华师大一附中自主招生数学试题(含详解)

1、华师大一附中自主招 生数学试题（含详解）华师一附中2015年高中招生考试数学测试题详解考试时间：80分钟 卷面满分：150分二选择题（6分X 6=36分）1,如果实数a,b,c在数轴上的位置如图所示,那么代数式a2a b Jc2 2ac下可以化简【解析】由图知a1题图故,a22.反比例函数A 1,m , BA 11A. 一2【解析】a, a bb , c22ac2.2c 2ac ab c,选 D.y 4的图象与直线yxn,1两点，则OAB的面积为c，c 15c 13B.4C. D.22kx(补形)-xy 4.A 1,m 代入:-m 4, m4；B n,1 代入:n 4.故有 A (-1,4)

2、,B ( 4,1).作AEy轴于E,BD，x轴于D.可知:1 AOE0zBOD.且 Saoe S bod - 1 4 2 . 2延长EA,DB交于C,则四边形CDOE是边长为4的正方形，且Scdoe 42 16, ABC是腰长为3的等腰直角三角形，且 Sabc 1 32922于是AOAB的面积为S abc 163.设为？2是次方程x2 xc c 9152 2 -223 0的两根，则x3 4x2 15等c这样的圆形硬纸板的最小直径为（单位：mm）A.8072B.40 面C.25A7D.100【解析】当3个正方形按如图排列时，其外接圆直径最小.显然，这个圆是等腰梯形ABCD的外接圆O,这里AB/C

3、D且与题触CD=40,AB=80. TOC o 1-5 h z A.4B.8C.6D.0【解析】（降次）由韦达定理：x1x21x11x2. /x2x13,x2x233. 2222x14x215x13x141x1153x1x14 12x1x1155 x2 X 3 44，故选 A.已知a,b,c分别是 ABC的三边长,且满足2a4 2b4 c4 2a2c2 2b2c2,则AABC是A.等腰三角形B等腰直角三角形C.直角三角形D等腰三角形或直角三角形注:原题条件不完整（是代数式而不是条件等式），故无法解出.为试卷完整起见，将原题条件 调整为：已知a,b,c分别是 ABC的三边长,且满足2a4 2b4

4、 c4 2a2c2 2b2c2 0,则 ABC是？.【解析】由条件得：4a4 4b4 2c4 4a2c2 4b2c2 0,即 2a2c222b2c22 0,c22a22b2,或ab且a2b2c2.故AABC是等腰直角三角形，选B.在一节3数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为40mm的正方形硬纸板，他向同学们 提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，设此等腰梯形的对称轴交 AB于M,交CD于N,则MN=80.ABCD,；OMON.设 OM=40 x,ON=40+x,圆半径为 r.2 AOM 中，r2 40240 x222 DON 中，r 2040 x

5、(1) ( 2) : 1200 160 x 0,15x (2)29025 10625625 1725 r 400 , r 417.故所求最小圆的直径为2r 25,故选C.6.如图,4ABC内接于圆O,BC=36,A A=60,点D为BC上一动点,BE，直线OD于E,当点D由B点沿BC运动到点C时，点E经过6题图的路线长为A.12 .3B.8 3C.27 3D.54【解析】（轨迹法）如解图，连2OB,分别在BC上取B, d,D2,D3 c其中OD2 BC ,则相应的动点依次为 B,E1，E2，E3，N.v BE1OBE2OBE3OOB为直径的优弧BE2N .已知BC=36,； BE2 18. B

6、OE2是含30角的直角三角形,OB 12 3 .BNO 90 .故点E的轨迹是设M为OB的中点（优弧圆心），连MN.则圆M的半径MB=6.注意到 /BOC=120,；/BON=60,/BMN=120,优弧 BE2NN长为圆 M 周长的2，lBE2N 3 2 a 8,3 .,故选8.填空题（7X7=49分）7.方程x3 16 4x x 1的所有根的和为【解析U x3 4x2 4x 16 0 .根据广义韦达定理，此方程3根之和为4.即 x1 x2 x3b,这里 a 1,b4a【解析2】由原方程得：x 4 x 2 x 20, xi 4,x22,&2.xi x2 x3 4.8.在5瓶饮料中，有2瓶已过

7、了保质期，随机地从这5瓶饮料中取2瓶，取到至少有1瓶过保质期饮料的概率为【解析】（正繁则反）由于从这 5瓶饮料中任取2瓶，没有过期饮料的概率为 TOC o 1-5 h z 3323,故取2瓶，取到至少有1瓶过保质期饮料的概率为13-5559.关于x的方程生 a 1无解，则a的值是x 1【解析】由原方程得:2a a 1 x 11关于x的方程（1）只有唯一解x 1,代入（1）得a 0,此时原方程无解；又在方程（1）中令a 1,得a 0 .矛盾.此时方程（1）无解，从而原方程无解.故若原方程无解，则必a 0或1.10.一辆快车从甲地开往乙地，一辆慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，分别以各自的速度在

