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1、4.3 协方差与相关系数 对于二维随机变量(X，Y)，除了讨论X与Y的数学期望和方差外，还需讨论描述X与Y之间相互关系的数字特征：协方差和相关系数 4.3.1 协方差 由方差的性质(3)知,若随机变量X与Y相互独立,则D(X + Y) = D(X) + D(Y),也就是说,当随机变量X与Y相互独立时,有EX E(X)Y E(Y)= 0成立,这意味着当EX E(X)Y E(Y)0时,X与Y不相互独立,由此可见这个量的重要性4.3.1 协方差定义4.4 设有二维随机变量(X，Y)，如果EX E(X)Y E(Y)存在，则称其为随机变量X与Y的协方差记为Cov(X，Y)，即 Cov(X，Y) = EX

2、 E(X)Y E(Y) 这样，上节中方差的性质(3)可改写为 D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X，Y)协方差的表达式可以表示为 Cov(X，Y) = E(XY) E(X)E(Y) 常利用这个式子来计算协方差Cov(X，Y).4.3.1 协方差由协方差定义，不难知道协方差还具有以下几条性质： (1) (2) (3) ，a，b为常数； (4) (5) 当随机变量X与Y相互独立时，有 Cov(X，Y) = 04.3.1 协方差【例】设随机变量(X，Y)具有概率密度其中区域G由曲线与围成，如图4-4所示，求Cov(X，Y)及D(X + Y)解：4.3.1 协方差4.3.2 相关

3、系数定义4.5 若（X,Y）是一个二维随机变量，则称为随机变量X与Y的相关系数 相关系数XY是一个无量纲的量XY常简记为4.3.2 相关系数的性质 (1)若X,Y 相互独立，则 XY = 0 (2) |XY | 1； (3) |XY | = 1的充要条件是，存在常数a，b，使PY = aX + b = 1 定义 若XY = 0，称X与Y不相关0 XY 1，称X与Y正相关， 1 XY 0，称X与Y负相关 事实上,相关系数XY是X与Y线性关系强弱的一个度量,X与Y的线性关系程度随着|XY|的减小而减弱, 当|XY| = 1时X与Y的线性关系最强， 当XY = 0时，意味X与Y的不存在线性关系，即X

4、与Y不相关.4.3.2 相关系数由协方差的性质 (5) 当随机变量X与Y相互独立时，有Cov(X，Y) = 0易知定理4.3 若X与Y相互独立，则XY = 0，即X与Y不相关，反之不真 这意味着，X与Y不相关仅指X与Y之间不存在线性关系，并不能说明X与Y不具有其他关系4.3.2 相关系数【例】设随机变量 服从(，)上的均匀分布，又X = ，Y = ，试求相关系数XY 解：由于因而Cov(X，Y) = 0，XY = 0 相关系数XY = 0，说明随机变量X与Y不相关，但是，由于 ，所以X与Y不独立 矩的概念在后面的数理统计部分有重要应用定义4.6 设X和Y是随机变量，若E(Xk)，k = 1，2

5、，存在，称其为X的k阶原点矩，简称k阶矩； 若 存在，称其为X的k阶中心矩； 若 存在，称其为X和Y的k + l阶混合矩； 若 存在，称它为X和Y的k + l阶混合中心矩若E(|X|k)，k = 1，2，存在，称其为X的k阶绝对原点矩， 若 E(|X-E(X)|k) ， k = 1，2，存在，称其为X的k阶绝对中心矩4.3.3 矩的概念4.3.3 矩(1) X的k阶原点矩: E(Xk)，k = 1，2， (2) X的k阶中心矩: (3) X和Y的k + l阶混合矩:(4) X和Y的k + l阶混合中心矩:（5）k阶绝对原点矩： E(|X|k)，k = 1，2，（6） k阶绝对中心矩： E(|X-E(X)|k) ， k = 1，2，显然，X的数学期望E(X)是X的一阶原点矩，X的方差D(X)是X的二阶中心矩，X和Y的协方差Cov(X,Y)=0是X和Y的二阶混合中心矩4.3.4 协方差矩阵将二维随机变量（X1,X2）的四个二阶中心矩 排成矩阵的形式