专题05万有引力定律应用模型-高考物理模型法之算法模型法解析版

1、高中物理系列模型之算法模型4 .万有引力定律应用模型模型界定本模型中归纳万有引力定律及其适用条件，在天体问题中主要是涉及中心天体的质量与密度的计算，沿椭圆轨道运行的天体及变轨问题.模型破解.万有引力定律(i)内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小F与物体的质量 m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比.(ii)公式Gm1m2F r式中质量的单位用kg,距离的单位用 m,力的单位用 N.G是比例系数，叫做引力常量，67刈。-11N m2/kg2.(iii)适用条件万有引力公式适用于两质点间的引力大小的计算对于可视为质点的物体间的引力的求解也可以利用万有引力公式，如两物体间距离

2、远大于物体本身大小时，物体可看做质点；均匀球体可视为质量集中于球心的质点，公式中r是球心间距离.当研究物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出两个物体上每个质点与另一个物体上所有质点的万有引力，然后求合力 引力，故合外力为零.万有引力与重力的区别(i)自转的影响当物体位于赤道上时：邛=0,当物体位于两极时：=90,.例如将物体放在地球的球心时，由于物体各万面受到相互对称的万有mg 二 F 二GMmGMmR22-mRN2. 一， , 一Fn = mR cos邛是万有引力的一当物体位于纬度中时，万有引力为F = GMm 物体所需向心力R2个分力，所谓重力是与地面对物体的支持力相平衡

3、的万有引力的另一个分力.物体的重力产生的原因是万有引力，但在一般情况下万有引力不等于重力，重力的方向不指向地心，由于地球自转的影响，随着纬度的增加，向心力越来越小，重力越来越大，因而重力加速度也随着纬度的增加而增大.(ii)地面到地心距离与R与地球密度P的影响由于地球是椭圆体，质量分布也不均匀，重力与重力加速度也会发生变化.如果只考虑地球的形状，从赤道到两极，地面到地心的距离越来越小，重力与重力加速度越来越大；如果只考虑地球自转的影响，从赤道到两极，所需向心力越来越小，重力与重力加速度也越来越大.(iii)赤道上的物体由于赤道上的物体重力与万有引力的差别在千分之四以下，因此在忽略地球处置的影响

4、下可近似认为地球引力等于重力，有所谓的黄金代换式： GM =gR2 .例1 .如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为 P;石油密度远小于 P,可将上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度.(正常值)沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏高。重力加速度在原坚直方向(即 PO方向)上的投影相对于正常值的偏离叫做重力加速度反常为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点附近重力加速度反常现象。已知引力常数为Go(1)设球形空腔 体积为V,球心深度为d (远小于地球半径)，PQ=x

5、,求空腔所引起的 Q点处的重力加速度（2）若在水平地面上半径 L的范围内发现：重力加速度反常值在6与k6 （k1）之间变 化，且重力加速度反常的最大值出现在半为L的范围的中心，如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积。答案:G ：VdTT22、 3/2(d x )(2)L一k2/3 二 1L2k、.G：(k2/3)解析:（1）如果将近地表的球形空腔填满密度为。的岩石;则该地区重力加速度便回到正常值.因此,重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力G段二2来计算,式中的m是Q点处某质点的质量M是填充后球形区域的质量,J/ - pV而r是球形空腔中

6、心。至Q点的距离f =依 +F“在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q点处重力加速度改变的大小Q点处重力加速度改变的方向沿0Q方向重力加速度反常化,是这一改变在竖直方向上的投题加二:归联立以上式子得r3 +x)g 二一/产(d L )（2）由式得，重力加速度反常%的最大值和最小值分别为（%= 萼 d由提设有(Aglax =kB、(AgLin =& 联立以上式子得，地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为d L VL2k、d =V =-,k2/3 -1 G ：(k2/3 -1)例2 .地球可视为球体，自转周期为 T,在它两极处，用弹簧秤测某物体重力为P,在它的赤道上，用弹簧秤测同一物体的重力为

