福建高考数学二轮专题复习教案――空间角度

1、学习必备欢迎下载专题(三)空间角主干知识整合：立体几何的空间角度中，对三种角度的求解与性质的探究，属于高考永恒的话题经典真题感悟：1（07全国理7题）已知正三棱柱ABCABC的侧棱长与底面边长相等，111则AB与侧面ACCA所成角的正弦等于（A）1114B23A6104CD222（07浙江理16题）已知点O在二面角AB的棱上，点P在内，且POB45。若对于内异于O的任意一点Q，都有POQ45，则二面角AB的大小是_90_。3（07广东理19题）如图6所示，等腰ABC的底边AB=66，高CD=3，点B是线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上，且EFAB.现沿EF将BEF折起到PEF的位置，

2、使PEAE。记BEx，V(x)表示四棱锥PACFE的体积。（）求V(x)的表达式；（）当x为何值时，V(x)取得最大值？（）当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值；解：1）由折起的过程可知，PE平面ABC，SABC96，BDCx2SBEFx26S5412ABBCBD1MFBFPFBC6549423，V(x)=6x(91x2)（0 x36）312（2）V(x)6(91x2)，所以x(0,6)时，v(x)0，V(x)单调递增；6x3634时v(x)0，V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)取得最大值126；（3）过F作MF/AC交AD与M,则BMBFBEBE,MB2BE12，

3、PM=62，AB2636在PFM中，cosPFM84722，异面直线AC与PF所成角的余弦值为2；4277热点考点探究：考点一：异面直线所成的角空间角的最小元素其范围是0,.学习必备欢迎下载.直线与直线所成角是立体几何的所成角（线线角、线面角、面面角）中最简单的一种，只需要把两条直线（或其中一条直线）平移，使它们相交于一点，就可以把两条异面直线所成角的问题转变为平面中两条相交直线所夹角的问题了.要注意的是角的取值范围，分清那个角是这两条直线的所成角（或者它的补角）2【例1】如图（1）所示，在空间四边形ABCD中，已知AD=1，BC=3，且ADBC，对角线BD=133，AC22，求AC和BD所成

4、的角.同理，GH=，HF，GHAD，HFBC.在ACE中，AC2CE224,2【解析1】如图（2）所示，分别取AD、CD、AB、BD的中点E、F、G、H，连结EF、FH、HG、GE、GF.由三角形中位线定理知，EFAC，且EF=3，GEBD，4且GE=13.4GE和EF所成的锐角（或直角）就是AC和BD所成的角.1322又ADBC，GHF90.GF2GH2HF21.在EFG中，EG2EF21GF2，图（2）GEF90，即AC和BD所成的角为90.【解析2】如图（3），在平面BCD内，过C作CEBD，且CE=BD，连DE，则DEBC且DE=BC.ACE就是AC和BD所成的角（若ACE为钝角，则A

5、CE的补角就是AC和BD所成的角）.又ADBC,ADDE.AE2AD2DE24.图（3）32132ACE=90，即AC和BD所成的角为90.【点评】求异面直线所成的角常采用“平移线段法”.平移的方法一般有下面三不存在补角的问题.直线与平面成角的范围是0,.()当k时，求直线PA与平面PBC所成角的大小.在eqoac(,Rt)ODF中,sinODF=OF,学习必备欢迎下载种类型：利用图有已有的平行线平移；利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；补形平移，计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.考点二：线面角直线与射影的夹角为主体直线与平面所成的角分两种，一是平面的斜线与平面所成的锐角，即斜

6、线与平面内的射影所夹的角；二是平面的垂线与平面所成的直角.直线与平面所成角2【例2】如图（4），在三棱锥PABC中，ABBC，ABBCkPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP底面ABC()求证：OD平面PAB；12【解析】()O、D分别为AC、PC的中点：ODPA,又AC平面PAB,图（4）OD平面PAB.()ABBC,OA=OC,OA=OC=OB,又OP平面ABC,PA=PB=PC.取BC中点E,连结PE,则BC平面POE,作OFPE于F,连结DF,则OF平面PBCODF是OD与平面PBC所成的角.又ODPA,PA与平面PBC所成角的大小等于ODF.图（5）210OD30PA与平面PBC

