黑龙江省大庆2022年高考仿真卷数学试题含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若向量，则（ ）A30B31C32D332一个频率分布表（样本容量为）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在上的频率为，则估计样本在、内的数据个数共有（ ）ABCD3记集合和集合表示

2、的平面区域分别是和,若在区域内任取一点,则该点落在区域的概率为( )ABCD4若双曲线：（）的一个焦点为，过点的直线与双曲线交于、两点，且的中点为，则的方程为（ ）ABCD5已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，延长交右支于点，若，则双曲线的离心率是（ ）ABCD6如图，正方体中，分别为棱、的中点，则下列各直线中，不与平面平行的是（ ）A直线B直线C直线D直线7已知函数，若曲线上始终存在两点，使得，且的中点在轴上，则正实数的取值范围为（ ）ABCD8已知抛物线：，点为上一点，过点作轴于点，又知点，则的最小值为（ ）ABC3D59已知数列an满足：an=2,n5a1

3、a2an-1-1,n6nN*.若正整数k(k5)使得a12+a22+ak2=a1a2ak成立，则k=( )A16B17C18D1910设集合，若，则的取值范围是（ ）ABCD11一艘海轮从A处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是（ ）A6 海里B6海里C8海里D8海里12若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13如图，在平面四边形ABCD中，|AC|=3,|BD|=4，则(AB

4、+DC)(BC+AD)=_14已知函数有两个极值点、，则的取值范围为_.15已知数列为正项等比数列，则的最小值为_.16若函数，其中且，则_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知椭圆过点，设椭圆的上顶点为，右顶点和右焦点分别为，且（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线交椭圆于，两点，设直线与直线的斜率分别为，若，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由18（12分）已知函数.（1）讨论函数f(x)的极值点的个数；（2）若f(x)有两个极值点证明.19（12分）已知函数与的图象关于直线对称. （为自然对数的底数）（1）若的图

5、象在点处的切线经过点，求的值；（2）若不等式恒成立，求正整数的最小值.20（12分）根据国家统计局数据，1978年至2018年我国GDP总量从0.37万亿元跃升至90万亿元，实际增长了242倍多，综合国力大幅提升.将年份1978，1988，1998，2008，2018分别用1，2，3，4，5代替，并表示为；表示全国GDP总量，表中，.326.4741.90310209.7614.05（1）根据数据及统计图表，判断与（其中为自然对数的底数）哪一个更适宜作为全国GDP总量关于的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程.（2）使用参考数据，估计2020年的全国GDP总量.线

6、性回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，.参考数据：45678的近似值551484031097298121（12分）设函数，.（1）解不等式；（2）若对任意的实数恒成立，求的取值范围.22（10分）已知函数.（1）若，求不等式的解集；（2）已知，若对于任意恒成立，求的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1C【解析】先求出,再与相乘即可求出答案.【详解】因为,所以.故选:C.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算,考查了学生的计算能力,属于基础题.2B【解析】计算出样本在的数据个数，再减去样本在的数据个

7、数即可得出结果.【详解】由题意可知，样本在的数据个数为，样本在的数据个数为，因此，样本在、内的数据个数为.故选：B.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频数，要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题.3C【解析】据题意可知，是与面积有关的几何概率，要求落在区域内的概率，只要求、所表示区域的面积，然后代入概率公式，计算即可得答案【详解】根据题意可得集合所表示的区域即为如图所表示：的圆及内部的平面区域，面积为，集合，表示的平面区域即为图中的，根据几何概率的计算公式可得，故选：C【点睛】本题主要考查了几何概率的计算，本题是与面积有关的几何概率模型解决本题的关键是要准确求出两区

