电动力学教程导行电磁波

1、第7章 导行电磁波共六十一页 导波系统(xtng) 导行波(Guided Waves) 常见(chn jin)的导波系统共六十一页光纤平面(pngmin)光波导共六十一页边值问题，即在给定导波系统边界条件下求解(qi ji)波动方程，得到导波系统中的场分布和波的传播特点 。导波系统(xtng)中电磁波的传播问题属于电磁场7.1 导行电磁波概论 讨论“均匀”导波系统。所谓“均匀”是指在垂直于波的传播方向上，导波系统的横截面一样。令电磁波的传播方向为z方向(导波系统的纵向)，则波导内的电场和磁场分布只和横向坐标x、y有关，与纵向坐标z无关，即（ 复传播常数）共六十一页 因此只要求出横截面上场的分布

2、E(x,y)、H(x,y)和传播常数，就可以(ky)得到波导内的场分布。 波导内一般无源，则其场分布满足麦氏方程解之可得波导内场的横向分量和纵向分量之间的关系：- 纵横关系其中共六十一页 导行电磁波的纵向(zn xin)场分量Ez和Hz可由亥姆霍兹方程 及边界条件确定(qudng)。 导行波波型的分类 1. 横电磁波(TEM波) 2. 横电波(TE波) 3. 横磁波(TM波) 共六十一页7.1.1 横电磁波(TEM波)根据纵横(znghng)关系，横向场分量不为0的条件是即 定义 ：导行波的波阻抗 Z导波系统中，沿波的传播方向构成右手螺旋关系的横向电场和横向磁场之比，即yxz共六十一页TEM波

3、的波阻抗（利用(lyng)教材中式7.1.4b或7.1.4d式）电场(din chng)与磁场的关系（式7.1.4d、7.1.4e） 导波系统中TEM波的传播特性和无界空间中均匀平面波的传播特性相同。共六十一页7.1.2 横磁波(TM波)7.1.3 横电波(TE波)均可由纵横关系得到思考(sko)：横电波或横磁波的波阻抗等于介质的本征阻抗？E、H与波传播(chunb)方向彼此正交且构成右手关系？共六十一页7.1.4 截止波长与传输(chun sh)条件 导行波的场量都有因子e-z(沿+z轴方向传输)，=+j 为传播常数。由前面的推导可知 对于理想导波系统， 为实数，而kc是由导波系统横截面的边

4、界条件决定的，也是实数。这样随着工作频率的不同，2 可能有下述三种情况： (1) 20，即=。此时(c sh)导行波的场为 (3) =0。这是介于传输与截止之间的一种状态，称其为临界状态， 它是决定电磁波能否在导波系统中传输的分水岭。这时由 所决定的频率 ( fc ) 和波长(c)分别称为截止频率和截止波长，并且 显然这不是传输波，而是沿z轴以指数(zhsh)规律衰减的，称其为截止状态。共六十一页其中 为无限大介质(jizh)中电磁波的相速，而kc称为截止波数，并有 这样导波系统传输TE波和TM波的条件为 截止条件为 对于TEM波，由于kc=0，即fc=0，c=，因此在任何频率下，TEM都能满

5、足f fc=0的传输条件(tiojin)，均是传输状态。也就是说TEM波不存在截止频率。 共六十一页7.1.5 波导波长 g在传输状态下，=j，将 kc=2/c，k=2/=2/0 代入上式得 共六十一页所以(suy)可得 对于TEM波，c=， 其中是无限大介质中的电磁波波长。共六十一页7.2 矩形波导 矩形波导的结构如图所示，假定其内的填充(tinchng)介质为理想介质。矩形波导内只能传播TE波或TM波而不能传播TEM波。7.2.1 矩形波导中的TM波共六十一页上式两边(lingbin)除以XY，得 这里的x和y是互不相关的独立(dl)变量。欲使上式对任意x和y值都成立，只有等式左边的两项分

6、别等于常数。因此，可令 且 其解 共六十一页于是(ysh)Ez的通解是 利用边界面上电场的切向分量(fn ling)连续的边界条件可以确定c1c4以及kx、ky。(1) 当x=0时，Ez=0 (理想导体表面切向场为零) 欲使上式对所有y值都成立，则c应等于零。 共六十一页 (2) 当y=0时，Ez=0， 欲使上式对所有(suyu)x值都成立，则c3应为零。此时c2不能为零， 因为若c2等于零，则Ez在非边界处也恒为零，这与TM波的情况不符，因此只能取c3等于零。 (3) 当x=a时，Ez=0欲使上式对所有y值都成立，kx必须满足下面关系： 共六十一页这里m不能等于零，否则kx=0，则Ez恒等于

