八年级数学下册第六章证明一教案北师大版

1、第六章 证明（一）6.1你能肯定吗知识与技能目标：1通过观察、猜测得到的结论不一定正确；2让学生初步了解，要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理能力训练要求：1通过探索，让学生初步了解数学中推理的重要性；2初步了解要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理重点判定一个结论正确与否需进行推理难点理解数学推理的重要性一、巧设现实情境，引入新课在现实生活中，我们常采用观察的方法来了解世界在数学学习中，我们通过观察、度量、猜测来得到一些结论那这样得到的结论都是正确的吗？如果不是，那么用什么方法才能说明它的正确性呢？从今天开始，我们来学习第六章：证明（一）二、讲授新课1如图，四边形A

2、BCD四边的中点分别为E、F、G、H度量四边形EFGH的边和角，你会发现什么结论？四边形ABCD，找到四边形的中点E、F、G、H后，量了量四边形EFGH的边发现：EFGH，EHGF角EHGEFG，HEFHGF同学画的四边形ABCD的形状可能不一样，但连接这四条边的中点E、F、G、H所得到的四边形EFGH经测量知：它们都是平行四边形所以由此可得：任意四边形的四条边的中点所围成的四边形都是平行四边形2通过观察、猜测、度量得到的结论是否正确，需要用推理过程得证做一做：当n0、1、2、3、4、5时，代数式n2n11的值是质数吗？你能否得到结论：对于所有自然数n，n2n11的值都是质数？与同伴交流当n0

3、、1、2、3、4、5时，代数式n2n11的值都是质数这样得到结论：对于所有自然数n，n2n11的值都是质数你一定能肯定吗？下面我们再来做一做：假如用一根比地球赤道长1m的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？能放进一颗红枣吗？能放进一个拳头吗？与同伴进行交流结果不能肯定，那么怎样才能肯定呢？要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理那大家来想一想、议一议：（1）在数学学习中，你用到过推理吗？举例说明（2）在日常生活中，你用到过推理吗？举例说明同学们举出了许多的例子，说明不论在日常生活中，还是在数学学习中

4、，要判断一件事情或一个结论正确与否，必须进行一步一步有根有据地推论下面我们来通过练习熟悉本节课的内容三、课堂练习（一）课本随堂练习1、2、3（二）课本读一读：“费马的失误”（三）看课本，然后小结四、课时小结本节课主要研究了：要判断一个数学结论是否正确，需要有根有据地进行推理五、课后作业见作业本六、活动与探究1有没有这样的质数，当它加上10和14时仍为质数若有，求出来；若没有，请证明3合乎要求，但符合条件的质数是否只有3呢？这必须加以证明证明除了3以外的所有正整数加上10和14均不能是质数为此把正整数按模3同余分类即：3k1，3k1（k为正整数）因为（3k1）103k93（k3）是合数，（3k1

5、）143k153（k5）是合数，所以3k1和3k1这两类整数中的质数加上10和14后不能都是质数因此，在3k1和3k1两类整数中的质数加上10和14后当然不能都是质数对于3k这类整数，只有在k1时，3k才是质数，其余均为整数所以所求的质数只有6.2.1定义与命题（一）知识与技能目标：1定义的意义；2命题的概念能力训练要求：1从具体实例中，探索出定义，并了解定义在现实生活中的重要性；2从具体实例中，了解命题的概念，并会区分命题情感与价值观要求：通过从具体例子中提炼数学概念，使学生体会数学与实践的联系重点命题的概念难点命题的概念的理解教具准备教学过程：一、巧设现实情境，引入新课人与人之间的交流必须

6、在对某些名称和术语有共同认识的情况下才能进行为此，我们需要给出它们的定义这节课我们就要研究：定义与命题二、讲授新课在日常生活中，为了交流方便，我们就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给他们下定义（definition）如：“具有中华人民共和国国籍的人，叫做中华人民共和国的公民”是“中华人民共和国公民”的定义大家还能举出一些例子吗？同学们举出了这么多例子说明定义就是对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定如图，某地区境内有一条大河，大河的水流入许多小河中，图中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K处均有一个化工厂，如果它们向河中排放污水，下游河流便会受到污染如果B处工厂排

