最新中考培优竞赛专题经典讲义（完整版）

1、最新中考培优竞赛专题经典讲义 第1讲 角平分线1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。定理的数学表示：如图，已知OE是AOB的平分线，F是OE上一点，若CFOA于点C，DFOB于点D，则CF =DF.逆定理：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上.角平分线除了简单的平分角以外，结合其它的条件，一般可产生以下三种常见模型！模型讲解模型1-BD平分ABC，且DCBC理由：角平分线的性质结论：DCB2DEB模型2一BD平分ABC，且CDBD理由：等腰三角形三线合一结论：BDCBDE模型3-BD平分ABC，AD/BC理由：平行线的性质结论：ABD为等腰三角形【例题讲解】例题1

2、、如图所示，在四边形ABCD中，DC/AB，DAB =90，ACBC，AC =BC，ABC的平分线交AD，AC于点E、F，则的值是_. 【分析】要求的值，一般来说不会直接把BF和EF都求出来，所以需要转化，当过点F作FGAB时，即可将转化为，又会出现模型1，所以这个辅助线与思路值得一试.【解答】解：如图，作FGAB于点GDAB-90，FG/AD， =ACBC，ACB =90又BF平分ABC，FG =FC在RtBGF和RtBCF中BGFBCF（HL），BC =BGAC =BC，CBA =45，AB =BC例题2、如图，D是ABC的BC边的中点，AE平分BAC，AECE于点E，且AB =10，AC

3、 =16，则DE的长度为_ 【分析】有AE平分BAC，且AEEC，套用模型2，即可解决该题.【解答】解：如图，延长CE，AB交于点F.AE平分BAC，AEECFAE =CAE，AEF =AEC =90在AFE和ACE中AFE ACE（ASA）AF =AC =16，EF =EC，BF =6又D是BC的中点，BD =CDDE是CBF的中位线DE =BF =3故答案为：3.例题3、如图所示，在ABC中，BC =6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，CBP的平分线交CE于Q，当CQ =CE时，EP+BP =_. 【分析】这里出现角平分线，又有平行，应该想到模型3，即可构

4、造出等腰三角形，结合相似模型，即可解出答案.【解答】解：如图，延长BQ交射线EF于点M.E、F分别是AB、AC的中点，EF/BCCBM =EMBBM平分ABC，ABM =CBMEMB =EBM，EB =EMEP +BP =EP +PM =EMCQ =CE，EQ =2CQ由EF/BC得，EMQCBQ【巩固练习】1、如图，AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM =ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便是AOB的平分线OC，做法用得到三角形全等的判定定方法是（ ）A.SAS B.SSS C.ASAD.HL （第1题）（第3题） （第4题）2、三角形中到

5、三边距离相等的点是（ ）A、三条边的垂直平分线的交点B、三条高的交点C、三条中线的交点D、三条角平分线的交点3、如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分ABC，CF平分BCD，BE、CF交于G.若使EF =AD，那么平行四边形ABCD应满足的条件是（ ）A.ABC =60B.AB:BC =1：4C.AB:BC =5：2 D.AB:BC =5：84、如图，ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC =10，则PQ的长为（ ）A.B.C.3D.45、如图，在ABC中，C =90，AC =BC，AD平分BAC交BC于点D

6、，DEAB于点E，若BDE的周长是5cm，则AB的长为 . （第5题） （第6题） （第7题）6、如图，已知OB、OC为ABC的角平分线，DEBC交AB、AC于D、E，ADE的周长为15，BC长为7，则ABC的周长为 .7、如图，在ABC中，点D在BC上，BM平分ABD，BMAD，N是AC的中点，连接MN，若AB =5，BC =8，则MN = .8、如图，ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CFAE于F，AB =5，AC =2，则DF的长为 .（第8题） （第9题）（第10题）9、如图，已知BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DEAB，DFAC，垂足分别为E、F，AB =6，AC =

