均值不等式知识梳理

1、一、知识概述第六章不等式的性质和算术平均数与几何平均数两部分内容，前一部分中，主要用于讲述实数运算性质和大小顺序之间的关系，从而掌握比较两个实数大小关系的方法；在此基础上，给出了不等式的性质，一共讲了五个定理和三个推论，并给出了证明不等式的其他性质都可由它们推导出来第二部分中课本首先证明了一个重要的不等式a2b22ab，通过这一公式，得出了两个正数的算术平均数与几何平均数的定理利用均值不等式求函数的最值问题，这是均值不等式的一个重要应用。最后通过例题，说明此定理在解决数学问题和实际问题中的应用.二、重难点知识选讲1、实数的运算性质与大小顺序之间的关系不等式的等价性：两个实数、b比较大小，有大于

2、、等于、小于之别，且有，（1）b b0；（2）=bb=0；（3）b b0.等价符号左边不等式反映的是实数的大小顺序，右边不等式反映的则是实数的运算性质，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系，它是不等式这一章的理论基础，是不等式性质的证明，证明不等式以及解不等式的主要依据.本周学习的另一重点是用作差法比较两实数的大小.用作差法比较两实数的大小，其步骤为作差；变形；判断差的正负在解题中应加强化归意识，把比较大小与实数减法运算联系起来，利用实数的运算性质解决比较大小的问题.例1、 已知，bR+ ,求证：nbnn-1bbn-1（nN）分析：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的

3、关系，归结为判断它们的差的符号来确定. 证明此题要注意分类讨论。证明：nbn (n-1bb n-1)=(n-1bn-1)b(n-1b n-1)=(b)( n-1bn-1)若b若=b(b)( n-1b n-1)=0.若b综上,O,即nb n (n-1bb n-1)Onb nn-1bb n-1小结：比较大小常用作差法，一般步骤是作差变形判断符号变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用. 2、不等式的性质、推论及证明不等式的五个性质和三个推论是不等式这一章的理论依据。（1）bb；（反身性）（2）b，bcc；（传递性）（3）bc

4、bc；（两边同加数号不变）；推论：移项法则.（4）；（两边同乘正数号不变）；（5）；（两边同乘负数号改变）；推论：去系数法则.（6）；（同向相加）（7）；（异向相减）（8）；（同向相乘）（9）；（异向相除）（10）b（倒数关系）（11）b0nb n（nN+）；（不等式的幂）（12）b0（nN+）；（不等式的方根）例2、已知f(x)=px2q，且4f(1)1，1f(2)5，求f(3)的取值范围.分析：本题可考虑将f(3)写成f(1)，f(2)的线性组合，即f(3)=mf(1)nf(2)的形式，然后用不等式的运算性质推算f(3)的取值范围.解答：依题意，有点评：（1）这种类型题目常见的错误是： 由

5、，加减消元得0p3，1q7， 从而得7f(3)9pq26，事实上，f(3)不可能取到7，26上的一切值. p，q是两个相互联系，相互制约的量，在得出0p3，1q7后，并不意味着p、q可以独立地取得区间0，3及1，7上的一切值，例如p=0，q=7时，pq=7已不满足4pq1.（2）依不等式的性质求变量的范围是一种常见的题型，变形不等式时要防止扩大了变量的范围.例3、（1）已知30 x42，16y0，b0）即 a2bab=30（a0，b0）当且仅当a=2b时，上式取等号.由a0，b0，解得00为比例系数.依题意，即所求的a，b值使y值最小.根据题设，有4b2ab2a=60 （a0，b0），这时a=6，a=10（舍去）.将a=6，代入式得 b=3.故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.小结：应用均值不等式解决实际问题时，应注意：（1）先理想题意，设变量，设变量时一般把