都会影响投放单车的决策，因此要进行 进一步调查过后才能决定. TOC o 1-5 h z 说明：答出一种理由即可给满1分，其他理由酌情给分 5分1132则1辆A型单车毛利润的数学期望 E X1500 - 920 1260 1520 1220 ,故1辆A(2)设1辆A型单

19、车产生的毛利润为随机变量X1 ,则X1的所有可能取值为500, 920, 1260,1520,. 6分用频率估计概率，则 1辆A型单车产生毛利润的分布列为毛利润X150092012601520概率P,11321051057分 TOC o 1-5 h z 1051051731则1辆B型单车毛利润的数学期望E X2500 900 1200 1400 1075,故1辆B型单车纯利润的数字期望为 1220 500 720, 8设1辆B型单车产生的毛利润为随机变量X2 ,则X2的所有可能取值为 500, 900, 1200, 1400,.9分用频率估计概率，则 1辆B型单车产生毛利润的分布列为毛利润X250090012001400概率F2173J1020104分10 TOC o 1-5 h z 1020104型单车纯利润的数学期望为 1075 300 775, 11分因为1辆B型单车纯利润的数学期望大于1辆A型单车的，所