7、放污水，那么_处便会受到污染；如果C处受到污染，那么_处便受到污染；如果E处受到污染，那么_处便受到污染；如果环保人员在h处测得水质受到污染，那么你认为哪个工厂排放了污水？你是怎么想的？与同伴交流在假设的前提条件下，对某一处受到污染作出了判断像这样，对事情作出判断的句子，就叫做命题即：命题是判断一件事情的句子如：熊猫没有翅膀对顶角相等命题就是肯定一个事物是什么或者不是什么，不能同时既否定又肯定，如：你喜欢数学吗？作线段ABa平行用符号“”表示这些句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它们就不是命题一般情况下：疑问句不是命题图形的作法不是命题三、课堂练习（一）课本随堂练习1、21你能列举出一些命

8、题吗？2举出一些不是命题的语句四、课时小结本节课我们通过具体实例，说明了定义在生活中的重要性在具体实例中，了解了命题的概念命题：判断一件事情的句子五、课后作业见作业本六、活动与探究1现有正方形纸若干：假设正方形纸面积为1，你会折满足折面积为的正方形吗？方法：如图将正方形两次对折，得到各边中点E、F、G、H连HE、EF、FG和GH则正方形EFGH即为所求注：图、的方法可折得面积为、的正方形6.2.2定义与命题（二）知识与技能目标：1命题的组成：条件和结论；2命题的真假；3了解数学史能力训练要求：1能够分清命题的题设和结论会把命题改写成“如果，那么”的形式；能判断命题的真假；2通过举例判定一个命题

9、是假命题，使学生学会反面思考问题的方法；3通过对欧几里得原本的介绍，感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值情感与价值观要求：1通过举反例的方法来判断一个命题是假命题，说明任何事物都是正反两方面的对立统一体；2通过了解数学知识，拓展学生的视野，从而激发学生学习的兴趣重点找出命题的条件（题设）和结论难点找出命题的条件和结论教具准备教学过程：一、巧设现实情境，引入课题上节课我们研究了命题，那么什么叫命题呢？（判断一件事情的句子，叫做命题）观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？（1）如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等（2）如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这

10、个四边形是平行四边形（3）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等（4）如果一个四边形的对角线相等，那么这个四边形是矩形（5）如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么这个四边形是菱形大家观察后，分组讨论二、讲授新课大家刚才观察到上面的五个命题中，每个命题都有条件和结论两部分组成条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项一般地，命题都可以写成“如果，那么”的形式其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论有些命题没有写成“如果，那么”的形式，题设和结论不明显如：“同角的余角相等”，对于这样的命题，要经过分析才能找出题设和结论，也可以将它们改写成“如果，那么”的形式注

11、意：命题的题设（条件）部分，有时也可用“已知”或者“若”等形式表述，命题的结论部分，有时也可用“求证”或“则”等形式表述下面我们来做一做：1下列各命题的条件是什么？结论是什么？（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；（2）如果ab，bc，那么ac；（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；（4）菱形的四条边都相等；（5）全等三角形的面积相等2上述命题中哪些是正确的？哪些是不正确的？你怎么知道它们是不正确的？其实，在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题，公元前3世纪，人们已经积累了大量的数学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前300前后）编写了一本书，书名叫

12、原本（Elements），为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的起始依据其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理（axiom）除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实推理的过程称为证明（proof）经过证明的真命题称为定理（theorem），而证明所需的定义、公理和其他定理都编写在要证明的这个定理的前面除公理、定义外，其他的真命题必须通过证明才能证实我们这套教材有如下命题作为公理：（见课本）除这些以外，等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替如：如果ab