7、0.9P,地球的平均密度是多少?2 340 咯R：GT230二4 二 R3 GT23 ,3解析：设物体质量为 m,地球质量为 M,半径为Ro在两极处：物体重力等于万有引力p =GMm ,R2在赤道处：地球对物体的万有引力与弹簧对物体的拉力的合力提供向心力。由牛顿第二定律:MmR2-0.9P=m 5T2两式联立可得:40 二2R3GT240二 2R3地球的平均密度GT230二4 二 R3 飞T2 3模型演练1.一物体静置在平均密度为P的球形天体表面的赤道上。已知万有引力常量G, 若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为3G ：-1)24二 G；)2C.(G：1)2G-)2答案

8、：D3jt解析：球形天体表面的赤道上，物体对天体表面压力恰好为零，说明天体对物体的万有引力恰好等于物体随天体运动所需的向心力，有2 .据报道，最近在太阳系外发现了首颗600 N的人在这个行星表面的重量将变为宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为960 N,由此可推知该行星的半径与地球半径之比约为A.0.5B2.C.3.2D.4答案：B解析：(1)在该行星表面处，G*mg行，g行=16m/s2.在忽略自转的情况下，万有引力等于物体所受的重力得GMmR2=mg，有 r =GM 3R行I1，故一M行g地 =2在天体的表面，忽略星体的自转则有万有引力等于重力:GMm 浦mg =

9、,解得 M 二RgR2,此法中小腹星体表面的重力加速度，故称之为“地上的方法”.若天体围绕某中心天体作匀速圆周运动时，万有引力充当向心力:GMm =mr(&L)2 ,可解得中心天体的质 r2T“ 2 3口 4二r重M =厂GT 2(ii)测密度的方法天体的平均密度:近似等于中心天体V =4jiR3 ,故有P=刍一或P = 三二,若运行天体的轨道r34 RGGT 2R33-R的半径时：P=，只需测出运行天体绕中心天体表面运行的周期即可.GT2例3. (1)开普勤行星运动第三定律指出，行星绕太阳运动的椭圆轨道的正半长轴a的三次方与它的公转周3 a 期T的二次万成正比，即 =k,k是一个所有行星都相

10、同的常量，将行星绕太阳的运动按圆周运动处理， T2请你推导出太阳系中该常量 k的表达式。已知引力常量为G,太阳的质量为M太。(2)开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统(如地月系统)都成立，经测定月地距离为3.84 X108 m月球绕地球运动的周期为2.36 106 s,试计算地球的质量 M地=(G=6.67X10山N-m2/kg2 ,结果保留一位有效数字)答案：(1) 4K (2) 6X1024kg G解析;(1)因行星绕太阳作匀速圆周运动，于是轨道的半长轴口即为轨道半径入根据万有引力定律和牛顿第二定律有/ G于是有=川+即 女=2口4 k故GR,周期为T,由式可得(2)

11、在月地系统中，设月球绕地球运动的轨道半径为R3 G .-2- =2 M地T 4 二解得 M 地=6 X1024kg（M地=5 X1024kg也算对）例4 .宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某.星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。（取地球表面重力加速度 g=10m/s2,空气阻力不计）（1）求该星球表面附近的重力加速度g;（2）已知该星球的半径与地球半径之比为R星:R地=1:4,求该星球的质量与地球质量之比M星:M地。答案：（1） 2m/s2 1:80解析：（1） t=,所以 g= g=2m/s2,g 5（2） g = G

12、M,所以 M =吟,可解得：M 星:M 地=1 M12:5M42= 1:80, RG模型演练.嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星。若测得 嫦娥二号”在月球（可视为密度均匀的球体）表3面附近圆形轨道运行的周期 T,已知引力常数 G,半径为R的球体体积公式v=2nR3,则可估算月球的4A.密度B.质量C.半径D.自转周期答案：A解析:嫦娥二号在近月表面做周期已知的匀速圆周运动，有空1=加?三:。由于月球半径R未知，所以 R* 广无法估算质量但结合球体体积公式可估算密度（与三成正比3 A正确。不能将逢娥二号“的周期与 R3月球的自转周期混淆,无法求出月球的自转周期,T,速度为v,引力常量为G

