23变换的复合与矩阵的乘法

1、 2.3变换的复合与矩阵的乘法教学目标:一、知识与技能：通过变换的实例，了解矩阵与矩阵的乘法的意义；掌握二阶矩阵的乘法法则，并能运用几何图形变换，说明矩阵乘法不满足交换律二、方法与过程借助实例的探究，引入复合变换，寻求二阶矩阵的乘法法则，发现矩阵乘法不满足交换律；通 过具体情境的观察、类比、探索、交流和反思等数学活动，培养学生的创新意识，使学生掌握研究 问题的方法，从而学会学习体会从具体到抽象再到具体的思想方法。三、情感、态度与价值观新旧知识的联结，津学生的求知欲及进一点探索的乐趣。教学重点：二阶矩阵乘法法则及运用教学难点：说明矩阵乘法不满足交换律教学过程、复习引入:1、基本概念一 . a b

2、(1)二阶矩阵：由四个数a, b, c, d排成的正方形数表称为二阶矩阵。特别地,c d；0称二阶矩阵0。、1为零矩阵，简记为 0。称二阶矩阵0;e0、为二阶单位矩阵，记为E2。, 一 .一 一 一.x ,一一(2)向重：向重(x , y)是一对有序数对，x,y叫做匕的两个分重， 且称为列向重，(x,y)0)为行向量。同时，向量、点以及有序实数对三者不加区别。2、几类特殊线性变换及其二阶矩阵(1)线性变换 一.x = ax + by .在平面直角坐标系中，把形如 .y (其中a, b, c, d为常数)的几何变换叫做线性、y =cx + dy变换。(2)旋转变换 x坐标公式为 、=xcos“

3、一 ysin变换对应的矩阵为cos：y = xsina +ycosotCOsa J(3)反射变换关于x的反射变换坐标公式为x对应的二阶矩阵为-v0关于y的反射变换坐标公式为关于y = x的反射变换坐标公式为二一xx对应的二阶矩阵为二yy对应的二阶矩阵为-1I000.)(4)伸缩变换, x = k1x ,、，一，, 坐标公式为1对应的二阶矩阵为y =k2 y(5)投影变换x = x ，、,1 0)对应的二阶矩阵为J =00 0 )x = 0 ，、,0 0、对应的二阶矩阵为j = y0 b投影在x上的变换坐标公式为投影在y上的变换坐标公式为(6)切变变换平行于x轴的切变变换坐标公式为x =x+sy

4、对应的二阶矩阵为y = y0s1 0平行于y轴的切变变换坐标公式为x = x ,对应的二阶矩阵为、y = sx + y1；3、定理1设A =x1 !，X yyJx21 t, k是实数。72则以下公式成立:A ( t X1) = t (AX1)(2)AX1 + AX2 =A ( X1+ X2)(3)4、定理2可逆的线性变换具有如下性质:A (t X1+ k X2) = tAX1 + kAX2(1)直线仍变成直线;(2)将线段仍变成线段(3)将平行四边形变成平行四边形二、新课讲解例1 设平面上建立了直角坐标系。如图所示，交每个点_ .一 一 P ( x , y )先绕原点？逆时针万向旋转角 a到P

5、 ( x , y ),再从P ( x , y )绕原点？逆时针旋转角P至1J P ( x , y )。写出由(x, y)计算(x , y )的关系式。由P ( x , y)到_ 一 、 .、P (x , y)的变换能否用矩阵表不？如果能，写出表不这个变换的矩阵。解法一：由旋转变换可知( x =xcosa-ysinay = xsin + y cos .nx = x cos F - y sin F= 、.)y =x sin B + y cosP(1)(2)将(1)代入(2),经过整理得;x = xcos(”? 7 s1n3y = xsin(a + B) + y cosg + F)i f .、 一c

6、osw+p) sin(ct + B)”一因此，从P(x,y)至UP (x,y)的变换矩阵可以用门口来表小,【sin(a+P)cosg+P)J它就是绕原点沿逆时针方向旋转角a + P的变换解法二：先绕原点沿逆时针方向旋转角，再绕原点沿逆时针方向旋转角P，总的效果是直接将P、,一,到 P ( x , y ),由旋转变换可知，这个变换可以用矩阵cos 十 0)-sin(a + P)!来表示sin( + P)cos(a + P) 、一 _ /、，一 _一、 、一， 般地，设A, B是平面上的两个变换， 将平面上每个点 P先用变换A变到P ,再用变换B将P一一 . . 、 一 一 变到P ,则从P到P也

