从数学本质的角度把握递推数列的教学

1、从数学本质的角度把握递推数列的教学摘要：由于递推数列的教学要求在考纲中没有明确界定，本文从挖掘数列中数学思想，揭示其数学本质的高度指明了递推数列教学的重点与难点.一、导言由于历年的高考数学试题都考递推数列（浙江省高考自2004年自主命题以来连续5年都以递推数列为压轴题（07年是次压轴题），所以高三数学老师都很重视递推数列的教学.但这一教学内容无论是在考试大纲还是考试说明或是学科指导意见中都没有一个明确的说法，所以具体教学时难以把握教学要求，难以控制难度，造成这项内容极易膨胀.有的教师受一些参考资料的影响，对学生进行递推数列的系统教学，讲解由递推关系求通项的各种类型各种方法，包括一阶的，二阶的，

2、整式的、分式的，甚至特征方程也讲.结果呢？时间和精力花了不少，学生解数列题的能力却不见长进，到头来不仅不会做数列题，而且由于增加了学生不少的负担，也把宝贵的复习时间乱费了，数学整体成绩反而受到影响.因此如何把握好递推数列教学的要求，如何有效地实施递推数列的教学，是高三数学迎考复习中很值得研究和探讨的问题，以下我就“从数学本质的角度把握递推数列教学的要求”方面谈点粗浅的体会和不成熟的做法，不当之处，敬请批评指正.二、如何讲解“累加法”讲由递推数列求通项，不能不讲“累加法”，但如何讲这个“累加法”呢？我认为这里面大有文章可做.有的教师一开篇就讲，今天我们来学习求数列通项公式的方法，第一种方法是“累

3、加法”，接着举例，说明累加法是怎样操作的，然后一个一个地介绍其他方法.我认为这种讲法会让学生感到“累加法”来到学生面前太突然，这样讲的效果或许能使学生依样做出一些题目，但学生会觉得这东西与所学的教材没有什么关系，是老师的神来之笔，莫名其妙.我是这样讲的，首先问学生等差数列的定义是什么？这个定义翻译成数学符号语言怎样表示：an+1-an=d().接着问学生，能不能由这个式子求出通项公式，这时学生积极思考，由此得出求通项的三种方法累加法、迭代法、恒等变形法.之后，再问学生，等比数列的定义是什么？如何求等比数列的通项？用类比的方法得出叠乘法、迭代法、恒等变形法.最后配几个小例题：题一：已知an中，a

4、1=1,由下列条件求an(nN*):(1)an+1=an+2n+5；（2）；（3）；（4） an+1= an+1；（5）an+1=2an+2n.就这样，基本而重要的“累加法、叠乘法、迭代法、恒等变形法”被学生轻松地掌握了.简评：这种讲法是让“累加法、叠乘法、迭代法、恒等变形法”这些“新知识”从学生所熟悉的“旧知识”中生长出来的，学生感到自然有、亲切，接受起来顺当，似行云流水.这样的处理过程实质上就是对“数列”中数学思想的挖掘，就是对数学本质的揭示，“数列”中的数学思想还有等差数列前n项和中的“倒序相加法”，等比数列前n项和中的“错位相减法”.数列的教学中长期以来存在一种现象教师对教材中的知识，

5、如：等差、等比数列的通项公式、前n项和公式、性质讲清，甚至讲透了.可是当学生掌握了这些知识之后，拿到一个数列综合题却还是没有一点思路，不知从何入手，这是为什么呢？其实，教材除了有有形（已写出来）的知识（即所谓“陈述性知识”）外，还有无形的没有用文字描述的东西（也即所谓“程序性知识”），即知识之间的内在联系和思维过程，我们的教学存在的最大问题就是对“程序性知识”挖掘不够、不能讲清讲透.由于陈述性知识是关于“是什么”的知识；程序性知识是关于“如何做”的知识.所以若我们对“程序性知识”教得不够，就势必会出现知识点熟悉而不会做题的现象.这也就是浙江省高考命题组5年来一直坚持注重数学本质（虽然这很难，但

6、一直这样做），以引导中学数学教学关注数学本质，减少程式化的大运动量训练，切实减轻学生的学业负担的根本原因.三、如何讲“由Sn求an”在讲求数列通项公式时，高三数学老师一定会讲“由Sn求an”的问题和方法，其基本方法和原理是利用Sn与an的关系.学生在听了老师的课后也能做一些类似的题，如：题二：已知下列两数列an的前n项和Sn的公式，求它们的通项公式.（1）Sn=n3+n-1 （2）Sn=n2-1然而当你把一个另一个由Sn求an的题拿给学生时，学生就傻眼了：题三：设数列an的首项为a1=1，前n项和Sn满足关系3tSn-(2t+3)Sn-1=3t(t0,n=2,3,4,)，求证：数列 an 是等

