2020中考专题7——最值问题之垂线段最短

1、南瓜讲数学系列之中考专题2020中考专题7 最值问题之垂线段最短班级 姓名【模型解析如图，直线l外一点P与直线上的点的所有连线段中，PB线段长度最短.【例题分析】例 1.如图，在 RtAABC 中，/ BAC=90 , AB=5, AC=12, P 为边 BC 上一动点，PEXAB 于 E,PF LAC于F, M为EF中点，则 AM的取值范围是 .例2.已知点D与点A(8, 0), B(0, 6), C(a, a)是一平行四边形的四个顶点，则 CD长的最小 值为.例3.如图，在RtABC中，/C=90 , AC=6, BC=8,经过点C且与边AB相切的动圆与 CA.、 CB分别相交于点P、Q,

2、则线段PQ长度的最小值是.南瓜讲数学系列之中考专题【巩固训练】.如图1 ,已知在 ABC中，AC = 3, BC = 4, AB=5,点P是AB上(不与 A、B重合)，过 P作PE AC, PFXBC,垂足分别是 E、F,连结EF , M为EF的中点，则 CM的最小值为 .图1图2.如图，线段 AB的长为10, C为AB上的一个动点，分别以 AC、BC为斜边在AB的同侧作两个 等腰直角4 ACD和ABCE,那么DE长的最小值是.如图，已知平行四边形 OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角 线OB长的最小值为.图3图4.在平面直角坐标系中，己知平行四边形ABCD的点

3、A(0, 2)、点B(3m, 4m + 1)( mw1),点C(6 , 2),则对角线 BD的最小值是 .如图5,等边 ABC的边长是2 cm,将边AC沿射线BC的方向平移2 cm,得到线段 DE ,连接 AD、 CE.(1)求证：四边形 ACED是菱形；(2)将 ABC绕点C旋转，当CA与DE交于一点 M, CB与AD交于一点N时，点M、N和点D构 成DMN,试探究 DMN的周长是否存在最小值？如果存在，求出该最小值；如果不存在，请说 明理由.图5南瓜讲数学系列之中考专题2020中考专题7最值问题之垂线段最短参考答案例 1 .解：连接 AP, PEXAB, PF XAC, . / AEP=

4、/ AFP = 90 ,/BAC=90 ,四边形 AEPF 是矩形，.l. AP=EF,. /BAC=90 , M 为 EF 中点，. . AM=EF= IaP, TOC o 1-5 h z 22.在 RtA ABC 中，/ BAC = 90 ,AB = 3, AC = 4,BC=AB2 AC 2 =5,当 APBC 时，AP 值最小，此时 Sabac= J X3X4= 1 X5XAP，22AP= 12 ,即 AP 的范围是 AP 12 , .1.2 AM 12 , AM 的范围是 AM 655556 c,.AP AC,AP4, .AM 2，. _ AMCD,当点F在直角三角形 ABC的斜边A

5、B的高上CD时，PQ=CD有最小值，CD = BC?AC + AB=4.8 .南瓜讲数学系列之中考专题【巩固训练】.解:如图，连接 CP. AC =3, BC = 4, AB=5-.Z ACB = 90 , PEXAC, PF BC, /C=90 , .四边形 CFPE 是矩形，EF = CP,由垂线段最短可得CPXAB时，线段 EF的值最小，则 CM最小，此时，Saabc= 1 BC AC= 1 AB CP,即)X4X3=： X5CP,解得 CP=2.4. 2222.EF = 2.4, M 为 EF 中点，CM = 1.2k.解：设 AC= x, BC=10-x,.ABC, BCD 均为等腰

6、直角三角形，CD=J2 x, CD = g (10-x),22. /ACD=45 , / BCD =45 ,/ DCE = 90 ,de2=cd2+ce2= Lx2+ 1(10 - x)2 = x2- 10 x+50=(x- 5)2+25,22当x取5时，DE取最小值，最小值为：5,.解：过点B作BDL直线x= 4,交直线x= 4于点D,过点B作BEx轴，交x轴于点E,直线 =1与OC交于点 M,与x轴交于点 F,直线 x=4与AB交于点 N,如图：四边形 OABC 是平行四边形，/ OAB = /BCO, OC/AB, OA = BC,;直线x= 1与直线x= 4均垂直于 x轴，AM /CN

7、,二.四边形 ANCM是平行四边形， ./MAN=/ NCM, . / OAF = / BCD , / Z OFA = Z BDC = 90 , . . / FOA=/DBC,在 OAF和 BCD中,FOA DBCOA BC , OAFA BCD.OAF BCDbd = of= 1, oe = 4+1 = 5,ob= Joe 2 be 2 .OE由于OE的长不变，所以当 BE最小时（即B点在x轴上），OB取得最小值，最小值为 OB =5.南瓜讲数学系列之中考专题.解：如图，二.点 B(3m, 4m+ 1),.令 3n x , /.y= 4x+1,，B 在直线 y= 4 x+ 1 上，当 BD，

8、直线 y= 4 x+ 1 时，BD 最小, TOC o 1-5 h z 4m 1 y333平行四边形对角线交于一点，且 AC的中点一定在 x轴上，. F是AC的中点，. A(0, - 2),点 C(6, 2) ,F(3 , 0).设直线BF的解析式为y=3 x+ b,则3 *3+b=0,解得 b=9,444则直线BF的解析式为y=- x+ 9 ,444m + 1 = - 3X3m+L 解得 m= 1 B( 3, 9 ),44555BD = 2BF = 6,则对角线 BD的最小值是6 .证明：(1)由平移可得：AD / CE, AD= CE,，四边形 ACED是平行四边形，又; AD = 2cm = AC, 口ACED是菱形；(2)连接CD,. / ACD = /BCA =60 即/ ACN + /NCD = / NCD + /DCA =60 ,，ACN = Z DCM ,NAC MDC在 AACN 和 ADCM 中， AC CD , /. ACNA DCM (ASA),ACN DCM .AN=DM,同理，CN =