7、零，这不符合(fh)TM波的定义。 (4) 当y=b时，Ez=0， 欲使上式对所有x值都成立，ky必须满足下面关系： 这样Ez的表示式为 共六十一页波导横截面上的场分布形成(xngchng)驻波场共六十一页模指数(zhsh)(m,n)的物理意义？m 矩形波导宽边上(bin shn)的半波数目；n 窄边上的半波数目。共六十一页共六十一页式中截止(jizh)波数： 在矩形波导中TM波的传输常数为 当传输常数=0所对应的频率为截止频率fc，且截止频率为 (m,n 均不为0 )共六十一页 当工作频率高于截止频率时，即f fc， 为纯虚数，=j，电磁波才可能(knng)在波导中沿+z方向传输。这时相位常

8、数为 当工作频率低于截止频率时，即 f fc，为正实数，此时e- z表示衰减因子，电磁波衰减很快，不可能在波导中传输。截止波长式中 为无限大介质中的电磁波的波速。截止(jizh)状态导通状态共六十一页电磁波在矩形波导中的相速度vp为 或写成 波导波长g为 其中 是无限大介质空间中的波长。共六十一页7.2.2 矩形波导中的TE波共六十一页其中(qzhng)： 截止波数kc为 在矩形波导中TE波的传输常数为 (m,n不同时(tngsh)为0 )共六十一页截止频率为 截止波长为 TE波在波导中的相速vp为 共六十一页TE波的波导波长g为 波阻抗共六十一页 结论(jiln) 矩形波导中TE和TM模式(

9、msh)的kx、ky、kc、fc、c、vp和g的表达式完全一样，但要注意m、n的取值。 从场的表达式看出， m、n取不同的值代表一种可能的场分布也即传播模式： TMmn或TEmn，称为TMmn模式或TEmn模式，(m,n)称为模指数。 链接 由于TM波的 m、n均不为0，故不存在TM00、 TMm0 、TM0n 模式，最低阶的TM波模式为TM11；而TE波的m、n可以为0，但不能同时为0，故不存在TE00模式。 相同的(m,n)组合， TMmn模式和TEmn模式的截止波数kcmn相同。- 模式的简并(截止波数相同的模称为简并模)共六十一页频率10GHz。计算: (1) TM11波型的截止波长、

10、波导波长、相位常数、相速度、群速度以及波阻抗；(2) TM11的模场瞬时值。例题： 矩形波导的尺寸ab=6 4 cm2，信号解：波频率 f=10 GHz，波导是空气填充，故无界空气介质中的电磁波长截止波长 共六十一页波导波长相位常数相速度群速度共六十一页波阻抗共六十一页7.2.3 单模传输(chun sh) 一般(ybn)情况下，矩形波导中可以同时传输多个TE模或者TM模式，而且TE模或TM模也可以共同存在，例如简并模TM11和TE11具有相同的截止波长和传播常数，因而可以同时传播。实际应用时多模工作一般会有很多不利因素(如模间耦合、多模色散)*，因此多采用单模工作。单模传输条件的分析：截止波

11、长 工作波长 2b )共六十一页 (m,n) = (0,1) TE01模 ( TM01模 ？) (m,n) = (1,0) TE10模 (m,n) = (0,2) TE02模 (m,n) = (2,0) TE20模 (m,n) = (1,1) TE11和TM11模（简并模）(a 2b )(m,n)=(0,0) ?共六十一页将各模式的截止波长按大小次序(cx)绘出如下所示图：TE10TE20TE01TE11,TM11TE302ba2a0工作波长 多模区单模区截止区高次模主模（截止波长最大，最后截止）思考题：假如(jir)中空矩形波导横截面尺寸6*2 cm2，信号波长=5cm，此时波导中存在几个模

12、式？哪几个？共六十一页 截止区： 工作波长 单模区： 工作波长 ，只有主模TE10模能被传播，其他模式截止。 多模区： 工作波长单模条件(tiojin) （即TE10导通，TE20截止）： 若给定波导尺寸a和b，则工作波长应该满足 若给定工作波长，则波导的长边尺寸应该满足(一般取a=0.7)共六十一页7.2.4 矩形波导中的TE10波 TE10波是矩形波导中的主模，其截止波长最大(截止频率最低)，在矩形波导中大多(ddu)采用这种模式(单模传输)。截止波长为 波导波长为 波阻抗为 传播特性(txng)参数共六十一页 TE10波的场分布(fnb)利用(lyng)m=1、n=0、kx=kc=/a，

