《画法几何及土木工程制图》(第三版)2.2-直线的投影

1、画法几何及土木工程制图(第三版)2.2-直线的投影HABbaCDcdEFe ( f ) 直线的投影特性： 一般来说，直线的投影仍然为直线。当直线垂直于投影面时，直线的投影则积聚为一点。 直线对投影面的位置不同，直线可分为三类：一般位置直线投影面平行线投影面垂直线 直线与三个投影面均倾斜。 直线平行于其中的一个投影面，倾斜于另外两个投影面。 直线垂直于某一投影面。1、直线的投影abbabaYHYWXZABabababZXY 一般线的投影特性： 一般位置线的任何一个投影，均不反映直线的真长，也不反映直线与投影面的倾角。一 般 位 置 线 直线所平行的投影面不同，投影面平行线又可分为：水平线直线平行

2、于H面，倾斜于V、W面。正平线直线平行于V面，倾斜于H、W面。侧平线直线平行于W面，倾斜于H、V面。投影面平行线投 影 面 平 行 线 水平线的投影特性：1.水平线的H投影反映真长，真长投影与OX夹角为；与OY轴的夹角为；= 0。2.水平线的V投影 abOX；W投影 a”b”OY；abb”aba 反映真长TLYHYWXZaa”abBb”AbZXY水 平 线 正平线的投影特性：1、正平线的V投影反映真长，真长投影与OX夹角为； 与OZ轴的夹角为; = 0。2、正平线的H投影 a bOX；W投影 abOZ；abbaba反映真长TLYHYWXZabAabBabZXY正 平 线abbaba反映真长TL

3、YHYWXZabAabBabZXY 侧平线的投影特性：1.侧平线的W投影反映真长，真长投影与OY夹角为；与OZ轴的夹角为 ； = 0。2.侧平线的V投影 abOZ；H投影 a bOY；侧 平 线 按直线所垂直的投影面不同，投影面垂直线又可分为：铅垂线直线垂直于H面，平行于V、W面。正垂线直线垂直于V面，平行于H、W面。侧垂线直线垂直于W面，平行于H、V面。投影面垂直线投 影 面 垂 直 线abbab(a)YHYWXZabA(a)bBabZXY 铅垂线投影特性：1、铅垂线的H投影积聚为一点；2、铅垂线的V、W投影反映直线的真长，且平行于OZ轴。铅 垂 线baa( b)baYHYWXZa( b)B

4、bAabaZXY 正垂线投影特性：1、正垂线的V投影积聚为一点；2、正垂线的H、W投影反映直线的真长，且平行于OY轴。正 垂 线ab（b）abaYHYWXZabAabBa(b)ZXY 侧垂线投影特性：1、侧垂线的W投影积聚为一点；2、侧垂线的V、H投影反映直线的真长，且平行于OX轴。侧 垂 线ABCa (b)EFDedf 直线上点的投影特性:1、直线上点的投影必定位于直线的同面投影上。2、直线上的点分割直线为两段，则线段的空间之比等于它们的投影之比，即： ED:DF = e d:d f = ed: df=ed:df(c)2、直线上的点ababkkkabXZYHYWOK 点在直线 AB 上【例题

5、1】判定下题中，点K是否在直线AB上？ XYHYWZababkkabkK点不在直线AB上O【例题2】判断点K是否在直线AB上。bXabaccaccbXOABbbaacCcHV【例题3】已知点C在线段AB上，求点C 的正面投影。ababC cXO【例题4】试在直线AB上确定一点C，使AC:CB=2:3，求C点的两面投影。直角三角形法AB真长AB真长ababABabbabZXYaZAB量取ZABYAB量取YAB3、一般线的实长与倾角 求解一般位置线段的实长及其与投影面的夹角，是求解画法几何综合题时经常遇到的基本问题之一。也是工程中经常遇到的问题。而用直解三角形法求解实长、倾角又最为方便、简捷。 一

6、、直角三角形法的作图要领：用线段在某一投影面上的投影长作为一条直角边，再以线段的两端点相对应于投影面的坐标差作为另一直角边，所作直角三角形的斜边即为线段的实长，斜边与投影长间的夹角即为线段与该投影响面的夹角。 二、直角三角形的四个要素：实长、投影长、坐标差及直线对投影面的倾角。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。 三、解题时：直角三角形画在任何位置，都不影响解题结果。但用哪个长度来作直角边不能搞错。 四、作图 1 求直线的实长及对水平投影面的夹角角 2 求直线的实长及对正面投影面的夹角角 3 求直线的实长及对侧面投影面的夹角角 例题1一般位置线段的实长及其与投影面夹角的求解 在直角三角形

7、中，一条直角边为直线的投影长，另一条直角边为直线的坐标差，则斜边即为该直线的真长；真长与投影长之间的夹角为直线与该投影面的倾角。真长（TL)坐标差Z、Y、XH、V、W投影长、 直 角 三 角 形 法|zA-zB |AB1 求直线的实长及对水平投影面的夹角角|zA-zB|ABab|zA-zB|AB|zA-zB|ab2 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角|yA-yB|aXabbabABABab|yA-yB|yA-yB|AB|yA-yB|3 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角ABbbabaa|xA-xB|xA-xB|a|zA-zB|abABab|zA-zB|【例题5】已知线段实长AB，且A点在B