8、域的面积4D【解析】求出直线的斜率和方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合焦点的坐标，可得的方程组，求得的值，即可得到答案.【详解】由题意，直线的斜率为，可得直线的方程为，把直线的方程代入双曲线，可得，设，则，由的中点为，可得，解答，又由，即，解得，所以双曲线的标准方程为.故选：D.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程的求解，其中解答中属于运用双曲线的焦点和联立方程组，合理利用根与系数的关系和中点坐标公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.5D【解析】设双曲线的左焦点为，连接，设，则，和中，利用勾股定理计算得到答案.【详解】设双曲线的左焦点为，连接，设，则，根据对称性知

9、四边形为矩形，中：，即，解得；中：，即，故，故.故选：.【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.6C【解析】充分利用正方体的几何特征，利用线面平行的判定定理，根据判断A的正误.根据，判断B的正误.根据与 相交，判断C的正误.根据，判断D的正误.【详解】在正方体中，因为 ，所以 平面，故A正确. 因为，所以，所以平面 故B正确.因为，所以平面，故D正确.因为与 相交，所以 与平面 相交，故C错误.故选：C【点睛】本题主要考查正方体的几何特征，线面平行的判定定理，还考查了推理论证的能力，属中档题.7D【解析】根据中点在轴上，设出两点的坐标，（）.对分成三类，利用则，列

10、方程，化简后求得，利用导数求得的值域，由此求得的取值范围.【详解】根据条件可知，两点的横坐标互为相反数，不妨设，（），若，则，由，所以，即，方程无解；若，显然不满足；若，则，由，即，即，因为，所以函数在上递减，在上递增，故在处取得极小值也即是最小值，所以函数在上的值域为，故.故选D.【点睛】本小题主要考查平面平面向量数量积为零的坐标表示，考查化归与转化的数学思想方法，考查利用导数研究函数的最小值，考查分析与运算能力，属于较难的题目.8C【解析】由,再运用三点共线时和最小，即可求解.【详解】.故选：C【点睛】本题考查抛物线的定义，合理转化是本题的关键，注意抛物线的性质的灵活运用，属于中档题9B【

11、解析】由题意可得a1=a2=a3=a4=a5=2，a6=a1a2a3a5-1=25-1=31，n6时，a1a2an-1=1+an，将n换为n+1，两式相除，an2=an+1-an+1，n6，累加法求得a62+a72+ak2=ak+1-a6+k-5即有a12+a22+ak2=20+ak+1-a6+k-5=ak+1+k-16，结合条件，即可得到所求值【详解】解：an=2,n5a1a2an-1-1,n6(nN*)，即a1=a2=a3=a4=a5=2，a6=a1a2a3a5-1=25-1=31，n6时，a1a2an-1=1+an，a1a2an=1+an+1，两式相除可得1+an+11+an=an，则a

12、n2=an+1-an+1，n6，由a62=a7-a6+1，a72=a8-a7+1，ak2=ak+1-ak+1，k5，可得a62+a72+ak2=ak+1-a6+k-5a12+a22+ak2=20+ak+1-a6+k-5=ak+1+k-16，且a1a2ak=1+ak+1，正整数k(k5)时，要使得a12+a22+ak2=a1a2ak成立，则ak+1+k-16=ak+1+1，则k=17，故选：B【点睛】本题考查与递推数列相关的方程的整数解的求法，注意将题设中的递推关系变形得到新的递推关系，从而可简化与数列相关的方程，本题属于难题.10C【解析】由得出，利用集合的包含关系可得出实数的取值范围.【详解

13、】，且，.因此，实数的取值范围是.故选：C.【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题.11A【解析】先根据给的条件求出三角形ABC的三个内角，再结合AB可求，应用正弦定理即可求解.【详解】由题意可知：BAC704030.ACD110，ACB1106545，ABC1803045105.又AB240.512.在ABC中，由正弦定理得，即，.故选：A.【点睛】本题考查正弦定理的实际应用，关键是将给的角度、线段长度转化为三角形的边角关系，利用正余弦定理求解.属于中档题.12B【解析】求导函数，求出函数的极值，利用函数恰有三个零点，即可求实数的取值范围.【详解】函数的导数为，令