13、，bc，那么，ac，这一性质也看做公理，称为“等量代换”注意：（1）公理是通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理论证而都承认的真命题（2）公理可以作为判定其他命题真假的根据三、课堂练习1课本读一读2看课本，然后小结四、课时小结本节课我们主要研究了命题的组成及真假知道任何一个命题都是由条件和结论两部分组成命题分为真命题和假命题在辨别真假命题时注意：假命题只需举一个反例即可而真命题除公理和性质外，必须通过推理得证五、课后作业见作业本六、活动与探究将一个命题的条件与结论交换得到一个新命题，我们称这个命题为原命题的逆命题，请写出下列命题的逆命题，并判断是真命题还是假命题1凡直角都相等2对顶角相等3

14、两直线平行，同位角相等4如果两数中有一个是正数，那么这两个数之和是正数6.3为什么它们平行知识与技能目标：1平行线的判定公理；2平行线的判定定理能力训练要求：1通过经历探索平行线的判定方法的过程，发展学生的逻辑推理能力；2理解和掌握平行线的判定公理及两个判定定理；3掌握应用数学语言表示平行线的判定公理及定理，逐步掌握规范的推理论证格式情感与价值观要求：通过学生画图、讨论、推理等活动，给学生渗透化归思想和分类思想重点平行线的判定定理、公理难点推理过程的规范化表达一、巧设现实情境，引入新课前面我们探索过直线平行的条件大家来想一想：两条直线在什么情况下互相平行呢？这些判定方法都是我们经过观察、操作、

15、推理、交流等活动得到的我们知道：“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”是定义“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”是公理那其他的三个真命题如何证实呢？这节课我们就来探讨第三节：为什么它们平行二、讲授新课1看命题：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行这是一个文字证明题，需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言所以根据题意，可以把这个文字证明题转化为下列形式：如图，已知，1和2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且1与2互补，求证：ab经过推理的过程证明了一个命题是真命题，我们把这个真命题称为：直线平行的判定定理这一定理可简单地写成：

16、同旁内角互补，两直线平行2议一议：小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对吗？为什么？由此可知：“内错角相等，两直线平行”是真命题下面我们来用规范的语言书写这个真命题的证明过程这样我们就又得到了直线平行的另一个判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行这一定理可以简单说成：内错角相等，两直线平行3想一想：已知，如图直线ac，bc求证：ab三、课堂练习（一）课本随堂练习（二）看课本，然后小结四、课时小结这节课我们主要探讨了平行线的判定定理的证明同学们来归纳一下完成下表：五、课后作业见作业本六、活动与探究你能用圆规和直尺作出两条平行线吗？能证明你的作法吗？6.4如

17、果两条直线平行知识与技能目标：1平行线的性质定理的证明；2证明的一般步骤能力训练要求：1经历探索平行线的性质定理的证明培养学生的观察、分析和进行简单的逻辑推理能力；2结合图形用符号语言来表示平行线的三条性质的条件和结论并能总结归纳出证明的一般步骤情感与价值观要求：通过师生的共同活动，培养学生的逻辑思维能力，熟悉综合法证明的格式进而激发学生学习的积极主动性重点证明的步骤和格式难点理解命题、分清其条件和结论正确对照命题画出图形写出已知、求证一、巧设现实情境，引入新课上节课我们通过推理得证了平行线的判定定理，知道它们的条件是角的大小关系其结论是两直线平行如果我们把平行线的判定定理的条件和结论互换之后

18、得到的命题是真命题吗？这节课我们就来研究“如果两条直线平行”二、讲授新课在前一节课中，我们知道：“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”这个真命题是公理，这一公理可以简单说成：两直线平行，同位角相等议一议：利用这个公理，你能证明哪些熟悉的结论？大家来想一想：（1）根据“两条平行线被第三条直线所截，内错角相等”你能作出相关的图形吗？（2）你能根据所作的图形写出已知、求证吗？（3）你能说说证明的思路吗？通过证明证实了这个命题是真命题，我们可以把它称为定理即平行线的性质定理这样就可以把它作为今后证明的依据注意：（1）在课本中曾指出：随堂练习和习题中用黑体字给出的结论也可以作为今后证明的依据所以像“

