3_流体运动学

1、第三章流体运动学3- 1已知流体质点的运动，由拉格朗日变数表示为x =ae kt, y =be-kt , z =c ,式中k是不为零的常数。试求流体质点的迹线、速度和加速度。解：（1）由题给条件知，流体质点在z=c的平面上运动，消去时间 t后，得xy=ab上式表示流体质点的迹线是一双曲线族：对于某一给定的（a, b）,则为一确定的双曲kaekt, uykbe kt, uz 0tUx1 2 ktk ae , ayuyi 2U ktk be , azUz0ttt（3）axux=kx, uy = -ky, uz =0,式中k是不为零的常解：axdux dtuxuxUxUytxUx yayduy,2d

2、Uzk y, az0dtdt3-3已知ux = yzt,Uy =zxt , Uz =0 ,试求3-2已知流体运动，由欧拉变数表示为 数。试求流场的加速度。uxuz一k1 2x1, 2,1）处的加速度。解:axUxUx-UxUy-UxUz-Uxyzzxt(zt)23m/stxyzt =1时流体质点在（ayUyuyuxxuyuyuy uzyz2zx yzt(zt) 3m/s积分上式得：ydx = uxdt =(1- y)dt = (1-t2积分上式得：x(2)当t=0时,x=0, G=0,所以 t3t6消去（1）、（2）两式中的t,2y(.2y)2 39y64 23y3一,有理化后得22y x 0

3、uzuzuzuzaz ux uyuz0txyzt =0 时，过（0,3-4已知平面不可压缩液体的流速分量为ux=1-y, uy=t。试求（1）0）点的迹线方程；（2） t =1时，过（0, 0）点的流线方程。解：（1）迹线的微分方程式为_dx=曳=出,=出,dy =出，dy = uydt = tdt,UxuyUxuy.下载可编辑.(2)流线的微分方程式为 dx电，即_dx_包，tdx (1 y)dy,积分上式得UxUy 1 y t2tx (y 二)C2y2、当t=1时，x=y=0, C=0,所以可得：x -(y )(为非恒定流)t25 已知 ux =x +1 , Uy = y+1 , Uz =

4、 0,试求 t = 2 时，通过点 A( 1, 1)的 流线，并与例33相比较。解：由例33可得：(x t)( y t) C当t=2, x=-1, y=-1, C=3o因此，通过点 A( 1, 1)的流线为(x 2)( y 2) 3上式不同于例3 3,即当t=0时通过A点的流线为xy = 1,说明不同时刻的流线不同。3-6试求例36流体运动的流线方程和流体质点通过点A (1, 0)流线的形状。 TOC o 1-5 h z 解：例36流体运动如题3-6图所示 Ux9ky. ,Uv2 kx2入22 7y22x yx y题3-6图i/22、 i/22、流线方程：-dx(x +y)=dy(x +y)

5、kykx,2222、kxdx(x + y )+ kydy(x + y ) = 022 _d 22k(x2+ y2)?/ y2)= 0积分，得 k(x2 y2) C1 , (x2 y2) C22圆心(0, 0),半径R vcTo当 x=1, y=0,代入上式得 C2=1o ( x2 y2) =1,为一圆，因是恒定流，不同时间为同一圆。kytkxt3-7已知Ux2 y 2 , Uy 2 , Uz=0,式中k是不为零的常数。 试求：(1) TOC o 1-5 h z x yx y流线方程，(2) t =1时，通过点A (1, 0)流线的形状，(3)将求得的流线方程与习题 3- 6求得的流线方程相比较

6、，它们有什么异同。解：Uz=0,为平面(二维)流动。22、22(1)流线方程以二生将Ux、Uy代入上式，得-(x+y)dx=dyuxuykytkxt22_22_-(x + y )dx?kxt (x + y )dy?kyt,22、.,22、,(x + y )kxtdx+ (x + y )kytdy = 022_22122_kt(x + y )?(xdx ydy) = 0 , kt(x + y ) d(x + y )= 02积分得 与(x2 + y2) = C1 ,流线方程一般形式：(x2 + y2)t = C2。2(2) t=1, x=1, y=0,代入上式，得 Q=1；流线为x2y2=1,流线