13、,则.一行星绕恒星作圆周运动。由天文观测可得，其运动周期为3TA.恒星的质量为一B.行星的质量为4 二 2VGT2C.行星运动的轨道半径为vTD.行星运动的加速度为答案：ACD解析：根据圆周运动知识得：由v = 2匚得到行星运动的轨道半径为 r=, C正确。根据万有引力提供向 TOC o 1-5 h z T2 二23T心力得：eMJumr%厂 由得M=,故A正确；根据题意无法求出行星的质量，故B错误.根r2 T22二 G据a=v2由得：行星运动的加速度为 玛 .故D正确. HYPERLINK l bookmark7 o Current Document rT.天文学家新发现了太阳系外的一颗行星

14、。这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的 25倍。已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G=6.67X 10-11N巾2颂2,由此估算该行星的平均密度为A.1.8 103kg/m3B. 5.6 1)03kg/m3C. 1.1 t04kg/m3D.2.9 104kg/m3答案：D解析:苜先根据近地卫星慢地球运动的向心力由万有引力提供G喀 二阳邛 可求出地球的质量一然后根 R* T*据夕=/及质量与半径间的关系，可得该行星的密度约为2奂104 4成.已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍。若某行星的平均密度为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2

15、.5倍，则该行星的自转周期约为12小时24小时36小时答案：B解析：地球的同步卫星的周期为Ti=24小时，轨道半径为 门=7Ri,密度仍。某行星的同步卫星周期为 T2轨道半径为2=3.5R2,密度喏根据牛顿第二定律和万有引力定律分别有= i(,14 rG叫x p、一成二工厂3最ri工二124,两式化简得 .2, B正确。4.应用之二：行星表面重力加速度、轨道重力加速度(重力近似等于万有引力)表面重力加速度： GMmR2GM = mg0g0 =-R2轨道重力加速度:GMmGMr 二 mgh . gh =R h 2R h 2R22 g0(R h) 33 D Z3CRAD Z地面下的重力加速度：1

16、=mgd , M = P- n(R -d)3 =-M- M/. gd =(Rd)=-g0(R -d)23R3R3R从行星中心到无限远重力加速度的变化规律如图所示：例5 .2011年4月10日，我国成功发射第 8颗北斗导航卫星，建成以后北斗导航卫星系统将包含多颗地球同步卫星，这有助于减少我国对 GPS导航系统的依赖，GPS由运行周期为12小时的卫星群组成， 设北斗导航系统同步卫星和GPS导航的轨道半径分别为 R和R2 ,向心加速度分别为 &和a2，则R ： R2 =。a ： a2 = (可用根式表本)_3J_一 4R2T2解析:因红2,由竽竽 二也得：氏=；但工GM因而二R*1例6 .晴天晚上，

17、人能看见卫星的条件是卫星被太阳照着且在人的视野之内。一个可看成漫反射体的人造地球卫星的圆形轨道与赤道共面，卫星自西向东运动。春分期间太阳垂直射向赤道，赤道上某处的人在日落 后8小时时在西边的地平线附近恰能看到它，之后极快地变暗而看不到了。已知地球的半径6cR地=6.4父10 m,地面上的重力加速度为10m/s2,估算：(答案要求精确到两位有效数字)(1)卫星轨道离地面的高度。(2)卫星的速度大小。6,1. 一一 一6cdi60：个 12上文2 M6.4毁 102)=5.7 M103m/sh, Q点日落后8小时时能看到它反射的解析：从北极沿地轴往下看的地球俯视图如图所示，设卫星离地高阳光。日落8

