《自动控制原理》（第六版）课件：第7章 线性离散系统的分析与校正3

1、自 动 控 制 原 理第七章 线性离散系统的分析与校正3第七章 线性离散系统的分析与校正7-3 z 变换理论 z 变换是研究线性离散系统的重要工具。其地位与拉氏变换在连续系统中的地位相同。 z 变换是从拉氏变换直接引出来的一种变换方法。实际上是采样函数拉氏变换的变形，有时 z 变换也称为采样拉氏变换。 令记作：1. z变换定义采样信号的拉氏变换：z变换仅对采样信号的拉氏变换有意义，通过这种变换，可将对s的超越函数变为对z的幂级数或对z的有理分式。则5由Z变换定义知：这是离散时间函数e*(t)的无穷级数表达式。2. z变换方法(1) 级数求和法 适用于给定e(t)或e*(t)及T的情况。6例：求

2、1(t)的Z变换解：若则无穷级数是收敛的。7例: 求的z变换。解：8 适用于给定连续函数拉氏变换 E(s) 的场合，或容易求出 E(s) 的场合。可将E(s)分成部分分式和的形式，然后使每一部分变为简单的时间函数。由于简单的时间函数的z变换是已知的，于是可方便的求出E(s)对应的z变换E(z)。例：，试求相应的z变换解：（2）部分分式法9 （1）线性定理： 线性定理表明， z变换是一种线性变换，变换过程中满足齐次性和叠加性。3. Z变换的基本定理10（2）实数位移定理又称延迟定理、平移定理。包括超前定理和滞后定理二部分。（1）如果函数 是可拉氏变换的， 其z变换为E(z)，则证明： 11令 ，

3、则有 令 ，则12（2）如果函数 是可拉氏变换的， 其 z 变换为E(z)，则证明： 13令 m=n14 z-K代表时域中的滞后环节，将采样信号滞后k 个采样周期；同理， zK 代表超前环节，是把采样信号超前 k 个采样周期。但zK仅用于运算，在实际中并不存在。在实数位移定理中称为滞后定理；称为超前定理；15例: 用实数位移定理计算滞后一个采样周期的指数函数 的z变换。解：16（3）复数位移定理如果函数 是可拉氏变换的， 其 z 变换为 E(z) ，则证明令则17例: 用复数位移定理计算 的z变换。解：令18（4）终值定理 如果函数 的z 变换为 E(z)， 函数序列 e(nT)为有限值(n=

4、0,1,2,)， 且极限 存在， 则函数序列的终值为 19例：利用终值定理确定e(nT)的终值。解：设z变换函数为20设x(nT)和y(nT)是两个采样函数，其离散卷积定义为：则 （5）卷积定理 此定理表明：两个采样函数卷积的z变换，等于每个采样函数z变换的积。在离散系统分析过程中，它是沟通时域与z域的桥梁。21 与拉氏反变换类似，利用Z反变换，可以求出离散系统的时间响应。 Z反变换可以表示为：e(nT)=Z-1E(z)。4. z反变换(1) 部分分式法22例：设求z反变换。解：23 (2) 幂级数法（长除法、综合除法） 按一般除法，将E(z)展开成按Z-1的升幂排列的级数展开式为：24实际应用中，幂级数法常常只算有限的几项就够了，因此用这种方法求e*(t)是很简便的，但是要从一组e(nT)值中求出通项表达式，则比较困难。例： 求的z反变换。解：用长除法：2526求得：所以27z变换所处理的对象是离散时间序列，而不带有原信号采样点间隔内的任何信息，换句话说，不管采样前连续信号是何等形式，只要它们采样点的值相等，它们的z变换是相同的。z变换只与采样脉冲序列e*(t)一一对应，而与e(t)不一一对应。下图表示的三个信号具有相同的z变换，但三个连续信号却不同。t0e1(t)e1*(t)e2(t)e2*(t)te3(t)e3*(t)t 5