人教版高中数学选修1-1第二章2.2圆锥曲线知识点总结

1、锥曲线知识点小结圆锥曲线在高考中的地位：圆锥曲线在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。通过以圆锥 曲线为载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想 方法，并与高等数学基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式 新颖、有趣、综合性很强。.重视圆锥曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。.重视圆锥曲线性质与数列的有机结合。.重视解析几何与立体几何的有机结合。高考再现：2011年(文22)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：至7 = L如图所示，斜率为k (k0)且不过原点的直线1交椭圆C于A、B两点，线 段AB的中点为

2、E,射线0E交椭圆C于点G,交直线x = -3于点D (-3, m).(1)求H12+ k2的最小值;(2)若I OG b = I 0D | I 0E | ,求证：直线1过定点；试问点B、G能否关于x轴对称？若能，求出此时4ABG的外接圆方程; 若不能，请说明理由.(理22)已知动直线1与椭圆C： 3 + 2 = 1相交于P (x, y ), Q (x ,112叵yj两个不同点，且OPQ的面积其中0为坐标原点.4OPQ(1)证明：只+君和X+刃均为定值;(2)设线段PQ的中点为M,求I 0M| |PQ I的最大值；(3)椭圆C上是否存在三点D,E, G,使得区:区S、= 2 ?Z_A OD Z

3、a OD AOEGEG若存在，判断ADEG的形状；若不存在，请说明理由.(2009年山东卷)设mR,在平面直角坐标系中，已知向量a=(mKy+1),向量b=(x,y-1),a J_b,动点M(x,y)的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；(2)已知m=l/4,证明:存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨 迹E恒有两个交点A, B,且OAOB(O为坐标原点)，并求出该圆的方程；(3)已知m=1/4,设直线1与圆C:x2+y2=R2(lR2)相切于A；且1与轨迹E只有 一个公共点B ,当R为何值时，A B |取得最大值?并求最大值：1 1 1居玛一.圆锥曲线的定义

4、:椭圆：平面个定点的距离之和等于定色珏于)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点|烟田嬲白翳(2户菜麝那离叫做椭圆的焦距。耳瑞常数2a二忸遥轨迹是线段常数2a,轨迹不存在；2的距离之差的绝对值等于常数|/；正2)的点的轨迹叫做双曲线：平面内与两图“F双曲线。这两个定点1I 口，做B线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。数学语言：MF - MF = 2a2a /?0)32 a旭 14-= 1(a 0, b 0)*悦a、b、c关系 = *松=日2 +笈a、b、c的意义a是长半轴长，b是短半轴长，c是半焦距a是实长半轴长，b是虚短半轴长，c是半焦距范围-a x-b y bx aye R分类椭圆双曲线对称性

5、关于x轴和y轴对称， 也关于原点对称关于x轴和y轴对称， 也关于原点对称顶点(-40)/(e 0)12B (0,-)B (0, b)1244)，4 句)12离心率e- aC e =焦点坐标尸(G。)，F (GO)1212尸(-2，尸(GO)渐近线无,b J/=_X a抛物线几何性质:1(1)椭圆若椭圆0+5=1的离心率Y,则的值是一(2)双曲线的渐近线方程是3汨：2片0,则该双曲线的离心率等于 (3)若该抛物线上的点到焦点的距离是4,则点例的坐标为一(4)设双曲线 上匕=1 (aQb0)中，离心率eg22,则两条渐近线夹角。的 不 b2取值范围是设 方。/则抛物线y=4a*的焦点坐标为(6)双

6、曲线的离心率等记，旦与椭圆 学+匕=1有公共焦点，则该双曲线的方程 29 4(7)设中心在坐标原点。，焦点尸、尸在坐标轴上，离心率e= J2的双曲线C过点12A：4KH0),则C的方程为(8)已知抛物线方程为卜=8乂若抛物线上一点到y轴的距离等于5,则它到抛物线 的焦点的距离等于_；(9)抛物线卜=2%上的两点A、B到焦点的距离和是5,则线段AB的中点到y轴的 距离为 四、点七,刃和椭圆,合1= 1np点在椭圆上。土+工3261= p点在椭圆外。对于双曲线和抛物线与点的位置关系可以此类推。五、直线与圆锥曲线的位置关系：(在这里我们把圆包括进来)(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是

7、相离的a.直线与圆：一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法)，也可以利用方程实根的个数来判断(解析法).b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程，判断相交、相切、相离c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性(2)a求弦长。公式：弦长/=米 +左/一到二J(1+Q) () + %)2其中攵为直线的斜率，(x,y),(x,y)是两交点坐标.122b.求弦所在的直线方程C.根据其它条件求圆锥曲线方程.已知一点A坐标，一直线与圆锥曲线交于两点P、Q,且中点为A,求P、Q所在的 直线方程(点差法).已知一直线方程，某圆锥曲线上存在两点关于直线对称，求某个值的取值范围(或 者是圆锥曲线上否存在两点关于