13、可得到TE10模的场分量式中相位常数 共六十一页TE10模电磁场各分量的瞬时(shn sh)表示式为 显然，波导横截面上（z = 常数(chngsh)）的场分布是驻波场。共六十一页图(a) ： TE10模的电场(din chng)分布baOxy共六十一页图(b) ： TE10模的磁场(cchng)分布共六十一页图(c) ： TE10模的电磁场结构立体图 xy磁力线 电力线共六十一页感应(gnyng)的高频传导电流。由于波导内壁是导电率极高的良导体，在微波波段，其趋肤深度在微米数量级。因此波导内壁上的电流可看成表面电流，其面电流密度由下式确定： 式中en为波导内壁上的单位法向矢量，它由波导管壁指

14、向(zh xin)波导管内；H是波导管内壁处的磁场。 当波导中有电磁能量传输时，波导内壁处有TE10模在波导管内壁上的感应面电流密度为： 共六十一页类似地共六十一页图(d)： TE10模的管壁电流(dinli)分布 共六十一页开槽位置(wi zhi)图(e)：波导(b do)壁中央开槽用作测量线 研究管壁电流的意义共六十一页开槽位置(wi zhi)图( f )：波导管壁开槽切断管壁电流(dinli)用作天线 研究管壁电流的意义共六十一页7.3 圆柱形波导(b do)(Cylindrical Waveguide)xyza , 波导半径a，填充介质为理想(lxing)介质( ,)，管壁是理想导体。

15、 在圆柱坐标系下，波导内电磁场的复数表示：代入麦氏方程波导横截面上的场分布(横向场分布)共六十一页解之可得波导(b do)内场的横向分量和纵向分量之间的关系：其中(qzhng)柱坐标系下的纵横关系共六十一页7.3.1 圆柱(yunzh)波导中的模场分布 圆柱形波导内只有TE和TM模，不存在(cnzi)TEM模式。场分布的求解与矩形波导类似，差别在坐标系。 TM模式的场分布Hz=0，Ez 满足下列方程和边界条件在柱坐标系下展开(1)式共六十一页分离(fnl)变量其解（m是分离(fnl)常数）为了满足场量沿方向具有2周期，m应为整数。Jm是m阶第一类贝塞尔函数，Nm是第二类贝塞尔函数。因Nm(0)

16、=，当 =0时为了使Ez不致无穷大，应取第一类贝塞尔函数。（m阶贝塞尔微分方程）共六十一页故贝塞尔函数Jn(x)的变化曲线 再利用(lyng)从横关系可以求出其他场分量。共六十一页由边界条件，即(2)式，可得TMmn模式(msh)的截至波数pmn代表m阶贝塞尔函数(hnsh)的第n个零点。表1： Jm(x)的根pmn 共六十一页 TE模式的场分布Ez=0，Hz 满足下列方程和边界条件（式6的来由：边界(binji)上E=0，代入纵横关系即得）和TM模式类似的分析，可得TE模式的其他分量可由纵横关系得出。共六十一页由边界条件(6)式，可得TMmn模式(msh)的截止波数代表 的第n个零点。mn=

17、1n=2n=3n=403.8327.01610.17413.32411.8415.3328.537611.70623.0546.7059.96513.17034.2018.01511.344的根表2：共六十一页7.3.2 圆柱波导中模式的传播(chunb)特性参数截止频率为 截止波长为 相位常数相速vpkc由(4)或(8)式给出共六十一页波导波长为 波阻抗共六十一页3.413a2.613a 圆柱波导(b do)中模式的分布图单模条件：有极化(j hu)简并！？共六十一页 模式(msh)的简并 根据(3)式或者(7)式，不论TM或是TE模式，都包含两个线性无关的独立成分（即cosm和 sinm ）。但这两个独立成分却有相同的截止波长、传输特性。 因此(ync)这两个独立成分是互相简并的，称为极化简并。 极化简并显然只有模指数m0的模才存在极化简并。 E-H简并 由于贝塞尔函数 ，所以 ，因此TE0n模与TM1n模有相同的截止波长，即TE0n模与TM1n模简并，称为E-H简并。共六十一页内容摘要第7章 导行电磁波。所谓“均匀”是指在垂直于波的传播方向上，导波系统的横截面一样。（利用教材中式7