14、，则或，上单调递减，上单调递增，所以0或是函数y的极值点，函数的极值为：，函数恰有三个零点，则实数的取值范围是：.故选B.【点睛】该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13-7【解析】由题意得AB+DC=AC-BD,BC+AD=AC+BD，然后根据数量积的运算律求解即可【详解】由题意得AB+DC=AC+CB+(DB+BC)=AC-BD,BC+AD=BA+AC+(AB+BD)=AC+BD，AB+DCBC+AD=AC-B

15、DAC+BD=AC2-BD2=9-16=-7【点睛】突破本题的关键是抓住题中所给图形的特点，利用平面向量基本定理和向量的加减运算，将所给向量统一用AC,BD表示，然后再根据数量积的运算律求解，这样解题方便快捷14【解析】确定函数的定义域，求导函数，利用极值的定义，建立方程，结合韦达定理，即可求的取值范围【详解】函数的定义域为，依题意，方程有两个不等的正根、（其中），则，由韦达定理得，所以，令，则，当时，则函数在上单调递减，则，所以，函数在上单调递减，所以，.因此，的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查了函数极值点问题，考查了函数的单调性、最值，将的取值范围转化为以为自变量的函数的值域问题是

16、解答的关键，考查计算能力，属于中等题.1527【解析】利用等比数列的性质求得，结合其下标和性质和均值不等式即可容易求得.【详解】由等比数列的性质可知，则，.当且仅当时取得最小值.故答案为：.【点睛】本题考查等比数列的下标和性质，涉及均值不等式求和的最小值，属综合基础题.16【解析】先化简函数的解析式，在求出，从而求得的值.【详解】由题意，函数可化简为，所以，所以.故答案为：0.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，以及导数的运算和函数值的求解，其中解答中正确化简函数的解析式，准确求解导数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17

17、（1） （2）直线过定点，该定点的坐标为【解析】（1）因为椭圆过点，所以 ，设为坐标原点，因为，所以，又，所以 ，将联立解得（负值舍去），所以椭圆的标准方程为 （2）由（1）可知，设，将代入，消去可得， 则， 所以， 所以，此时，所以，此时直线的方程为，即， 令，可得，所以直线过定点，该定点的坐标为18（1）见解析（2）见解析【解析】（1）求得函数的定义域和导函数，对分成三种情况进行分类讨论，判断出的极值点个数.（2）由（1）知，结合韦达定理求得的关系式，由此化简的表达式为，通过构造函数法，结合导数证得，由此证得成立.【详解】（1）函数的定义域为得， （i）当时；，因为时，时，所以是函数的一个

18、极小值点； （ii）若时，若，即时，在是减函数，无极值点.若，即时，有两根，不妨设当和时，当时，是函数的两个极值点， 综上所述时，仅有一个极值点；时，无极值点；时，有两个极值点（2）由（1）知，当且仅当时，有极小值点和极大值点，且是方程的两根，则 所以 设，则，又，即，所以所以是上的单调减函数，有两个极值点，则【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值点，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.19（1）e；（2）2.【解析】（1）根据反函数的性质，得出，再利用导数的几何意义，求出曲线在点处的切线为，构造函数，利用导数求出单调性，即可得出的值；（2）设，求导，求出的单调性，从而得出最大值为，结合恒成立的性质，得出正整数的最小值.【详解】（1）根据题意，与的图象关于直线对称，所以函数的图象与互为反函数，则,，设点，又，当时，曲线在点处的切线为，即，代入点，得，即，构造函数， 当时，当时，且，当时，单调递增，而， 故存在唯一的实数根.（2）由于不等式恒成立，可设，所以，令，得. 所以当时，；当时，因此函数在是增函数，在是减函数. 故函数的最大值为 .令， 因为， ，又因为在是减函数.所以当时，.所以正整数的最小值为2.【点睛】本题考查导数的几何意义和利用导数解决