7、的形状为一圆。.下载可编辑. 因是非恒定流，不同时间为不同的圆， 如t=2, x=1, y=0, G=2, x2+ y2 = (J2)23-8试证明下列不可压缩均质流体运动中，哪些满足连续性方程，哪些不满足连续性方程。(1) ux=ky, uy=kx,3=0； (2) ux=kx, uy=ky,xuy = 22 , 眺=0； (4) ux= ay, uy= uz= 0； (5)x yux= 4,Uy = uz=0； (6) ux= 1,uy =2; ux =4x, uy =0; (8) ux = 4xy,uy解：平面流动中,不可压缩均质流体的连续性方程为ux(1)0+ 0=0;(2) k-k=

8、0; (3)22” 2(x y )x2xy22 2(x y )0 ; (4) 0+ 0=0;(5)(1)0+ 0=0,(6) 0+0= 0; 4 + 0W0, (8) 4y + 0w0。(6)的流体运动满足连续性方程；(7)、(8)的流体运动不满足连续性方程，实际3-9已知水平圆管过流断面上的流速分布为速，r0为圆管半径，r为点流速u距管轴的径距。2r i(7 试求断面平均速度u = umax,umax为管轴处最大流V。-1解：v 一AudAA1rOumax2 rdr0umax -2- 加0r0rdr0r02 r . rdrr02 山 max2-0200.5umax3-10已知水平圆管过流断面

9、上的流速分布为ux1umax() , Umax为管轴处最大流速, rOr0为圆管半径，y为点流速ux距管壁的距离。试求断面平均流速1 7解：QuxdA 2：umax(Y) (r0A x.i max. 0 0 00 ry)dy2 umax1 7rOQ v=A7877 15： 7492 1叫 max r0260 pbr。49602 加maxr049umax60=0.817umax。上流动是不能实现的。3- 110.2m,流量 的平均流速dA =设一有压管流经圆管进入圆锥形的收敛管嘴，如图所示。已知圆管直径Q = 0.014m3/s ; dB = 0.1m。试求经过圆管内点 A和收敛管嘴内点 B的过

10、流断面VA、VB。注：经过点B的过流断面面积，可近似地视为球缺或球冠表面积，为2 TiRh(不包括底面面积)。.下载可编辑.B： vA= Aa4Q记A24 0.0142 m/s 0.45m/s冗 0.22经过点B的过流断面面积，可近似地视为球缺面积Ab= 2 :Rh ,式中 h= ( 0.05 0.05cos45 ) m =0.015m, R= 0.05m。 因此Q 0.014VB m/s 2.97 m/sBAB2 冗 0.05 0.015312送风管的断面面积为50 cmx 50cmi通过a、b、c、d四个送风口向室内输送空气，如图所示。已知送风口断面面积均为40 cmx40cmi气体平均速

11、度均为5m/s,试求通过送风管过流断面1 1、2 2、3 3的流量和流速。解：Q=vA=5 0.4 0.4m 3/s 0.8m 3/sQ13Q 3 0.8m 3/s2.4m3/s,V1Q12.4m/s 9.6m/sA10.5 0.53,3,Qo1.6Q22Q 2 0.8m /s 1.6m /s, v2 m/s 6.4m/sA20.5 0.53,Q308.Q3 Q 0.8m /s, v3 m/s 3.2 m/sA30.5 0.5313烝汽官道如图所示。已知烝汽干官刖段的直径d0 =50mm流速V0=25m/s,烝汽密度 p 0 = 2.62kg/m 3;后段的直径 di=45mm蒸汽密度 p i

12、 = 2.24kg/m 3。接出的支管直 径d2=40mm蒸汽密度 p 2 =2.30kg/m 3;试求分叉后的两管末端的断面平均流速vi、丫2为多大，才能保证该两管的质量流量相等。解：0v0A01V A2V2 A2（1）1V1A2V2 A2（2）联立解（1）、（2）两式，可得V1V20 V0 A2 1A2.62 25 0.052- -22 2.24 0.045m/s18.05m/s2.62 25 0.052-Z Z2-2 2.3 0.04m/s22.25m/s3-14空气以标准状态（温度 t0=15C,密度 P 0=1.225 kg/m3,压强 便=1.013 x 10 5Pa） 进入压气机