7、3，则BE = .10、如图所示，在四边形ABCD中，AD/BC，CE是BCD的平分线，且CEAB，E为垂足，BE =2AE，若四边形AECD的面积为1，则四边形ABCD的面积为 .11、如图，在O的内接四边形ABCD中，AB =3，AD =5，BAD =60，点C为弧BD的中点，则AC的长是 . （第11题） （第12题）12、已知：如图，AD、BE分别是ABC的中线和角平分线，ADBE，AD =BE =6，则AC的长等于 .13、将弧BC沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD =8，DB =10，则BC的长是 .（第13题）14、如图，F，G是OA上两点，M，N是OB上两点，且FG =MN

8、，SPFG =SPMN，试问点P是否在AOB的平分线上？15、已知：在ABC中，B的平分线和外角ACE的平分线相交于D，DG/BC，交AC于F，交AB于G，求证：GF =BGCF. 16、在四边形ABCD中，ABC是钝角，ABC+ADC =180，对角线AC平分BAD. （1）求证：BC =CD；（2）若AB +AD =AC，求BCD的度数；17、如图，在ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC =a、AC =b、AB =c.（1）求线段BG的长；（2）求证：DG平分EDF.18、如图，BAMN，垂足为A，BA =4，点P是射线AN上的一个

9、动点（点P与点A不重合），BPC =BPA，BCBP，过点C作CDMN，垂足为D，设AP =x.CD的长度是否随着x的变化而变化？若变化，请用含x的代数式表示CD的长度；若不变化，请求出线段CD的长度.19、已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为0（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m-5，2）.（1）问：是否存在这样的m，使得在边BC上总存在点P，使OPA =90？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.（2）当AOC与OAB的平分线的交点Q在边BC上时，求m的值.20、我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”。如图1，四边形AB

10、CD即为“准等腰梯形”。其中B=C。（1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）；（2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD中B=C，E为边BC上一点，若AB/DE，AE/DC，求证：；（3）在由不平行于BC的直线AD截PBC所得的四边形ABCD中，BAD与ADC的平分线交于点E。若EB=EC，请问当点E在四边形ABCD内部时（即图3所示情形），四边形ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E不在四边形ABCD内部时，情况又将如何？写出你的结论。（不必说明理由）参考答案

11、答案：B答案：D答案：D答案：C答案：5cm答案：22答案：1.5答案：1.5答案：1.5答案：答案：答案：答案：14.解：过点P分别向OA、OB作垂线，SPFG=PGPE，SPMN=MNPH，FG =MNPH=PE点P在AOB的平分线上.15.证明：BD平分ABC，1 =2，DF/BC，2 =3，1=3，BF=DF.同理：DE=CE.EF =DFDF,EF =BFCE.16.解:(1)如图，过点C作CMAB，交AB的延长线于点M;作CNAD，垂足为N，AC平分DAB，CMCN又ABC +ADC180，MBC +ADC180 NDCMBC，在NDC与MBC中BC=DC(2)如图，延长AB到B，

12、使BBADAB+ADAC，ABAC由(1)知ADCBBC;在ADC与BBC中ADC EBC，故ADEC又AEAC，AEACEC故ABC为等边三角形，CAB60;BAD120，BCD360-180-12060即BCD6017.解：（1）BDG与四边形ACDG的周长相等，BD+BG+DGAC+CD+DG+AGD是BC的中点BDCDBG =AC +AGBG +(AC +AG)=AB +AC,BG =（AB +AC)=（b+c)(2)证明:点D.F分别是BC、AB的中点DFAC=b，BF=AB=c又FGBGBF =（b+c)-c =bDF=FGFDGFGD点D.E分别是BC、AC的中点，DBAB，ED

13、GFGD,FDGBDG,即DG平分EDF18.解：CD的长度不变理由如下:如图，延长CB和PA，记交点为点QBPC BPA，BCBPQBBC(等腰三角形“三合一的性质)BAMN，CDMMABCD，QAB QDCAB/CD=QB/QC=1/2CD2AB248即CD8;19.解：(1)存在.O(0，0)、A(5，0)、B(m，2)、C(m-5，2).OABC5，BCOA，以OA为直径作D，与直线BC分別交于点E.F则OEAOFA90，如图1作DGEF于G，连DB，则DBOD2.5，DG2，EG=GFDE=1.5E(1,2),F(4,2),当，即1m9时，边BC上总存在这样的点P，使OPA90;(2