18、小时Q点转过的角度设为 0式阳强 一二-殳 360,=120246,16轨道高 2cos60cos=6.4M10 M(-1)=6.40 m(2)因为卫星轨道半径 r = r+h=2R地根据万有引力定律，引力与距离的平方成反比1, 一 gr =g 地=2.5m/s卫星轨道处的重力加速度4”2Vmgr = m 63v = , g r - - 2.5 2 6.4 10 =5.7 10 m/s模型演练7.质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动。已知月球质量为月球半径为R,月球表面重力加速度为 g,引力常量为G,不考虑月球自转的影响，则航天器的GM _ RGmC.运行周期

19、T =2瓦|D.向心加速度a=-2 gR答案：AC解析：根据万有引力提供卫星做圆周运动的向心力和万有引力等于重力得出:故A正确/ mg=m/R得m，故B错误：mg =版匕=故D错误.8.月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度大小为a ,设月球表面的重力加速度大小为 g1,在月球绕地球运行的轨道处由地球引力产生的加速度大小为g2 ,则g1 =ag2 = ag1 g2 =ag2 -g1 三a答案：B解析:根据月球绕地球做匀速圆周运动的向心力由地球引力提供m月a =m月g2 =GM.m月,可知b正确。而R地月Gmm月mg1 =2与 a、g2无关，A CD错误. R月9.火星直径约为地球的一半，质量约为

20、地球的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球公转半径的1.5倍，根据以上数据，以下说法正确的是A .火星表面重力加速度的数值比地球表面的小B.火星公转的周期比地球的长C.火星公转的线速度比地球的大D.火星公转的向心加速度比地球的大答案：AB解析：根据万有汕等于重力得出： W =阳得=艮据火星直径约为地球的一半，质量约为地 球的十分之一.计算得出火星表面的重力加速度约为地球表面的三；故A正确，研究火星和地球缮太阳公 转，根据五直引力提供向心力得出：丝J皿竺得:町区,M为太阳的质量，r为轨道半径.火 r1 T-1G.V星的轨道半径大于地球的轨道半径，通过T的表达式发现公转轨道半径大的周期长，故B

21、错误，研究火星 和蝌球缕太阳公转,根据万直引力提供向心力得出： 整小上，得：】= 严.乂为太阳的质量，r为轨道半径.火星的轨道半径大于地球的轨道半径，通过v的表达式发现公转轨道半径大的线速度小，故C 错误,研究火星和地球绕太阳公建，根据万有引力提供向心力得出：字=阳瑁，得：&=等.M为太阳 Jr1的质量,为轨道的里火星的轨道半径大于地球的轨道半径，通过曰的表达式发现公转轨道半径大的同心加速度小，故D错误310.英国新科学家(New Scientist) 杂志评选出了 2008年度世界8项科学之最，在 XTEJ1650-500双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径 R约45km,质量M

22、和半径R的关系满足 M =-c(其中R 2Gc为光速，G为引力常量)，则该黑洞表面重力加速度的数量级为8,210, 2A. 10 m/sB. 10 m/s122142C. 10 m/sD . 10 m/s答案：C10解析：可认为黑洞表面物体的重力等于万有引力,即GMmR2GM=mg ,即R2M M=g，将一R2=3代入上式得g =2G2 c2R=1 X1012 m/s2, C 正确。11.近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为和丁2，设在卫星1、卫星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为g1、g2 ,则4/3g 1B.g2T1 Jg1D.g24/3g1A.g2D ,近g2答案：B

23、解析:卫星绕天体作匀速圆周运动由万有引力提供向心力有半 二m(三可得二K为常数，由重 R TR力等于万有引力且匕=mg,联立解得g=；则g与广成反比，B正确.R*- F12.据媒体报道，嫦娥一号卫星环月工作轨道为圆轨道，轨道高度200 km,运行周期127分钟。若还知道引力常量和月球平均半径，仅利用以上条件不能 求出的是A.月球表面的重力加速度B.月球对卫星的吸引力C.卫星绕月球运行的速度D.卫星绕月运行的加速度答案：B解析：根据万有引力提供向心力,二双出+用F G3f =4(K +疗,月球表面的重力加速度R:,A可以；在不知卫星的质量， 月球对卫星的吸引力无法求得，B不行;+ h)T , C

