20130603数值分析总复习题2013年

1、工程硕士数值分析总复习题（2013年用）由教材中的习题、例题和历届考试题选编而成，供教师讲解和学生复习用解答下列问题：D下列所取近似值有多少位有效数字（注意根据什么？）：.t 一*a）对 e = 2.718281828459045 ,，取 x = 2.71828b）数学家祖冲之取磊 作为n的近似值.c）经过四舍五入得出的近似值12345,-0.001, 90.55000, 它们的有效数字位数分别为 位，位，位。简述下名词：截断误差（不超过60字）舍入误差（不超过60字）c）算法数值稳定性（不超过60字）3)试推导（按定义或利用近似公式）：计算x3时的相对误差约等于X的相对误差的3倍。4)计算球

2、体积V =时，为使其相对误差不超过 0.3% ,求半径r的相对误差的允许范围。5)计算下式P (x) =2(x-1)(x-1)74 (x-1)36)时，为了减少乘除法次数递推公式*Jn,通常采用什么算法二.2= 10yn-1, n3 2834（x-1）2 x-1?将算式加工成什么形式？= 1,2,如果取y0 = J5为1.41 = y；（三位有效数字）作近似计算，问计算到y10时误差为初始误差的多少倍？这个计算过程数值稳定吗？插值问题：1）设函数f （x）在五个互异节点x1，x2, x3, x4, x5上对应的函数值为f1, f2, f3, f4, f5 ,根据定理，必存在唯一的次数（A）的插

3、值多项式P（x）,满足插值条件（B ）. 对止匕，为了构造Lagrange插值多项式L（x），由5个节点作（C ） 个、次数均为（D ）次的插值基函数第1页（共8页）li(x)= (E),从而得Lagrange插值多项式L(x) =(F),而插值余项 R(x) =f (x) L(x)=(G)。2 ) 试用三种方法求过三个离散点：A (0, 1) 、B (1, 2) 、C (2, 3) 的插值多项式。3)求函数f(x) =e”在0 , 1 上的近似一次插值多项式4）由函数值表：x :123xe :0.367879441 ,0.135335283 ,0.049787068.2 1求e 的近似值.5

4、)利用插值方法推导ni =0n x - j-4ij =0, j 77i： i - j三.拟合问题：对离散实验数据做最小二乘拟合的两个主要步骤是(A )和 (B ).对同一个量的多个近似值，常取其算术平均作为该量的近似值，这种做法的 意义是什么？设有实验数据如下:X1.361.731.952.28f14.09416.84418.47520.963按最小二乘法求其拟合曲线。已知某试验过程中函数f依赖于x的试验数据如下：xi ：12fi :0.81.51.8试按最小二乘法拟合出一个形如342.0_.2 .S = ax + bx的经验公式5 )设有实验数据如下：x12101826按最小二乘法拟合出一个

5、形如S=a+bx2的经验公式四.数值求积：1)写出数值求积公式的一般形式，指出其特点，并说明它对计算机的计算有什么意义？第2页(共8页)2)简述数值求积公式的“代数精度”的概念bn)插值型求积公式(f(x)dx之 Ak f (xk)中，每个系数可用公式 Ak =ak =0n(A ) 计算，它们之和 Ak = ( B ),其代数精度 (C ).k=0又Newton-Cotes公式的一般形式为(D ),其主要特点是 (E ),其nCotes系数之和 C C k =( F ),其代数精度(G );k =01)考察数值求积公式f (x)dx之Af (-1) + A0 f (0) + a f (1),-

6、j直接指出：它是什么类型的公式？为使其精度尽可能高，A，A0, A应取什么确值？它是不是Gauss型公式？11) 求=(rdx的近似值，试写出使用11个等分点函数值的求积01 x公式(要求只列出数值公式，不需要求出具体结果)。2)利用复化Simpson公式求积分I = 1fMdx的近似值(只需列出算式)。17)利用现成函数表，分别用复化梯形公式Tn和复化Simpson公式Sn计算积分5 aI : 06 . 4 - sin2 ： d 戛二；4 -sin2 :02二361.9981 0012.361.99244733 二361.98318254二361.97053865 二361.95483866

7、二.361.9364917五.解线性代数方程组的直接法：)Gauss消去过程中引入选主元技巧的目的是下列中的哪一项或哪几项？A.提高计算速度；B .提高计算精度；C .简化计算公式；D.提高计算公式的数值稳定性；E .节省存储空间。第3页(共8页)采用“列主元 Gauss消去法”解下列方程组:一235一整引347 x2 =6J33一口用列主元Gauss消去过程”将方程组约化成上三角方程组用回代过程”依次列式计算出方程组的解。设方程组-326 -4【10-7 0 x2 = 7.5-15一？3 一 回现采用“列主元 Gauss消去法”求解，试回答： a)所用列主元Gauss消去法包括哪两个过程？

