微专题垂线段最短在最值问题中的应用

1、 1)-I1、如图，在 RtAABC,的动点，若CA x,A.12x35C.12x4则x的取值范围是（B.D.52、如图，在 RtzXABC中，/ AC氏90 ,)12一 .x4512x55BO 4,若P为线段AC上一点，连接微专题 垂线段最短在最值问题中的应用模型一：一动一定【模型分析】如图，已知直线l外一定点A和直线l上一动点B,求A、B之间距离的最小值.通 常过点A作直线l的垂线AB,利用垂线段最短解决问题，即连接直线外一点和 直线上各点的所有线段中，垂线段最短.B（第2题图）/AC氏900 , BO 3, AB= 5,点D是AB边上（含端点）PB,以PA PB为边作平行四边形 APBD

2、连接PR交AB于点E,则PD的最小值为（）A. 3 B.4C. 5D. 6模型二：两动一定【模型分析】 点P是/ AOBW内部一定点，在 OA上找一点M在OB上找一点N,使得PN + MN的值最小.要使 PN MN勺值最小，设法将 PN, MN化在同一条直线上，作点 P关于OB的对称点P,即求P N+ MN的最小值,针对训练:因此只要P Ml OA利用垂线段最短求解即可.3、如图，在锐角 ABC中，AB= 4, /BAO 45, / BAC的平分线交BC于点D, M, N分别是AD和AB边上的动点，则BM + MN的最小值是.模型三：一动两定（“胡不归”问题）【模型分析】“胡不归”问题即点P在

3、直线BM上运动的“ PA+ k- PB（0k2,当OD_LBC时，线段OD有最小值，最小值为-2.16【解析】如解图，作点 B关于直线AC的对称点B；交AC与E,连接BM ,BM +MN= BM+MNBG,当且仅当过B作BGAB于G,交AC于F,由对称性可知,M与F、N与G重合时，等号成立，AC=AB2 + BC2 = 10，5，二.点B与点B关于AC对称,11.BEAC,，S“bc=2AC BE=AB BC,得 BE=4/5, BB = 2BE=班，/ B BG+/CBE/ ACB + / CBE = 90 , . . / B BG = / ACB , 又/ B GB = / ABC = 9

4、0 , 得 BGBA ABC,即BG B BABACBG=Sl2、”=16,故BM + MN的最小值为16. 10 5HrH第2题解图3.解：如解图，连接AB,作DHL AB于点H,交OB于点P,第3题解图A(-1 , 0)、B(0,OA 3. tan/ ABO = = OB 3木)、C(2, 0),，OA=1, OB = V3,.Z ABO =30,PH = ；PB,1-2PB+PD= ph+pd = dh ,，一，1.此时2PB+PD的值最小.3在 RtAADH 中,AHD=90 , AD /HAD = 60 , DH =平，- PB + PD的最小值为 斗.4. (1)证明：二四边形AB

5、CD是矩形,.od = ob=oc = oa. EDC和 ODC关于CD对称,，DE=DO, CE=CO,.DE=EC = CO = OD,，四边形CODE是菱形；(2)解：如解图，设 AE交CD于K.四边形CODE是菱形，DE / AC, DE = OC=OA,DK DE 1=KC AC 2AB=CD = 6,DK = 2, CK = 4,在 RtAADK 中，AK=AD2+ DK2(/5) 2+22 =3, .sin/ EAD =DK欣一23作 PF LAD 于 F,易知 PF = AP sin/DAE=2AP,3AP点q的运动时间t=半+号=。-3Ap=op+pf,当O, P, F共线时，OP+PF的值最小，此时 OF AACD的中位线,11.51-OF = 2CD=3, AF=2AD =，PF = DK=1, op = OF-PF =2, 3 3点Q走完全程需2勺+江=3 s.当点Q沿上述路线运动到点- 3AP的长为3,点Q走完全程所需的时间为3 s.A所需要的时间最短时,第4题解图2 .如图，矩形 ABCD中，AB=20, BC=10,若在 AC、AB上各取一点 M、N,使BM + MN的值最小，则这个最小值为 .3 .如图，在平面直角坐标系中，二次函数y