8、甲乙两地间匀速行驶,1小时后，快车司机发现有重要文件遗忘在出发地，便立即返回拿上文件（取文件时间不计）后再从甲地开往乙地，结果快车先到达乙地.慢车继续行驶到甲地.设慢车10题图行驶速度为x （h）,两车之间的距离为y （km） ,y与x的函数图象如图所示，则a【解析】慢车12.5小时走完全程12.5x 1000 x 80 km设快车速度为t （h）V 1小时后两车相距800km，即1小时两车共行200km,. t=120km (h),a小时后两车相遇，此时慢车走80akm,快车走120 (a1) km,故有:80a 120 a 11000200a 1120, a 5.6 h.已知a 4,当1

9、x 3时，函数y 2x2 3ax 4的最小值为一23则a 二2一一，一、393.【解析】原式配方得：y 2 x 3a 4 -a，抛物线开口向上且对称轴为x 3a.当4843a 4时,a 3,故当1 x 3时,y随x增大而减小.故当x=3时有:12题图2 32 3a 3 423 9a 45, a 5.如图，在单位为1的正方形的网格纸上，AA2A3, A3A4A5, A5A6A7,都是斜边在 x轴上，且斜边长分别为2,4,6,?的等腰直角三角形.若A1A2A3 的顶点分别为 A1 2,0 A 1,-1 ,A3 0,0 ,则依图中的规律，A2015的坐标为【解析】注意到点A,A3,A5,A2n 1全

10、在x轴上,设其横坐标依次为x1,x3,x5, ,x2015.继续分析.点A4n 1都在原点右边，具横坐标取正值，点A 4n 1都在原点左边(其中A3为原点)其横坐标取0或负值(其中仅A3横坐标为0).-2015=4X5041，故底15必在原点左边，具横坐标必为负值.易求 x3 x41 1 0,x7 x4 2 1 02 1,Xii x4 3 1 02 24,x2015X4 504 102 5031006，故所求点A的坐标为：A20151006,013.有一张矩形风景画，长为90cm,宽为60cm,现对该风景画进行装裱，得到一个新的矩形，要求其长，宽之比与原风景画的长，宽之比相同，且面积比原风景画

11、的面积大 44%.若装裱后的上，下边衬的宽都为acm,左，右边衬都为bcm,那么ab【解析】依题意有：90 2a 9060 2b 6032a2 2b32 （据等比定理）故 2a 3b又：90 2a 60 2b9014460 -100120a 180b 4ab5444（1）代入（2）:603b180b 6b3 25444 b2 60b396 0.解得：b 6或b66，从而a 9,ab54.,解答题14. (14分)已知m,n是方程x23x1 0的两根,(1)求 m 5 一516 2m 10m 3 m【解析】（1） m2 3m 10,故c m2 3m 12 - m TOC o 1-5 h z 16

12、 2m 10 2 m 5 m 5 16 2m 52m 5 -5m 3mmm 5m3 m(2) m,n 是方程 x2 3x 10的两根m n 3mn 13 33 34 4m n 2 /m n m n n m n m mn/222 22 2mn 1, x m n 2m n22mn29 24915. (15分)如图，zABC中,AC=BC,I为AABC的内心,O为BC上一点，过B,I两点的圆。交1BC于 D 点，tan CBI -, AB 6, 3(1)求线段BD的长；(2)求线段BC的长【解析】(1)如解图,1为ABC内心，故BI平分/ ABC.设/ABI = /CBI=ol连CI,并延长交AB于

13、E, . CA=CB,；CE，AB,且AE=BE=3.于是 IE=BE tan 3 1 1,BI 、, 32 12.10.3连DI,BD为圆。的直径，BID=90.于是DI BI tan,10 2,BD3103(2)连 OI,OI =OB= 5 , / DOI =2 4故 OI / AB,3 COIs/CBE,O- COBE CBCO25255,BC 1212353 CO 5 3CO3 59 3CO 5CO315.416. (18分)如图，四边形ABCD16题图1中,AD / BC,/BCD=90,AD=6,BC=3,DE，AB 于 E,AC 交 DE 于 F,(1)求AE AB的值；AF(2