24、可以;vCL -&+后，D可以。5.应用之三：宇宙速度(i)宇宙速度11宇宙速度是发射速度的三个临界值.第一宇宙速度V|=JgR= 7.9km/s,第二宇宙速度vIH = 16.7km/s.2GM，VI =( r = 11.2km/s,第三宇宙速度在地球表面以平抛的方式发射天体时,若发射速度V VI时物体将落回到地面上； 若V = VI沿地球表面做匀速圆周运动；若VI V VII时物体绕以地心为一个焦点的椭圆轨道运动；若VII W V VIII时脱离地球束缚绕太阳运行；若 V圭VIII时脱离太阳束缚进入宇宙空间中.在地球表面以竖直方式发射物体时，物体不落回地球表面的最小发射速度等于第二宇宙速度

25、.例7.在地面上以速度V抛射一飞船后，这艘飞船绕地球转动，当将抛射速度提高到 2V时，飞船将可能A、地球转动，轨道半径增大B、仍绕地球转动，轨道半径减小C、摆脱地球引力的束缚，成为太阳系的小行星D、摆脱太阳引力的束缚，飞向宇宙答案：CD解析：飞船绕地球转动时对应的发射速度丁夕vlL2fcM 一解15如若 2v$时0正确夕若 1631 s ,nl-2)2故只有C正确. r2rV2ria2rii4例10. 2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道I进入椭圆轨道n, B为轨道n上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有航道h、/ 轨道11 (A)在

26、轨道n上经过 A的速度小于经过 B的速度(B)在轨道n上经过 A的动能小于在轨道I上经过 A的动能(C)在轨道n上运动的周期小于在轨道I上运动的周期(D)在轨道n上经过 A的加速度小于在轨道I上经过A的加速度答案：ABC解析：由能量守恒知从A到B势能减少，动能增大A正确.由高轨道进入低轨道时需减速，E正确.由开 普勒第三定律知C正确.经过A点时都是只受到而有引力的作用，加速度都等于该处的重力加速度，D错I天例11.2008年12月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞人马座A*”的质量与太阳质量的倍数关系。研究发现，有一星体S2绕人马座A*做椭圆运动，其轨道半长轴为9.50M102天

27、文单位(地球公转轨道的半径为一个天文单位)，人马座A*就处在该椭圆的一个焦点上。观测得到S2星的运行周期为15.2年。(1)若将S2星的运行轨道视为半径 r=9.50父102天文单位的圆轨道，试估算人马座A*的质量Ma是太阳质量M s的多少倍(结果保留一位有效数字)；(2)黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚。由于引力的作用，黑洞表面处质量为 m的粒子具有势能为 Ep=-G 3m (设粒子在离黑洞无限远处的势能为零)，式中 M、R分别表示黑洞的质量和半径。已知引力常量G=6.7M10-11N-m2/kg2,光速c=3.0 M108

28、m/s,太阳质量Ms=2.0 M103kg ,太阳半径Rs=7.0 x 108m,不考虑相对论效应，利用上问结果，在 经典力学范围内求人马座 A*的半径Ra与太阳半径Rg之比应小于多少(结果按四舍五入保留整数)。答案：(1) 4X106 (2) 1715解析：D 0之星绕大马座以做圆周运动的向心力由人马座A.对以星的万有引力提供，役S?星的质量为2角速度为叫周期为T,则G 白-m3： GTrti)= T设地球质量为冲*公转轨道半径为周期为E,则综合上述三式得-32Ma，I II ；M S - Me 八 T J式中Te=1年rE=1天文单位代入数据可得MaMs二4 106(2)引力对粒子作用不到的地方即为无限远，此时料子的势能为零。处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚”，说明了黑洞表面处以光速运动的粒子在远离黑洞的过程中克服引力做功，粒子在到达无限远之前，其动能便减小为零，此时势能仍为负值，则其能量总和小于零，则有I 2_-mc -G 2MmR：二0依题意可知R = RaM = M aaA可得2GM a2c代入数据得_10Ra 二 1.2 10