19、对顶角相等”就可以直接应用（2）这个性质定理的条件是：直线平行结论是：角的关系在应用时一定要注意接下来我们来做一做由判定公理可以证明的另一命题：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补通过推理的过程得证这个命题“两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补”是真命题.我们把它称为定理，即直线平行的性质定理，以后可以直接应用它来证明其他的结论到现在为止，我们通过推理得证了两个判定定理和两个性质定理，那么你能说说证明的一般步骤吗？大家分组讨论、归纳证明的一般步骤：第一步：根据题意，画出图形先根据命题的条件即已知事项，画出图形，再把命题的结论即求证的内容在图上标出符号，还要根据证明的需要在图上标出必要的

20、字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达第二步：根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证把命题的条件化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中第三步，经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程一般情况下，分析的过程不要求写出来，有些题目中，已经画出了图形，写好了已知、求证，这时只要写出“证明”一项就可以了三、课堂练习（一）补充练习证明邻补角的平分线互相垂直（二）看课本，然后小结四、课时小结这节课我们主要研究了平行线的性质定理的证明，总结归纳了证明的一般步骤1平行线的性质：公理：两直线平行，同位角相等定理：两直线平行，内错角相等定理：两直线平行，同旁内角互补2证明

21、的一般步骤（1）根据题意，画出图形（2）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程五、课后作业见作业本六、活动与探究1已知，四边形ABCD中，ABCD，BD，求证：ADBC6.5三角形内角和定理的证明知识与技能目标：三角形的内角和定理的证明能力训练要求：掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题，同时培养学生观察、猜想和论证能力情感与价值观要求：通过新颖、有趣的实际问题，来激发学生的求知欲.重点三角形内角和定理的证明.难点三角形内角和定理的证明方法.教具准备施教时间2006年月日教学过程：一、巧设现实情境，引入新课大家来看一机器零件（见课

22、本）：工人师傅将凹型零件加工成斜面EC与槽底CD成55的燕尾槽的程序是：将垂直的铣刀倾斜偏转35角，就能得到55的燕尾槽底角为什么铣刀偏转35角，就能得到55的燕尾槽底角呢？二、讲授新课为了回答这个问题，先观察如下的实验（实物实验）用橡皮筋构成ABC，其中顶点B、C为定点，A为动点，放松橡皮筋后，点A自动收缩于BC上，请同学们考察点A变化时所形成的一系列的三角形：A1BC、A2BC、A3BC其内角会产生怎样的变化呢？在三角形中，最大的内角有没有等于或大于180的？猜一猜：三角形的内角和可能是多少？怎样证明呢？请同学们再来看实验这里有两个全等的三角形，我把它们重叠固定在黑板上，然后把三角形ABC

23、的上层B剥下来，沿BC的方向平移到ECD处固定，再剥下上层的A，把它倒置于C与ECD之间的空隙ACE的上方这时，A与ACE能重合吗？在证明过程中，我们仅仅添画了一条射线CE，使处于原三角形中不同位置的三个角，巧妙地拼凑到一起来了为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线在平面几何里，辅助线通常画成虚线我们通过推理的过程，得证了命题：三角形的内角和等于180是真命题，这时称它为定理即：三角形的内角和定理三、课堂练习（一）课本随堂练习1、2（二）读一读（三）看课本，然后小结四、课时小结这堂课，我们证明了一个很有用的三角形内角和定理证明的基本思想是：运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角

24、集中在一起，拼成一个平角辅助线是联系命题的条件和结论的桥梁，今后我们还要学习它五、课后作业见作业本2预习提纲（1）三角形内角和定理的推论是什么？（2）三角形内角和定理的推论的应用六、活动与探究1证明三角形内角和定理时，是否可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P？，如果把这三个角“凑”到三角形内一点呢？“凑”到三角形外一点呢？你还能想出其他证法吗？板书设计6.5三角形内角和定理的证明一、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180二、议一议三、课堂练习四、课时小结五、课后作业6.6关注三角形的外角知识与技能目标：1三角形的外角的概念；2三角形的内角和定理的两个推论能力训练要求：1经历探索三