14、)如图2，BCOA5，BCOA四边形OABC是平行四边形OCAB，AOC +OAB180，OQ平分AOC，AQ平分OAB，AOQ0.5AOC，OAQ0.5OAB，AOQ +OAQ90AQO90，以OA为直径作D，与直线BC分別交于点E.F，则OEAOFA90，点Q只能是点E或点F，当Q在F点时，OF、AF分别是AOC与OAB的平分线，BCOACFOFOAFOC，BFAFAOFAB，CFOC，BFAB而OCAB，CFBF，即F是BC的中点。而F点为(4，2)，此时m的值为6.5，当在E点时，同理可求得此时m的值为3.5，综上所述，m的值为3.5或6.5.20.解：（1）如图，过点D作DE/BC交

15、PB于点E，则四边形ABCD分割成一个等腰梯形BCDE和一个三角形ADE；（2），；，；，；.在ABE和DEC中，.（3）作EFAB于F，EGAD于G，BHCD于H，BFECHE90AE平分BAD，DE平分ADC，EF=EG=EH，在RtEFB和RtEHC中，BE=CE，EF= EH，RtEFBRtEHC(HL)34.BE=CE，1=2.1+32+4，即ABCDCB，四边形ABCD为AD截某三角形所得，且AD不平行BC，四边形ABCD是“准等腰梯形”。当点E不在四边形ABCD的内部时，有两种情况：如图，当点E在BC边上时，同理可以证明EFBEHC，BC，四边形ABCD是“准等腰梯形”当点B在四

16、边形ABCD的外部时，四边形ABCD不一定是“准等腰梯形”。分两种情况：情况一：当BED的角平分线与线段BC的垂直平分线重合时，四边形ABCD为“准等腰梯形”；情况二：当BED的角平分线与线段BC的垂直平分线相交时，四边形ABCD不是“准等腰梯形.第2讲 垂直平分线1.垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.PD为线段AB的垂直平分线，必然需要连接PA、PB，构造出等腰PAB，进而求解.逆定理：若PA=PB，则点P在AB的垂直平分线上.【例题讲解】例题1、如图，在ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC上.BD=CF，BE=CD，DGEF于点G，且EG=FG.

17、求证：AB=AC.【分析】可知GD为EF的垂直平分线，遇见垂直平分线，必然要将垂直平分线上的点与线段两端点连接【解答】解：连接DE、DF如右图所示在BDE和CFD中，.例题2、如图，在RtABC中，C=90，点D在BC上，点E在AB上，且DEAC，AE=5，DE=2，DC=3，动点P从点A出发，沿边AC以每秒2个单位长的速度向终点C运动，设运动时间为t秒。（1）线段AC的长= ；（2）在线段EA上有一点Q，满足ED=EQ，连接DQ、PE，当PEDQ时，求出t的值.【解答】（1）AC=6；（2）当PEDQ时，由于ED=EQ，易证PE垂直平分DQ，所以连接PD、PQ，只需使PD=PQ即可可知AP=

18、2t，所以PC=6-2t；CD=3，EQ=2，所以AQ=3，所以，所以在RtPCD中，PD2=32+（6-2t）2；在RtPQF中，PQ2=所以32+（6-2t）2=，解得.【总结】遇见垂直平分线，连接垂直平分线上的点与线段两端点是必然的！【最好方法】当PEDQ时，易证PE平分DEA，由【角平分线模型三】可知，平行+角平分线=等腰三角形，所以AEP为等腰三角形，所以AP=AE=5，即2t=5，t=.【巩固练习】1、三角形三条边的垂直平分线的交点是三角形的（ ）A.重心B.内心C.外心D.中心2、在AOB的内部有一点P，点P与P1关于OA对称，点P与P2关于BO对称，则OP1P2是（ ）A.等边

