博弈论重点精要

1、定羲：纳什均衡指一策略鲍合有以下特性：常参赛者探此策略鲍合彳爰，任一位寰者均照瓶因偏雕此一均衡; s* = (s *,s *,.s *) = (s.*,s.*)是一纳什均衡若且唯若坐寸所有参赛者i而言，u.(s.*,s .*)nu.(s.,s .*)坐寸所有s. G S. 12 n i-iii-i ii-iii均成立。经潸理京命也有丽太分析原刖：柢大化原刖(Optimality):参舆者追求效用或利瞧之橄大，由此辱出最遒策略。均衡原刖(Equilibrium)：至由互勤，参典者之建到某/重均衡状熊。又依经海袁境的不同，而有丽均衡念。完全竟竞争市埸布茴啻下探用瓦拉斯均衡(Walrasian Eq

2、uilibrium)或稠一般均衡(General Equilibrium)。而在寡占或不完全竟竞争备茴啻下探用寰局的均衡念，考虑的多不合作赛局(Noncooperative games)。以上同B寺出招的赛局，稠舄静熊赛局。逼些赛局也同日寺具有完全飘息，因舄参赛者都知道自己典封手的策略及相雁幸艮酬。参赛者同畤出招，又知 道所有参赛者的策略和幸艮酬的赛局就是完全飘息静熊赛局赛局r = (N, (Si) .eN , (Ui)，eN )的策略式包含三要素：参赛者(players)： i e N= 1, 2, 3,n策略(strategies): s . e S. = set of feasible

3、(pure) strategies for player i, i 6 N策略鲍合(strategy profile) s = ( s ,s ) = (s, s .), s .= X S.坐寸手的策略。1n i -i-ij怦i乾酬(payoffs)： U.= U. (s, s .)： X S.-沉舄幸艮酬或效用函敷。i ii-ijj6N策略式表示的完全飘息静熊赛局有畿黑战寺性：同B寺出招，出招一次。-知道赛局备茴啻典遁感规则f共同言税哉。不管是否)菁通，M法作出有拘束力之承 f不合作赛局。不完全讯息(Incomplete Information):不知对手的报酬。定义：在上述赛局r中，某一策略

4、组合；( J0如果满足以下条件，则称为贝氏纳什均衡(BNE)：对所有 i，a*(ti) e Arg Maxa (t )eA静态贝氏赛局(Static Bayesian Game)Z P(t ,|t.)U.(a*.(t .),a|t.)均成立。i i i i -i i i i t T= (N,(A ),(T),(P)i ieNi ieNi ieN，(皿N )其中a (t ) eA行动空间，t e T型i iiii态空间(type space)，P. (t t.)是第i位参赛者类型是t.时对其他参赛者(-i)各自型态(七)的主观机率看法t (t，t ，t ，t ), U是i的报酬, u j ZvL

5、i !)ui za i、1，7 i17 i+17。n， i 口 J J 区曰川，静态贝氏赛局的逐步描述：(1)自然(Nature)决定型态t 号，tn)，此型态向量发生的事先机率(prior probability)为P(t)；参与者i被告知他自己的型态匕，但不知他人的型态;参与者i形成对他人型态的预期Pi (t_i 1 )，并在此预期下选择行动ai以求取自身预期效用的最大;当所有参与者的行动ai均为给定其对手行动a_i的最适反应时，则达到一种纳什均，称之为贝氏纳什均衡(Bayesian Nash Equilibrium) o3.2不完全讯息静态赛局应用应用1：阻绝新厂商之进入：原厂商可建新生

6、产线以吓阻潜在竞争者进入完全讯息赛局：原厂商进入不进建0, -12, 0此时纳什均衡为(不建，进入)不建2, 13,0报酬为(2,1)新不完全讯息赛局：原厂商的建厂成本是私有信息，外人难以得知；但不外二下中 可能，高成本CH = 3或低成本CL =1.5。假使潜在厂商 知道机率，就可把这赛局转成不完美讯息赛局：P1CH =3(如上)1-y1-PCLy ,11.51-yxh|0-12, 01.5,-13.5,0各有P1及(1-P)机率的可能XH2, 13,。2, 13,0讯息集合CH = 3时，决策建生产线机率为XH1在HH讯息集合C =1.5时，决策建生产线机率为XLL2在唯一讯息集合上，决策

7、进入的机率为y)最适反应 j* = y(x,七)，再求BNEXH= XH (y)(此外XH = 0是优势策略) xL= XL 2s strategy = 0 时报酬为 0y = 1 时报酬为 p1 + (1 - P1)(-xl +1 - xl)= 1 + (1 - P)(2xl)因此，若 1 + (1 - P1)(-2xl) 0亦即 xl ）若 1 + (1 - P1)(-2xl)= 0，亦即 Xl = 2(1)若 1 + (1 - P1)(-2xl) 1，亦即p 2y + 3(1-y)，亦即 y ，则Xl= 1 、若 1.5y + 3.5(1 - y)=2y + 3(1-y)，亦即 y=；，

8、则、Let),1.x：= XL(y)若 1.5y + 3.5(1-y) 2，则x：= 0.1若P1 5 |lx亦即13.若 1 9 日=5 jlx亦即14.若1 9 日 5 |lx亦即1U 4则x = 0 (不招)则x=1 (招)1的最适策略：x = 0时报酬为8日+1(1-日)=1 9存在3组BNE：1.x=0，y=1, y2=0 (若日 4 )丽性戟孚(Battle of Sexes)15.1p16.富合定(q, 1q),17.若 2q = (1q)1, 2q男子的幸艮酬是2q或(1q)0, 0n q=1/3剧麻策略的幸艮酬相同。18.莹寸男子来若gV 1/3 2qv(1q),剧p* = 0是最遒反雁。=1/3,剧p* = 0到1是最遒反雁。19.备合定(p, 1p)，女子的幸艮酬是p或2(1p)若p = 2(1p) f p = 2/3剧麻策略的幸艮酬相同。r如蛆七衣若卜2/3 pv2(1p)，剧q*=0。主寸女子来睨若P = 2/3剧q* = 0到1。最逾反雁函敷= p*(q)三均衡(p*, q*) = (0,0), (2/3, 1/3), (1,1)f(p): 0, 1 f 0, 1,可用Kakutani不重力黑占定理来明具有不重力黑占(fixed p