14、)若CD=4,求AF的值；FC(3)若CD=6,过A点作AM/CD,交CE的延长线于M,求ME的值.EC【解析】(1)如解图1,作AG/BC,交CB延长线于G,则四边形AGCD为矩形.GC=AD=6,但 BC=3, ；GB=3.已知 DELAB 于 E,/.AAGBADEA.AB BG-于是 AB AE AD BG 18.AD AE(2)延长 AB,DC 交于 H.AD/ BC,且AD=2BC,； BC为AAHD的中位线，故CH=DC=4.由勾股定理知 AH=10,AB=BH=5.沿 DE,CB交于 T,有AEDs/XBTE.2 ccRDADH 中,DELAH, AE 一 AH 10185BE

15、BTADAB AE 5BE BTAE 6i，CT163.AF由AFDs/XCFT,知一 FCAD 69CT 16 3 8(3)如解图3有AB BH 3后AE36_66.5.5EHvAAEMAHEC,MEECAEEH6 .524 517. (18分)二次函数y4x22mx n的图象与x轴交于Ax1,0, Bx2,o两点x1x2，与 y轴交于c点.(1)若AB=2,且抛物线的顶点在直线y=-x- 2上,试确定m,n的值;(2)在(1)中若点P为直线BC下方抛物线上一点，当4PBC的面积最大时，求P点坐标;(3)是否存在整数m,n,使得1Xi2,1 x22,同时成立？请证明你的结论.【解析】(1)

16、AB=2x2 x1X2Xi24x2x14.X1X2由韦达定理:XX2m2 n42，故有:4抛物线的顶点为4n m24代入y= x2:24n m42 m n -4m2 2 代入(1):4270,8,从而n 12 .(2)在(1)的条件下，有：y 4x2 16x 12此抛物线的顶点为(2, 4),交x轴于A (1,0) ,B (3,0)交y轴于C(0,12)易求直线BC的解析式为y 4x 12.为使4PBC面积最大,只需点P与直线BC距离最远.设过P且平行于BC的直线解析式为y 4x b，代入抛物线解析式；2一 ，一2 一 ，一 一4x 16x 12 4x b 4x 12x 12 b 0.令 14

17、4 16 12 b 09 12 b,一 ,，3b 3 .此时有x -,y23 4-33.2 3即所求点的坐标为P 3, 3 .2(3)(反证法)假如存在这样的整数m,n,使得方程4x2 2mxn 0之2根满足x1,x2 2 .那么：2为又2m 4, 4m 28, m为整数，m5,6,7；n 1x1x2 -4m16=4，根据(3),(4)，取 2m4 n2m,即42m,即4当 m=7 时，2m4=104m16=12.根据(5) , (4)，取4m 162m 匚，即1241工12 一无41n 6-,无整数解,舍去;4当 m=6 时，2m4=8=4m16,根据(3) , (4)，取 2m4 =的图擎

18、.与直-匕+/交于x, B54）两点.则Q1Z?的面枳为A.B, 4D. 0.改干工？是 用二次方程XA. TB.的两根,则工40+1、等于A.号牌三用形C,直题三箱形.己知，爪。分别是 山口匚的三地段且满足2a,+26*，。=2。*/+%73 则是B.等腑宜用三角形D.等限上题形或直角三角形用一个国形硬维板将其急件.40Vl0A. 8()72D. 54C时，点E经过的路径长为B. J3n6.如图,ZV18C为OO的内徵角形-C 36 ,44 = 6（r， 点口为后已上一动点BE X直线OD i E.当点?由“点了这样个向跑，若将三个正方形纸板不重叠地放在床面上， 送样的形硅纸板的最小乌建为（

19、单位：EE）一数学叫通第1页!央3贝）一沿S?垃动到点A. 12/3ffI 27V?.在-节数学实践活动课卜.老龄造出三个边任部为40mm的正方形硬纸板，他面同学们提bH精品资料二、填空期(本大成我7小腌，每小睡7分.共4分.) 工 方程*3 +16- 4jcjc + L)的所有根的和为 4.8.在6瓶饮料中*的2柢已过了保质期,随机地从培5瓶饮料中取2瓶，取到里少有I用,口谭 显期的饮料的概零为上9,关于的方程7无解，则口的值是一I。，一辆快车从用地开往乙地* 一辆慢车从乙地开往 甲地，两军同时出发*分别以整自的速度在甲乙两地间匀速行驶,行嗓】小时后，快车司机发现 曲重案文俏遢忘在出发地.便立即返回出境地. 章上文件后取文件时间不计立即再从甲地开 往乙地结果快车先到达乙迪.慢车继续行驶到 甲地设慢军行驶时何为Eh),两军之间的距禹为火km).尸与工的函数图象如图所示.则a=_ 一.11-已知a之4 ,