7、所成角为arcsin21030【点评】求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角.考点三：二面角用平面角来量度面面成角是立体几何中的所成角问题的重点，二面角的两个面是两个半平面，因此二面角中有钝角存在，二面角的取值范围与线线角、线面角不同，它的取值范围是【0,】.二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小求解，以利用平面几何、三角函数等重要知识.【例3】在棱长为a的正方体ABCDABCD中，E、F分别是BC、AD的中点.学习必备欢迎下载图（6）(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)求直线AC与DE所成的角；(3)求直线AD与平面BEDF所成的角；(4)求面B

8、EDF与面ABCD所成的角.【解析】(1)证明：如上图所示，由勾股定理，得BE=ED=DF=FB=5a,2下证B、E、D、F四点共面，取AD中点G，连结AG、EG，由EGABAB知，BEGA是平行四边形.BEAG,又AFDG,AGDF为平行四边形.AGFD，B、E、D、F四点共面故四边形BEDF是菱形.(2)解：如图（7）所示，在平面ABCD内，过C作CPDE，交直线AD于P，图（7）则ACP(或补角)为异面直线AC与DE所成的角.在eqoac(,A)CP中，易得AC=3a，CP=DE=由余弦定理得cosACP=15155a,AP=13a22故AC与DE所成角为arccos1515.(3)解：

9、ADE=ADF,AD在平面BEDF内的射影在EDF的平分线上.如下图所示.学习必备欢迎下载图（8）又BEDF为菱形，DB为EDF的平分线，故直线AD与平面BEDF所成的角为ADB在eqoac(,Rt)BAD中，AD=2a，AB=2a,BD=2a则cosADB=33故AD与平面BEDF所成的角是arccos3.3(4)解：如图，连结EF、BD，交于O点，显然O为BD的中点，从而O为正方形ABCDABCD的中心.图（9）作OH平面ABCD，则H为正方形ABCD的中心，再作HMDE，垂足为M，连结OM，则OMDE，故OMH为二面角BDEA的平面角.在eqoac(,Rt)DOE中，OE=2a,OD=2

10、3a,斜边DE=5a,22则由面积关系得OM=ODOE30aDE10在eqoac(,Rt)OHM中，sinOMH=OH30OM6故面BEDF与面ABCD所成的角为arcsin.306【点评】对于第(1)问，若仅由BE=ED=DF=FB就断定BEDF是菱形是错误的，因为存在着四边相等的空间四边形，必须证明B、E、D、F四点共面.求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法.求二面角的大小也可应用面积射影法.学习必备欢迎下载考点四：探索性问题例4.如图，在三棱锥ABCD中，侧面ABD,ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD3,BDCD1,另一个侧面是正三角形，在线段AC上

11、是否存在一点E，使ED与面BCD成30角，若存在，确定E的位置，若不存在，请说明理由。A分析：如图5把在三棱锥ABCD补成以BD为棱的正方体HCDB-AMNG,使我们对题意及图形有透彻理解找到ED与面BCD所成的角。在AC上任取一点E,BED使CEx(0 x2)，利用ED与面BCD所成的角为30来构建方程，再求x的值，若x0,2就确定了E点的位置，若x0,2则说明满足条件的E点不存在。C解法1：如图6，在三棱锥ABCD中，侧面ABD与ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，AD3,BDCD1,ABC是正三角形，AGBEMND则ABBCCA2HC,O取BC的中点O连结AOD则BCAO,BCD