19、三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.钝角三角形当AOB满足什么条件时，OP1P2是等边三角形？3、如图，ABC中，AB，AC的垂直平分线交BC于D、E，（1）若BAC=100，则DAE= ；（2）若BAC=80，则DAE= ；（3）若DAE=10，则BAC= ；（4）若ABC的周长为20，ADE的周长为12，则AB+AC= ；（5）当AB=AC，且BAC=120，则ADE为何种特殊三角形？4、如图，等边ABC的边长为3，BO、CO分别为ABC、ACB的角平分线，BO、CO的垂直平分线交BC于E、F，则EF的长为 .5、如图，已知等腰ABC，AB=BC=5，AC=，在BC边上存在一点P，恰好在

20、线段AB的垂直平分线上，则BP的长为 .6、如图所示，已知AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，垂足分别是E，F.求证：AD垂直平分EF.7、ABC中，D为BC中点，DEBC，交BAC的平分线于点E，EFAB于F，EGAC于G.求证：BF=CG.8、如图，ABC中，点D在BC上，且AD的垂直平分线EF交BC延长线于点F，若FAC=B，求证：AD平分BAC.9、如图，在ABC中，AB=AC，D为三角形内一点，且DBC为等边三角形.（1）求证：直线AD垂直平分BC；（2）以AB为一边，在AB的右侧画等边ABE，连接DE，试判断以DA、DB、DE三条线段是否能构成直角三角形？请说明理由.10、

21、已知二次函数y=ax2+2ax+c的图象与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，若C（0，2），BC的垂直平分线过点A，求这个二次函数的关系式.11、如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P从点O出发沿OA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AO返回；点Q从A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当点P、Q运动时，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BO-OP于点E.点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止，设点P、Q运动的时间为t秒（t0）.（1）点Q的

22、坐标是（ ， ）（用含t的代数式表示）；（2）当t为何值时，直线DE经过点O.12、如图1，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点E是射线CD上的一个动点，把BCE沿BE折叠，点C的对应点为F.（1）若点F刚好落在线段AD的垂直平分线上时，求线段CE的长；（2）若点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，求线段CE的长；（3）当射线AF交线段CD于点G时，请直接写出CG的最大值 .13、如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（-3，0）、B（-1，0），与y轴相交于点C（0，3），点P是该图象上的动点，点Q的坐标为（4，0）.（1）求该二次函数的表达式；（2）当OP/CQ时，求点P的坐标；（3）点

23、M，N分别在线段AQ、CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动，同时，点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动，当点M，N中有一点到达Q点时，两点同时停止运动.设运动时间为t秒，当直线PQ垂直平分线段MN时，请求出此时t的值及点P的坐标.14、已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴交于点A（8，0）和B（一12，0），与y轴交于点C（0，6）.（1）求该抛物线的解析式；（2）点D在线段AB上且AD=AC，若动点M从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点N以某一速度从B出发沿线段BC匀速运动，问是否存在某一时刻t（秒），使线段MN被直线CD垂直平分？

24、若存在，请求出此时的时间t和点N的运动速度；若不存在，请说明理由；参考答案答案：B答案：B；AOB=30答案：（1）20；（2）20；（3）95；（4）8；（5）等边三角形.答案：1答案：证明：AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，DE=DF在RtADE和RtADF中，AD=AD，DE=DF，RtADERADF(HL)，AEAF，又DEDF，AD垂直平分EF(到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上)证明：如图，连接BE、BC，EDBC，D为BC中点BE= ECEFAB，EGAG，且AB平分FAGFE=EG在BFE和RtCGE中，BE=CE，EF=EG，RtBFERtCGE(H