8、点前方，求它的水平投影。【例题6】试在直线AB上其一点C，使AC=25 mm，求点C的投影 ababXOZAB=ZABC在AB上量取AC=25mmccBA【例题7】已知直线AB的V投影，且AB=40mm，求AB的H投影量取YABR=40mmYABabab【例题8】已知直线AB的V投影，且=30，求AB的H投影。ababYAB量取YAB【例题9】已知直线AB的V投影，且=30,求AB的 H 投影。ababzAB直线的H投影长以直线的H投影长为半径，作圆弧直线AB真长两直线的相对位置两直线交叉两直线相交两直线平行 4、两直线的相对位置 两直线平行的投影特性：两直线平行，则两直线的同面投影相互平行。

9、即ABCD，则：abcd ；abcd；abcd 。xobaadbbccxobaabdcdcABCD两 直 线 平行abcdcabd 对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。AB/CD【例题10】 判断图中两条直线是否平行bdcacbaddbac 对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。求出侧面投影后可知：AB与CD不平行。求出侧面投影如何判断？【例题11】判断图中两条直线是否平行obxaabkcddckxoBDACKbbaaccddkk两直线相交的投影特性：两直线相交，则两直线的同面投影必定相交，且投影的交点符合点的投影规律。两 直 线 相 交c

10、abbacdkkd先作正面投影【例题12】过C点作水平线CD与AB相交ObXaabcddc11(2)2XOBDACbbaaccdd211(2)21 两直线交叉的投影特性： 既不满足两直线平行的投影特性,也不满足两直线相交的投影特性，均属于两直线交叉.两 直 线 交 叉dbaabcdc1(2)3(4 )投影特性： 同名投影可能相交，但 “交点”不符合空间一个点的投影规律。 “交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。、是面的重影点，、是H面的重影点。为什么？123 4两直线相交吗？交叉两直线的投影特性：交叉两直线重影点投影的可见性判断(3)41(2)43341212【

11、例题13】判断两直线的相对位置（方法一）XaacddcbbodcabYWYHZ两直线交叉【例题14】判断两直线的相对位置(方法二）cboaacddbx11 =1d=1c两直线交叉【例题15】作直线KL与AB、CD相交，且平行于EF直线。d e f fecaabcd(b)(k)l lk作kle f 作klef【例题16】已知水平线AB的两面投影及点C的两面投影，求作直线CD，使其与直线AB相交且与H面成30夹角。CabcabZCDCD水平投影长CD真长以CD水平投影长为半径作弧d有两解dAHBCacbcOXba cba 直角投影规律： 空间两直线互相垂直，当其中一条直线为投影面的平行线时，则在该

12、直线所平行的投影面内，两直线的投影反映直角关系。 5、一边平行于投影面的直角投影直角投影定理一、垂直相交的两直线的投影 定理一垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。 定理二 相交两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。二、交叉垂直的两直线的投影 定理三相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。 定理四两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。两 直 线 交 叉 垂 直OXbabamnnmBHACcbaM

13、NnmZZ距离注意：距离直线只有平行于投举例求作点到直线的距离【例题17】求点K到直线AB的距离 。kkababll垂线KL的实长ZKLZKL【例题18】已知直角三角形ABC，其一直角边BC在EF线上，长30mm，试完成三角形ABC的投影。efefaabbcc量取bc=30mm【例题19】求两直线AB、CD之间的距离。aabbcdc(d)nmm两交叉线间距离(n)ffee 【例题20】过点E作线段AB、CD 公垂线EF 两 平 行 直 线 的 距 离投影面垂直线badca(b)c(d)ef距离efabcda(b)c(d)ef投影面平行线 egfehgfhijkllkji距离实距两 平 行 直

14、线 的 距 离（e）【例题21】 求直线AB和CD间的最短距离。 空间两直线互相垂直，若其中有一条直线平行于某投影面 ，则两直线在该投影面上的投影仍互相垂直。fef分析：ABCDEFabecdfH因为AB H, EF AB,所以EF/H；又因为EFCD,EF/H所以ef cd。Xcd（b）baacdo因为EF/H, 所以ef/OX；EFAB,EFCDABab|yA-yB|bc=BCbbcnmaaXmnc【例题22】作三角形ABC，ABC为直角，使BC在MN上，且 BC AB = 2 3。dbbXOaccadABCD有ab bc分析： 空间两直线互相垂直，若其中有一条直线平行于某投影面 ，则两直

15、线在该投影面上的投影仍互相垂直。因为ABBC,且ABH根据直角投影定理【例题23】已知长方形ABCD中BC边的两投影和AB边的面 投影（ab/OX)，求作长方形的两投影。【例题24】已知正方形ABCD的对角线位于侧平线EF上，试完成该正方形的正面、侧面投影。afeefabcdbdcoo=XAOXAO半对角线长f 0【例题25】已知菱形ABCD的对角线AB的两投影，另一对角线CD 长为2L,且知其正面投影的方向，求作菱形的两投影。eef fZFEZFELc0ccddABCDEL L XaabbLo分析：因为AB CD, 且AB /H所以ab cd；于是CD成为过E点且已知方向的直线；在CD线上取点C和D,使EC=ED=L,求投影c、d本章小结 直线的投影特性，尤其是特殊位置直线的投影特性。 直线及两直线的相对位置的判断方法及投影特性。 定比定理。 直角定理，即两直线垂直时的投影特性。重点掌握：一、各种位置直线的投影特性 一般位置直线三个投影与各投影轴都倾斜。 投影面平行线 在其平行的投影面上的投影