8、b)要用几步消元？c)每一步消元计算之前需做哪些工作(用简短、准确的文字叙述)？d)现经第1步消元结果，上述方程组已被约化为一10-7 01-xil 一71-%6 X2 = 6%5上X3J上请你继续做消元计算，直至约化成上三角方程组。e)对所得上三角方程组依次列式计算出方程组的解。六.解线性代数方程组的迭代法：1) 解线性代数方程组 x = B x + f的基本型迭代公式x(k D = Bx(k) f , k =0,1, 其中B称为彳f么？ x(0)又称为什么？如果迭代序列(x(k)有极限x* (即迭 代公式收敛)，则极限x是什么？2)设解线性代数方程组 Ax =b (其中AW Rn/非奇异，

9、b#0) 的迭代公式为x(k -x(k) - (Ax(k) -b) , k -0,1,则其迭代矩阵是什么？此迭代公式对任意的初始向量x(0)收敛的充分必要条第4页(共8页)件是什么？又此迭代公式对任意的初始向量x(0)收敛的一个充分条件是什么？设线性方程组试构造解此方程组的 Jacobi迭代公式和GS迭代公式；试问所作的两种迭代公式是否收敛，为什么？试用初值 x(0) =(0,0),计算GS迭代公式的前三个值1-5xi-4)设方程组|1| 19-1也18 一试构造解此方程组的收敛的 Jacobi迭代公式和收敛的Guass-Seidel迭代公式，并说明两者收敛的根据；求出这两种迭代的迭代矩阵.设

10、线性方程组x,b R31-0.5 aAx =b, A= -0.52-0.5 -a -0.51_请按便于计算的收敛充分条件，求使J法和g附均收敛的a的取值范围七.一元方程求根：31)与出求万程f(x)=x 3x1 = 0在1 ,2 中的近似根的一个收敛的不动点迭代公式，并证明其收敛性。2)已知方程xlnx = 2( x 1 )的有根区间3 ,4 .试写出求该方程在3,4中的根的一个不动点迭代公式；证明所给出的迭代公式是收敛的。试设计其计算机算法.3) 用Newton迭代法求方程f (x) = x3 3x 1 = 0在x0 = 2附近的根，试写其Newton迭代公式；并说明其收敛情况。4)试写出求

11、疵的Newton迭代公式，并说明其收敛情况。八.常微分方程初值问题：1)常微分方程定解问题分为初值问题和(C)两部分联立起来构成的问题。(A ) 问题.初值问题是指由 (B) 和研究常微分方程初值问题时，通常针对基第5页(共8页)本形式(D)进行研究。设函数y(x)是某初值问题的解析解，则该初值问题在xn处的解为(E )而数值解(通常记)为 (F),它们的关系是(G).若记y(xn+)是初值问题在点 xn书处的解，yn书是由某数值方法得出的xn用处的数值解，则该数值方法在 xn书处的局部截断误差是指(H).r 2_ _y=-xy -y 0MxM062)设初值问题 y xy y ， 0-x-0.

12、6 )(0) =1试用Euler方法取h =0.2,求解上述初值问题的数值解。3 )设初值问题y，= 8-3y , 1MxM2 :y(1)=2试用梯形方法求其解在两点x=1.2, 1.4处的值y(1.2) , y(1.4)的近似值。y = y2 + 2x +10 x 1 TOC o 1-5 h z 4)设初值问题J y y, 0J(0)=1试用改进的Euler方法，并取h =0.1 ,设计一个求解上述初值问题数值解的 求解方案(或称计算机算法描述；不必求出解的具体数值)。九、下列各小题选择其中学过的小题作练习：1)设 x = (0, 2, 3)T,求x|i, |x|l , 3以一1 2 .设

13、A = .l3 4 ，求 IIALIIALdlAL , p。a 4 1)用较简捷的方法分别求下列的插值多项式H (x)和p( x),并写出其余项公式H(-1) = -1, H(0)=H(0)=0, H(1)=1p(0)=1, p(1)=p(1)=0,p(2)=2)用插值方法求在 x=0处与cos x相切，在x=n/2处与cosx相交的二次多项式P2 (x),并推导插值余项的估计式为2cosx - p2(x) W x | x - |624 )试用最小二乘法原理求下列超定方程组的近似解：第6页(共8页)2x1 +4x2 =113xi - 5x2 - 3x1 2x2 = 62xi x2 = 7三处的

14、近似值,要计算函数 y(x) = e dt 在 x = 0.2, 0,4, 0,6试用解初值问题的数值方法,设计其计算方案（要求采用二阶精度的计算公6)用追赶法解三对角方程组:2 11 3 11 1I 27)拟用迭代法x（k 1）= x（k）=（Ax的-b）, k =0,1, 求解，试确定 a 的取值范围，使得上述迭代公式收敛.8）对迭代函数中（x） = x + x2 -5）,试求使迭代公式xk + = * (xk ),k = 0, 1,局部收敛于x* = J5的九的取值范围。9)，一1试给出求，C除法运算.C A 0的Newton迭代公式，使得迭代公式没有开方和10)由迭代公式xk 1=2+近，k = 0,1，产生的序列xk对任何xk 211)初值x0之1均二阶收敛于什么？解释其原理。2与出求万程 x -2x +1=0的Newto