25、L)，BF=CG.证明：EF是AD的垂直平分线，AF=DFEAFEDF，EAFFAC+CAD，EDFBAD+B，又FACBBADCAD，即AD平分BAC.答案：(1)DBC为等边三角形，DB=DC，D在BC的垂直平分线上ABAC，A在BC的垂直平分线上，直线AD垂直平分BC；(2)以DA，DB，DE三条线段能构成直角三角形；理由:连接CE，ABDABE-DBE=60-DBE=DBC-DBE=EBC，在EBC和ABD中，AB=EB，ABDEBC，DB=CB，EBCABD（SAS），BCEADB，ADCE.在ADB和ADC中，AD=AD，AB=AC，DB=DC，ADBADC（SSS），ADBADC

26、，ADB(360-BCD）150BCEBDA150，DCEBCE-BCD=150-60=90CEDA，DCDB，以DA，DB，DE三条线段能构成直角三角形.解：BC的垂直平分线过点A，,二次函数y=ax2+2ax+c的对称轴为，设，则，在RtAOC中，,即，解得或，当时，（舍去）；当时，,此时二次函数解析式为.答案：（1）；（2）四边形QBED能成为直角梯形。当0t3时，如图2，当DEQB时，DEPQ，PQQB，四边形QBED是直角梯形.此时AQP90.由APQABO得.解得；如图3，当PQBO时，DEPQ，DEBO，四边形QBED是直角梯形.此时APQ90.由AQPABO，得.即，解得；当3

27、t5时，AQt，APt-3，如图2，当DBQB时，DEPQ，PQQB，四边形QBED是直角梯形。此时AQP90.由APQABO，得.解得（舍去）；如图3，当PQBO时，DEPQ，DEBO，四边形QBED是直角梯形。此时APQ90。由AQPABO，得.即.解得(舍去)；综上所述:t或；(3)当t或时，DB经过点O.理由:如图4，当DE经过点O时，DB垂直平分PQ，EP=EQ=t,由于P与Q运动的时间和速度相同，AQEQEP，AEQEAQ，AEQ+BEQ90，EAQ+EBQ90,BEQEBQ，BQ=BQ,EQ=AQ=BQ=AB，；如图5，当P从A向O运动时，过点Q作QFOB于F，EP6-t，EQE

28、P6-t，, BQ=5-t, ，,，即，解得:.当DE经过点O时，t或.解：（1）如图，MN是线段AD的中垂线，作FHCD于H.在RtBFH中，设，在RtEFH中，因为，即.（2）如图，MN是线段AB的中垂线，设EF=CE=x，在RtBFM中，因为BMF90，BM2，BF=BC=3，MN=BC=3FN=，在RtEFN中，.（3）如图，欲求CG的最大值，只要求出DG的最小值即可，DGADtanGAD，所以GAD最小时，DG的值最小，BFBC，BF是定值，当BFAG时，BAF的值最大，即DAG的值最小，当BFAG时，易知点B与点G共点，设CGGFx，在RtABF中，AFB90，AB4，BF=BC=

29、3.,即AF=.在RtABF中，,即，.CG的最大值为4-.解：（1）设抛物线的解析式为:yax2+bx+c，抛物线经过点C(0，3)，C3把A(-3，0)、B(-1，0)代入yax2+bx+3中9a-3b+3=0，a-b+3=0，解得a=1，b=4.抛物线的解析式为:yx2+4x+3（2）设CQ的直线方程为ykx+b，将C(0，3)和Q(4，0)带入解得CQ的直线方程为-，OPCQ，直线OP的方程为y-，联立-和y-，解得-，-4，P的坐标为（-，）、（-4，3）；（3）过点作ND轴于点D，则NDOC，直线PQ能够垂直平分线段MN，则有QMQN，且PQMN，PQ平分AQC.由QMQN，得:7

30、-3t5-t，解得t=1.设P(x，x2+4x+3)，若直线PQMN，则:过P作直线PEx轴，垂足为E，则PEQMDN，,P()或（）.解：（1）抛物线yax2+bx+c(a0)与x轴交于点A(8，0)和B(-12，0)，可设抛物线的解析式为y=a(x-8)(x+12),又抛物线过点C(0，6)，6-96a，解得a-，抛物线的解析式为y=-(x-8)(x+12)=-，即该抛物线的解析式为y=-.（2）A(8,0),C(0,6),AC=,AD=AC=10，点D的坐标是(-2，0)B(-12,0),BD= AD.若CD垂直平分MN，则DNDM，NDCMDCACD，DNAC，BN=CNDN是ABC的