8、直线对称)(1)若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是 直线yxO与椭圆971恒有公共点，则m的取值范围是 (3)过双曲线 9-9 = 1的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若|ABl =4,则这(4)过双曲线上 = 1不拉样的直线有 条.外一点Ax,y)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如卜：(5)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平 行于对称轴的直线。(6)过点(2,4)作直线与抛物线展=8x只有一个公共点，这样的直线有_(7)过点(0,2)与双曲畤-总二1有且仅有一个公共点的直线的斜率取值范围为(8)过双曲线*-与

9、=1的右焦点作直线/交双曲线于A、B两点，若恒8=4,则满足条件的直线/有一条(9)对于抛物线C： b=4x,我们称满足42 0)相交于A、B两点，且线段 兴 笈AB的中点在直线L： x2y=0上，则此椭圆的离心率为(3)试确定m的取值范围，使得椭圆 二十与=1上有不同的两点关于直线43y= 4x+0对称特别提醒：因为 。是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验A0L3、直线恒过定点问题：(1) A、B是抛物线y2=2px (p0)上的两点，且OAJ_OB (O为坐标原点)求证：直线AB经过一个定点；(2)抛物线y2=2px (p0)上有两个动点A、B

10、及一定点M (p,痛)，F为焦点；若|AF |MF|、|BF|成等差数列，求证：线段AB的垂直平分线过定点。例3图4、焦点三角形问题：(1)短轴长为J百，离心率e二匕的椭圆的两焦点为尸、F ，过尸作直线交椭圆 3121于A、B两点，则的周长为(2)设P是等轴双曲线必-=不(己0)右支上一点，FF2是左右焦点，若环了匕=0, |PFJ=6,则该双曲线的方程为(3)双曲线的虚轴长为4,离心率e=g, FP F,是它的左右焦点，若过匕的直 2/线与双曲线的左支交于A、B两点，且|/|自是与旧|等差中项，则卜8|=(4)已知双曲线的离心率为 2, FrF2是左右焦点，P为双曲线上一点，且N尸尸尸=60

11、, 5=1/3.求该双曲线的标准方程。12严尸25、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：若抛物线的方程为y2=2px (p0),过抛物线的焦点F (斗，0)的直线交抛物线与A(xyj、B lx2，y2)两点，贝Un2yM；乂占吟；(2)| AB|=x+x2+p；通径=2P(3扁+毓J ；(4)过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为A/、B/, F抛物线的焦点，则NA/FB/=9(P；(5)以弦AB为直径的圆与准线相切。(6)设A, B是抛物线y2=2px上的两点，。为原点，则OALOB的充要条件是直线AB恒过定点(2p, 0)证明：(1)当直线过焦点且垂直于x轴时，A (乡，p)、B qR

12、 -p)，因此y1y2=-p2成立；当直线过焦点且不与x油垂直时，显然直线的斜率k#0,直线AB的方程为:y=k (x-P )；由此的 x=2把x=V +e代入y2=2px消去x得: k 2ky2-2py-kp2=O, -y1y2=-P2VA (xr %)、B (x2, y2)两点都在抛物线y2=2px (p0)上, Ay12=2px1，y22=2px2；两式相乘得 2px2/. p4=4p2x1x2；从而X1X2=过A、B两点作准线X= - P的垂线，垂足分别为A/、B/, 2则 |AB| = |AF|+|BF| = |AA/|+|BB/|=X+ +x2+ =x1+x2+p(3)VA (xr

13、 %)、B (x2, y?). J.i_x1-rx?-rp4 2(xi+x2)+ 4iafi+祚F+Fxi+2 x2+2X1rX2-rPX X +艮I、十X,十比X1X224Xi+x,+p m 艮=p2的+乂2+0过A、B两点分别作准线的垂线，垂足分别为A/、B/,由于点A、B是抛物线上的点，F是抛物线的焦点，根据抛物线的定义可知，|AF| =|AA/|, |BF| = |BB/|ZB/BF = 1800-2ZB/FB, NA/AF = 18(P2NA/FA由AA/ BB/ AZB/BF + ZA/AF = 1800即：1叫肃5 威顺一2NA/FA = 18(P /R垂足分别为A/、B/、N，

14、N为线段AB的中点，过A、B、N分别作准线的垂线，|AA/|十|BB/|TN为线段AB的中点，则|NN|=2以AB为直径的圆与准线相切。(6)设A, B是抛物线y2=2px上的两点，。为原点，则OALOB的充要条件是直 线AB恒过定点(2p, 0)六,你了解下列结论吗?共渐近线的双曲线系：(1)渐近线方程为：片x艮芦P=0 的双曲线方程可设为:兴致(夕w0)入0时表示焦点在x袖上的双曲线；入 0时表示焦点在y轴上的双曲线； (2)与双曲线垩-篮二1有相同的渐近线的与双曲线卷卷=1有共同的渐近线，且过点(-3%弓)的双曲线方程为(2)中心在原点，一个焦点为(3, 0), 一条渐近线方程2x-3y