7、是平面上的一个变换，称为 A , B的复合变换，也称为 B与A的乘积，记作BA。.、 、. 、, 、 一 、 , , 、, 注意：为里先施行变换 A,后施行变换B,但它们的复合变换要记作 BA。原因是：将P =A ( P ),、,、,、代入P = B ( P )得到P = B (A ( P ),因此，写为 P = BA ( P )较为合理,A在B的右边,首先接触P ,它先作用于P得到A ( P)之后再用B从左边作用于 A ( P)得到BA(P)例2、 设平面上建立了直角坐标系，变换 A, B可分别用A =aiB=a2C2示将每个点P ( x, y )先用变换A变到P( x , y ),再用变换

8、B将P ( x , y . . .y )。复合变换BA是否能用矩阵表示？如果能，写出变换BA的矩阵即 x x = a1x +b1y 小、解：将、17代入y =cix +di y HYPERLINK l bookmark12 o Current Document x= a2xy= ax“人经过整理得:d2y x y=(a1a2 b2C)x (a2bl b2di)y二(c2al d2cl)x (c2bl d2di)y所以从P(x,y)到P (x , y)的变换矩阵BA可以用矩阵aa2b2clC2ai d2Cia2blb2dC2bid2d将变换写成矩阵式r 、x9由此得ai bixya2b2C2a2

9、1C2b2d2 /aibiaa2b2Cia2bib2di叫ai +d2GC2bi +d2di J 7 ,a2b2aibi=a2 b2CVc2d2 J VcidiC2a1d2Ga2blb2dc2bid2d对任意两个2X2矩阵a=Q1bJ(Cidi；和B=a2C2b2d 2BA=aia2b2cla2bib2digai +dzGC2bi +d?di按照这规定，假如变换B, A的矩阵分别是B,我们规定它们的乘积A,则复合变换 BA的矩阵是两变换矩阵的乘积BA。要理解和记忆公式所表示的矩阵乘法法则，先学会行向量(a, b )与列向量的乘法法则:(a, b)=ac bd这个规则就是：将行向量的两个数与列向

10、量的两个数分别对应相乘，再将所得的乘积相加。再来看两个2X2矩阵的乘法规则：将矩阵B=a2b2g d2的第i行（i =1,2）与矩阵A=a1b1d1 ,的第j歹U （ j = 1 , 2）、相乘得到一个数，得到的就是矩阵BA的第i行第j列的数。练习:A, B例3、平面上建立了直角坐标系，直线 11, 12经过原点O倾斜角分别是a , P ,设变换分别表示关于直线11 ,12的反射变换，求：（1）变换A, B的复合变换BA的矩阵；（2）变换B, A的复合变换AB的矩阵；（3）根据矩阵说明 BA AB是什么变换，这两个变换是否相同。解：（1）设A, B的矩阵分别是A=cos2 ：sin 2：BA=

11、sin2：一 cos2a )， B=cos2 P sin2P sin2P -cos2P /cos2 0 n 2 Psin 2 Pcos2asin 2二：-cos20，1sin 2a -cos2a cos2(B -a) -sin2(P -a)sin2( B -豆)cos2(P -)这表示绕原点沿逆时针旋转角2（ 一：-:）(2) AB=cos2：sin 2口 l cos2Psin2a-cos2a )、sin 2Psin2P ccos2 P ,cos2(：sin2(：_P) -sin2( -P) - P) cos2(a - P)；这表示绕原点沿逆时针旋转角2（、- 一：）（3）变换BA与变换AB的旋转角2（P-a）与2（a-P）正好相反,当2（P a）#n时，这两个旋转是不相同的，也就是说 AB二BA这说明：变换的乘法与矩阵的乘法都不满足交换律练习：计算三、课堂练习1、计算（1）1 -13 4 八04 )0230-2-32、在直角坐标系内,分别求下列向量先经过旋转变换逆时针转30,再经过矩阵12、八 i对应的 V切变变换所得的结果。(2)3、已知Mi =)1和M2，、1 ，试求 Mi M2,3；并对其几何意义给予解释。四、小结1、设A, B是平面上的两个变换,将平面上每个点P先用变换A变到P ,