25、角形内角和定理的推论的过程，进一步培养学生的推理能力；2理解掌握三角形内角和定理的推论及其应用情感与价值观要求：通过探索三角形内角和定理的推论的活动，来培养学生的论证能力，拓宽他们的解题思路从而使他们灵活应用所学知识重点三角形内角和定理的推论难点三角形的外角、三角形内角和定理的推论的应用一、巧设现实情境，引入新课上节课我们证明了三角形内角和定理，大家来回忆一下：它的证明思路是什么？通过作辅助线，把三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角这样就可以证明三角形的内角和等于180共同证明：三角形的内角和定理在证明这个定理时，先把ABC的一边BC延长，这时在ABC外得到ACD，我们把AC

26、D叫做三角形ABC的外角那三角形的外角有什么性质呢？我们这节课就来研究三角形的外角及其应用二、讲授新课1那什么叫三角形的外角呢？像ACD那样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角外角的特征有三条：（1）顶点在三角形的一个顶点上（2）一条边是三角形的一边（3）另一条边是三角形某条边的延长线把三角形各边向两方延长，就可以画出一个三角形所有的外角由此可知：一个三角形有6个外角，其中有三个与另外三个相等，所以研究时，只讨论三个外角的性质2下面大家来想一想、议一议如图，1是ABC的一个外角，1与图中的其他角有什么关系呢？能证明你的结论吗？三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三

27、角形的一个外角大于和它不相邻的任一个内角由此我们得到了三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角在这里，我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理，像这样，由一个公理或定理直接推导出的定理叫做这个公理或定理的推论（corollary）因此这两个结论称为三角形内角和定理的推论它可以当做定理直接使用注意：应用三角形内角和定理的推论时，一定要理解其意思即：“和它不相邻”的意义3下面我们来研究三角形内角和定理的推论的应用例1已知，如图，在ABC中，AD平分外角EAC，BC，求证：ADBC要证明ADBC只需证明“同位角相等”即：需证明：

28、DAEB这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证现在大家来想一想：若证明两个角不相等、或大于、或小于时，该如何证呢？例2已知，如图在ABC中，1是它的一个外角，E是边AC上一点，延长BC到D，连接DE求证：12一般证明角不等时，应用“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”来证明所以需要找到三角形的外角三、课堂练习1课本随堂练习12看课本，然后小结四、课时小结本节课我们主要研究了三角形内角和定理的推论：推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角在计算角的度数、证明两个角相等或角的和差

29、倍分时，常用到三角形内角和定理及推论1在几何中证明两角不等的定理只有推论2，所以遇到有证明角不等的题目一定要设法用到它去证明五、课后作业见作业本六、活动与探究1如图，求证：（1）BDCA（2）BDCBCA如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？回顾与思考知识与技能目标：1证明的必要性，了解证明的书写格式；2了解定义、命题、公理和定理的含义；3平行线的性质定理和判定定理；4三角形的内角和定理及推论能力训练要求：1理解证明的含义；2通过具体例子，进一步了解定义、命题，定理、公理的含义，并会区分命题的条件和结论；3掌握用综合法证明的格式体会证明的过程要步步有依据；4通过回顾与思考，进一步理解掌握平行线的性质定理和判定定理，并会灵活应用；5通过回顾与思考，进一步理解掌握三角形内角和定理及推论，并会灵活应用情感与价值观要求：通过学生回顾与思考，使他们进一步体会直观是重要的，但有时也会欺骗人，这时就需要通过逻辑推理来判断，培养学生的推理论证能力，进而发展他们的空间观念重点1平行线的性质定理和判定定理的应用；2三角形内角和定理及其推论的应用；3证明的步骤及书写格式难点证明过程的书写一、巧设问题情境，引入课题前面几节课我们探讨了第六章“证明”，在教学中为什么要证明？如何证明呢？今天我们就来对此进