13、，流量 Q为20m7min ;流出时温度t为60C,绝对压强 p为800X 103Pa;如果压气机出口处流速v限制为20m/s。试求压气机的出口管径do解：由状态方程 -P0-=,计算压气机出口处的气体密度，即。丁。rT.下载可编辑.r-Tp = 1.225?TP0(273+ 15)仓J800 103(273+ 60)仓扎013 1053kg/m_ _38.37kg/m由连续性方程求出口管径4rQvP 2d,因 r 0Qv = r vd , 4J 4仓必.225 20 V八 m= 0.056m。p仓837 20? 603-15在直彳5为d的圆形风管断面上，用下法选定五个点来测量局部风速。设想用

14、与管轴同心，但不同半径的圆周，将全部断面分为中间是圆， 其他是圆环的五个面积相等的部分， 如图所示。测点即位于等分此部分面积的圆周上。这样测得的各点流速，分别代表相应断 面的平均流速。试计算各测点到管轴的距离，以直径的倍数表示；若各点流速分别为U1、U2、 U3、U4、U5,空气密度为 p，试求质量流量Q。1/10、3/10、5/10、7/10、9/10 ,解：根据题意先将总圆面积五等分，再将每一等分面积用同心圆划分为相等的两部分。这样，由内到外的同心圆所包围的面积，分别为总圆面积的相应的半径即为测点到管轴的距离。因此，21103100.158d0.274d(1)等分面积51010910Qm

15、Q-d244d450d0.354d2470d0.418d0.474d4d2(一d U120Td220d220Qm为U2九/d U32020d 2U4花d202 、U5)八冗，2,Qm= d (U1 U2 U3 U420U5)3-16试求下列流动中的线变率、角变率。UyUx=2y, Uy = 2Xo解：xx(x22xy27 y )yy(x22xy-272，y )zzxy2y_ (x22xT；2y )yz0,zx 0(2)xx0,zz0,xy2(22) 2 rad/s ,zx3-17已知水平圆管过流断面上的流速分布为2Umax(1-2),0Umax为管轴处最大流速，r0为圆管半径，r为点流速Ux距

16、管轴的距离,r2=y2+z2, Uy=0, Uz=0。试求角变率8 zx、.下载可编辑.角转速3z,该流动是否为有势流。解:Uxzx三)x2r 、, umax (1-2 )0umax (11222一0zumax -202(uy2r 一 umax(12 )0umax(1max 122Su)max 2r0因为0,所以不是有势流。318 已知 ux = x2y+y2, 变率和角转速。uy=x2y2x,试求此流场中在x=1、y= 2点处的线变率、角解：线变率：xx2xy，uyyy角变率：1 uyxyyxux-) y2xyx2 2y)角转速:uyx在x=1、y=2点处:3-19试判别习题xx384S-1

17、 ；yy2(2x y24s-1;2y)xv 1.5rad/s;z 3.5rad/sxyz(1) (6)所列流动中,哪些是无涡(有势)流，哪些是有涡流。解：平面流动中，无涡流的流速场必须满足uyx则为有涡流。根据习题3- 8的计算结果得(1) 卫 =k xUxk ,有涡流；(2 )ky2 kx2ky2 kx2无涡流；(3)乌一kx- 丹一与二；除原点以外是无涡流;(x2 y2)2 (x2 y2)2=0,无涡流；(6) 0=0,无涡流。(4) 0a,有涡流;(5) 03-20已知水平圆管过流断面上的流速分布为ux 史4/ 22、(r。r )J2 (y2 z2), 4、g、J、均为常数，uy = u

18、z=0o试求该流动的涡线方程。解:uz yuy11), y 1(uxz生)xgJ 4uy4 d y gJz22z y-)- y4 d zgJy或 yd y zd z 0dx所以可得C上式说明涡线是与管轴同轴的同心圆。3-21若在例37流场中的一个平面内，作一圆形封闭曲线, 如图所示。试求沿圆周线的速度环量，是否为有势流。解：例3 7流场为均匀直线流l 蜒 cos d sLUC0S rd.下载可编辑.解：因为 式得蜒xdx Uydy)x2+y2=1,圆的半径r =2兀7sin d cos022.7 sin d02 7r9cos dsin022.9 cos d0 TOC o 1-5 h z 2 7r2 7rur cos d ur cos(90)d0 为有势流。322试以速度环量来判明例 36中的流