7、比数列.这同样是一道由Sn求an的题，为什么就不会做了呢？我认为问题就出在我们是如何认识的，或者说这个式子的数学思想是什么？其数学本质是什么？我们有没有认清，我们有没有把这个式子的数学思想教给学生.我认为的本质是揭示了数列的前n项和与其项的关系，既要能由项去求和，又要能由和的差去表示项.明白了这个道理之后，自然就会提出如何由Sn,Sn-1去求an或an-1的问题，为了出现Sn与Sn-1的差，就“逼着”我们去再找一个式子，于是方法就来了：3tSn-(2t+3)Sn-1=3t(t0,n=2,3,4,) 3tSn-1-(2t+3)Sn-2=3t(t0,n=3,4,5,) ，得简评：（1）我把这种方法

8、叫做“用二次”，这是一种一说一做就明白的通俗解法.对于大量形式的由递推由通项的数列题目，此法一般总能奏效的.如：题四：1.（2004全国理15）已知数列an满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+(n1)an1(n2)，则an的通项 .2数列an中，a1=1,且3(a1+a2+an)=(n+2)an,(n=2,3,)，则an.3数列an满足：a1=1,a1+a2+an=n2an(n2)，则an .4已知数列an满足a1+2a2+3a3+nan=(n+1)( n+2)，则an.5数列an中，a1=1，对所有的n2，都有a1a2an=n2，则an=.6整数数列an满足a1a2+a2a3+an-1

9、an=，这样的数列的个数是.7已知数列an,bn满足，且bn是等差数列，求证：an也是等差数列.8 已知等差数列an的首项a1=1，公差d0，且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列bn的第二、三、四项. (1)求数列an与bn的通项公式； (2)设数列cn对任意自然数n均有成立，求c1+c2+c3+c2008的值.9设数列an的各项都是正数，记Sn为数列an的前n项和，对任意，都有.(1)求证：；(2)求数列an的通项公式.(2)“用二次”法求数列的通项，简单明了，这正好印证了“真理总是简单的”科学论断，也深刻揭示了数学的本质是简单的，让学生不怕数学.“用二次”很简单，但功能却很强大，即使

10、象2005年江苏卷第23题（压轴题）这样的难题，通过二次应用“用二次”也就攻克下来了.题目如下：题五：设数列的前项和为，已知，且，其中A、B为常数.（）求A与B的值；（）证明：数列为等差数列；（）证明：不等式对任何正整数都成立。(3) 在“由Sn求an”的问题中，有一个难点需要突破，否则做出的答案往往是错的.关于这个问题我们通过以下两个例子来说明：题六：（04浙江文）已知数列an的前n项和为Sn,（）求a1,a2；（）求证:数列an是等比数列题七：（05北京文）数列an的前n项和为Sn，且a1=1，n=1，2，3，求： （I）a2，a3，a4的值及数列an的通项公式； （II）a2+a4+a6

11、+a2n的值.应用“用二次”法，易从题六中得到：；从题七中得到：，由此得出数列是等比数列的结论，这一结论对题六是对的，对题七却是错的，问题出在哪里呢？就在n的取值范围上，由题意知，以上两个式子中的n都是大于等于2的正整数（这很容易忽视），此时题六中包含了a1，所以此时数列an是等比数列；而题七中的却不包含a1，此式只能说明数列an从第2项起是等比数列，所以对含a1的数列是否为等比数列还需要单独检验.突破这个难点的办法是在“用二次”的过程中把n的取值范围写在式子的后面，如：题六中-得2an=-an-1(n=2,3,4,)题七中（n=1，2，3，）（n=2,3,4,）-得3an+1=4an（n=2

12、,3,4,）以上对n的取值范围的忽视，其根源又是函数中的“定义域优先的原则”没有在学生心中扎根.随着学生对“累加法、叠乘法、迭代法、恒等变形法、用二次”等方法的掌握，学生求数列通项的本领大大增强，此时再向学生介绍一些具有特殊结构的递推式求通项的例子，更会让学生在求通项方面如鱼得水，如：结构为Sn=的式子，两边取倒数，把问题转变成等差数列；结构为an+1an=an-an+1的式子，两边同除于an+1an，把问题转变成等差数列；结构为an+1= an+1的式子，用待定系数法转化为等比数列问题求解；结构为an+1=2an+2n的式子，两边同除以2n+1转化为等差数列问题求解；结构为(n+1)an+1

13、2-nan2+an+1an=0的式子，通过因式分解进行转化，等等.学到这里，学生已经学到了不少知识与方法，解题能力也大大提高了，解题的自信心也增强了许多，是不是就功成名遂，到此为止呢？若果真如此，则尤如入宝山而空返. “由递推求通项”这部分内容由许多特殊的功能.我们都知道，每一部分数学内容在培养学生的素质方面是有不同的功能的，如立体几何主要是用来培养和发展学生的空间想象能力，函数的重点是培养学生联系的、运动的思辨能力，解析几何重点是培养学生数形结合思想和综合应用数学知识解决问题的能力，而数列的重点是培养学生归纳推理、类比推理和探索能力.我们知道综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法研究数学问题，