12、O，AODOO，BC平面AOD，平面BCD平面AOD，作AHDO,交DO的延长线于H，ODBC，D则平面BC平面AOD1222,DH则AH平面BCD，在RtABCD中，在RtACO中，AO3AC，在RtAOD中，622BEODcosADO，AD2OD2AO262ADOD3HFC3中AHADsinADO1，设CEx(0 x2)，sinADO3，在RtADH作EFCH于F，平面AHC平面BCD，EF平面BCD,EDF就是ED与面BCD所成的角。由EF,EFx()，在RtCDE中，学习必备欢迎下载CE2AHAC2DE22CECD1D2x，要使E与面BC成30角，只需使1,x1，当CE1时ED与面BC

13、D成30角则D(0,0,0),E(2x,1,x),DE(x,1,x)，2x2x212解法2在解法1中接（）以D为坐标原点，以直线DB,DC分别为x轴，y轴的正方向，以过D与平面BCD垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如下图所示2222222又平面BCD的一个法向量为n(0,0,1)，要使ED与面BCD成30角，DEn12x只需使DE与n成60，只需使cos60，即2,x1，DEnx212当CE1时ED与面BCD成30角AEzxBDOHFCy规律总结：1、求线面角关键是找、作线与面垂直，通常是先寻找面面垂直，得到线面垂直；2、二面角的平面角的基本作法有：定义法，三垂线定理法，垂面法。点到面的

14、距离通常在面面垂直背景下向线作垂线得到线面垂直得射影。另空间距离和角的求解应遵循：一作二证三计算。3、向量法在题目中的应用专题能力训练：一选择题：1已知三棱锥DABC的三个侧面与底面全等，且ABAC3，BC2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小为（C）学习必备欢迎下载3Barccos12D2Aarccos33C32正四面体ABCD中E、F分别是棱BC和AD之中点，则EF和AB所成的角（A）A45B60C90D30113.已知正四面体ABCD中,AE=AB,CF=CD,则直线DE和BF所成角的余弦为(A)444343A.B.C.D.131313134等边三角形ABC和等边三角形

15、ABD在两个相互垂直的平面内，则CAD（B）Aarccos()BarccosCarccos()D121741625.已知单位正方体ABCDA1B1C1D1对棱BB1,DD1上有两个动点E,F,BE=D1F=(012),设EF与AB所成的角为,与BC所成的角为,则的最小值(B)A.等于60B.等于90C.等于120D.等于135二填空题：6.棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,若点P为三角形BCD的重心,则D1F与平面ADD1A1所成的角的大小为_arcsin147_7若正三棱锥的侧面均为直角三角形，则它的侧面与底面所成二面角的为大小为arctan2三解答题：8、如图，在四面体P-ABC

16、中，PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB234，F是线段PB上一点，CF1534，点E在线段AB上，且EF17PB.（1）求证：PB平面CEF；（2）求二面角BCEF的大小。解（I）证明：PA2AC23664100PC2PAC是以PAC为直角的直角三角形，同理可证PAB是以PAB为直角的直角三角形，PCB是以PCB为直角的直角三角形。故PA平面ABC又S112|AC|BC|2PBC10630而|PB|CF|234111534221730SPBC学习必备欢迎下载故CFPB,又已知EFPBPB平面CEF（II）由（I）知PBCE,PA平面ABCAB是PB在平面ABC上的射影，故ABCE

17、在平面PAB内，过F作FF1垂直AB交AB于F1，则FF1平面ABC，EF1是EF在平面ABC上的射影，EFEC故FEB是二面角BCEF的平面角。AB105tanFEBcotPBAAP63二面角BCEF的大小为arctan53M，PNBB交CC于点N10如图，点P为斜三棱柱ABCABC的侧棱BB上一点，PMBB交AA于点11111111(1)求证：CCMN；(2)在任意DEF中有余弦定理：1DE2DF2EF22DFEFcosDFE拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明解(1)证：CC/BBCCPM,CCPN,CC平面PMNCCMN；ABB