15、=0的双曲线方程是 七、圆锥曲线中的最值问题例8图(1)如图所示，若A (3, 2), F为抛物线y2=2x的焦点，求|PF|+|PA| 的最小值，以及取得最小值时点P的坐标。变式：若A (3, 5)呢？(2).定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线乂=上移动，求AB中点M到y轴距离的最小值，并求此时AB中点M的坐标。(3)若yc/?,且3* + 2/=6,则X+.最大值是_, *+y的最小值是一(4)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为 八.动点轨迹方程问题：1、直接法当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、 整理化

16、简、限制说明五个基本步骤求轨迹方程，称之直接法.例1.点与定点尸(0,2)的距离和它到定直线y=8的距离的比是1:2，求点的轨迹方程式，并说明轨迹是什么图形.变式：已知动点P到定点F(1Q)和直线x=3的距离之和等于4,求P的轨迹方程.2、待定系数法：已知轨迹是什么图形，先设出其标准方程，再求出参数。例2、已知椭圆的焦点坐标为电一2道)和(02，且经过点(一病，有),求椭圆的标 准方程。变式：抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135。的直线，被抛物线截得的弦长为8,试求抛物线的方程。3、定义法：定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线(如圆、椭圆、双曲线、 抛物线等

17、)的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.例3、求与圆(X-3户+卜=1及(*+3)2 + /= 9都外切的动圆圆心的轨迹方程.解：设动圆的半径为r,则由动圆与定圆都外切得|%二3+。|%=1 +八又因为 | 吸叱 |=(3+/) (1 + /) = 2,由双曲线的定义可知，点M的轨迹是双曲线的一支承所求动圆圆心的轨迹是双曲线的一支，其方程为：必_y=1 (%1)18彭(1)、一动圆与圆*+卜+ 6*+5=0外切，同时与圆*+卜-6x-91 = 0内切，求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线.(2、已知A/8U的底边BC长为12,且底边固定，顶点A是动点，使 1sin 5-

18、sinC=-sin/l,求点 A 的轨迹.分析：首先建立坐标系，由于点A的运动规律不易用坐标表示，注意条件的运用，可 利用正弦定理将其化为边的关系，注意有关限制条件.解：以底边BC为X轴，底边BC的中点为原点建立核坐标系，这时1比一6,0), U(6,0),由 sin 8 sin C = -sin /得1一 c= /d= 6,即 |6.所以，点 A 的轨迹是以 8(6,0), 0(6,0)为焦点，2d=6的双曲线的左支其方程为：门。=1(*0/0)上，尸，尸是它的两个焦点，求AZ尸尸* 松121 2的重心G的轨迹方程.分析：要求重心的轨迹方程，必须知道三角形的三个顶点的坐标，利用相关点法进行

19、求解.注意限制条件.解：设人力。的重心G的坐标为(协，则点A的坐标为(3%3旭 I/2因为点A位于双曲线3台= 1(d0/0)上，从而有竿一喈二N0),即告一十 = 0)32 b2令令所以，A/尸尸的重心G的轨迹方程为与上 = 1(yw0).12 令(叶变式：如图，从双曲线U:* 产=1上一点Q引直线/:x+y=2的垂线，垂足为/V,求线段Q/V的中点户的轨迹方程. TOC o 1-5 h z 解：设 9，Q (x,y),则/V(2xx,2yy). /V在直线/上, 1111 2x- x +2y-y = 2 . 又 PN1 /得七匕一 二1,即 xy+y x =0 11X X111_ 3x+

20、y 2广一工2又点Q在双曲线C上,(兰手2)变(七刍一)2二1,3y+x-222y =-12化简整理得：2M 2b2x+2y1 = 0,此即动点P的轨迹方程.5参数法参数法是指先引入一个中间变量(参数)，使所求动点的横、纵坐标y间建立起联系, 然后再从所求式子中消去参数，得到p间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.例5过抛物线 =2平(p 0)的顶点。作两条互相垂直的弦OA、OB,求弦的中点例的轨迹方程.解：设直线。4的斜率为攵。0),则直线08的斜率为-；直线OA的2P /=T,即4%,华，同理可得8(2/2题./ 一，S|l方程为y=/x由c -川甘寸V展=2然x=:+/2由中点坐标公式，得k2 ,消去%,得/ =以x2p),此即点例的轨迹方程. y= -y- pk6、交轨法求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.例6如右图，垂直于X轴的直线交双曲线上 4 = 1于M、两点，勺8为双曲线的左、右顶点,求直线管与4”的交点的轨迹方程,并指出轨迹的形状.报 b2解：设/协及(勺匕),Mx.用，又/卜配),/00),可得 直线的方程为产=_(x+a；直线/之、的方程为=二-(x&.q 2 = 1, 一二a2 b2 （浜*）,代入得 11b211x得/=二22