14、是一种非常重要的数学能力然而，能够充分进行上述研究方法训练的素材在高中数学里并非很多，而在探求数列通项公式，或研究数列特征的过程中却常常大量用到观察、归纳、类比、猜想、证明等思想方法，即是说观察、归纳、类比、猜想、证明等思想方法的组合运用在数列中能得到充分展示，这就为学生了解这些重要的思想方法各自的作用、相互间的关系并进行初步运用提供了条件，因此在教学中我们应该充分利用，切不可轻易放过四、在递推数列教学中培养学生类比思维能力数列中培养学生类比思维的素材很多，有知识方面的类比，如等差数列与等比数列的一系列性质的类比，还有思想方法上的类比，如：等量关系下的迭代法类比出不等关系下的迭代法； 等量关系

15、下的累加法类比出不等关系下的累加法； 等量关系下的等差关系类比出不等关系下的等差关系；等量关系下的等比关系类比出不等关系下的等比关系.题八：1.已知正项数列满足 （），且求证：2（05湖北理22）已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足.证明.这要在不等关系下类比等量关系的迭加法而形成证法题九：（2006年天津卷理科第21题）已知数列满足，并且（为非零参数，）当时，证明；证明：由已知及，可得由不等式的性质，有，另一方面，因此，故.这要在不等关系下类比等量关系的迭代而形成证法.值得注意的是，2006年浙江卷理科第20题（压轴题）：题十：已知函数f(x)x3+x2

16、，数列 xn （xn 0）的第一项x11，以后各项按如下方式取定：曲线yf(x)在处的切线与经过(0,0)和(xn,f(xn)两点的直线平行（如图）。求证：当n时： （ = 1 * ROMAN I）；（ = 2 * ROMAN II）.第二问证明：因为函数当时单调递增，而，所以，即因此又因为令则因为所以因此故其全过程用到的正是不等关系下的迭代法.我认为把等量关系下的递推关系类比到不等量关系中去，能达到以下几个目的：一是使由递推求通项的知识结构更加完善；二是使学生求解递推数列问题的能力上升到一个更高的层次；三是培养学生类比推理的能力；四是更深刻地揭示出数列中的数学思想和其本质.五、递推数列教学重

17、点是什么？难点在哪里？以上谈了许多求数列通项的方法，好象解决数列通项的本领已经很大，但一个小小的数列题就可能使我们感到沮丧，如：题十一：已知数列满足，求证：(n2,nN)若把前面所学的方法直接用上去的话却无济于事，这是不是说我们前面那些方法无效了呢？且慢，当我们把已知等式稍作变形便可得.再作变形又可得（n2），所以.由此可知题十二：（08安徽理21）设数列满足为实数.设，证明：; 证：设 ，当时，结论成立 当 时， ,由（1）知，所以 且 由题十一、题十二的解题过程不难看出，前面所学求数列通项的方法（包括不等关系下的递推）是有用的，但光懂这些又是不够的.这就向我们提出了一个新的问题，递推数列的

18、教学到底要教什么？重点是什么？分析题十一、题十二的解题过程我们不难看出，解决递推数列问题时并不一定要求出通项，只要知道递推数列中“项的特征”就可以了，如题十中的“和”，题十一中的“”.由此可见，求通项不应是递推数列教学的全部内容，甚至还不是主要内容，能通过直接求出通项而解决的问题往往不会使我们感到为难，大量的、有难度的问题都不是靠求出通项去解决，而是靠弄清数列“项的特征”后而解决的，因为数列“项”的特征清楚了，许多问题也就解决了.所以我们可以这样认为：递推数列教学的重点不是求通项，而是通过递推关系式确定数列“项”的特征，其中求通项公式只是确定数列“项”的特征的一种方法，它是解决递推数列基础.递

19、推数列教学的重点明确了，但从以上两例我们不难发现：确定数列“项”的特征这件事并不容易做好，其困难之处在哪儿呢？让我们再回到题十一、题十二上去，这两题的解题过程还可以给我们一些启示：为了研究数列“项”的特征，最关键的是要对递推式进行“恰当的变形”，这种变形包括等价变形，也包括不等价变形，如题十一中“由到”是等价变形，而题十二中“由到”是不等价变形.由于对递推式的变形（不管是等价变形还是不等价变形）没有固定的模式，如何变形不仅与条件式的结构有关，还也问题的形式有关，要实现条件与结论的联系需要用到观察、归纳、类比、猜想、推理等思想方法的综合应用，这就触及到了研究数学问题最根本的东西，也是最难的，因此这就构成了递推数列教学的难点.由于要突破这个难点所要用到的是学生“观察、归纳、类比、猜想、推理、计算、证明等思想方法的组合运用”，这正是学生综合数学素养的体现，也正是学生迁移能力和学