31、中位线，DN=,AM=t=5,而BN5VN，点N的运动速度是；（3）PCAPCB，A、B到PC的距离相等，PCABP、C关于抛物线y-的对称轴x-2对称，C(0,6),P(-4,6)tanPBQ，tanCBA，PBQCBA，PBQ-CBQCBA-CBQ，即PBQCBQ作PGBC于G，QHAB于H.,，tanPBC.设点Q的坐标为(x，-）tanQBAtanPBC，,解得或-12（舍去）故点Q的坐标是(）.第3讲 几何模型之双子型 模型讲解【双等边类型】 BCDACEABDACEBOECOF【双等腰直角类型】BCDACEBCEDCFABDACE【一般情况】基本条件:ABCEDC，连接AE、BD后

32、,有AECBDC，相似比为AC边与BC边之比。可见,上面几种有图形中有全等情况出现，只因图形中有边长相等。【例题讲解】例题1、(直接用双子)如图，直角坐标系中，点A的坐标为(1,0),以线段OA为边在第四象限内作等边AOB,点C为x正半轴上一动点(OC1),连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边CBD,直线DA交y轴于点E(1)OBC与ABD全等吗？判断并证明你的结论；(2)着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由解：全等理由：AOB和CBD是等边三角形，OBAB，OBAOAB60，BCBD，CBD60，OBAABCCBDABC，即OBC

33、ABD，在OBC和ABD中，OBCABD（SAS） 不变理由：OBCABD，BADBOC60，又OAB60，OAE180OABBAD60，RtOEA中，AE2OA2，OE，点E的位置不会发生变化，E的坐标为E（0，）例题2、如图,ABC和ADE都是等腰直角三角形,BACDAE90,ABAC2，O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值是为（）AEQ F(1,2) BEQ F(R(,2),2) C1 DEQ R(,2)解：设Q是AB的中点，连接DQ，BACDAE90，BACDACDAEDAC，即BADCAE，ABAC2，O为AC中点，AQAO，在AQD和

34、AOE中，AQDAOE（SAS），QDOE，点D在直线BC上运动，当QDBC时，QD最小，ABC是等腰直角三角形，B45，QDBC，QBD是等腰直角三角形，QDQB，QBAB1，QD，线段OE的最小值是为故选：B例题3、如图1，在RtABC中，B90,cosC EQ F(5,6),点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为当0360时EQ , F(AE,BD)的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明（图1） （图2）当0360时，的大小没有变化，ECDACB，ECADCB，又，ECADCB，；【巩固练习】如图所示，已知ABC和BDE均为等边三角形，连

35、接AD、CE，若BAD39,那么ACE_2.如图,ABC为等边三角形,AB2,点D为BC边上的动点,连接AD,以AD为一边向右作等边ADE,连接CE(1)在点D从点B运动到点C的过程中,点E运动的路径长为_;2)在点D的运动过程中,是否存在DEC60,若存在,求出BD的长,若不存在,请说明理由.(3)取AC中点P,连接PE,在点D的运动过程中,求PE的最小值.3.在锐角ABC中，AB4,BC5,ACB45,将ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到EQ ASDO(1)BCSDO(1)（1）如图1，当点EQ CSDO(1)在线段CA的延长线上时，求EQ CCSDO(1)ASDO(1)的度数；（2）如图

36、2，连接EQ AASDO(1),CCSDO(1)若EQ ABASDO(1)的面积为4，求EQ CBCSDO(1)的面积；图1 图24.【提出问题】（1）如图1，在等边ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边AMN,连结CN求证：BMCN【类比探究】（2）如图2，在等边ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变,(1)中结论BMCN还成立吗？请说明理由【拓展延伸】（3）如图3，在等腰ABC中，BABC,AB6,AC4，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰AMN,使顶角AMNABC连结CN试探究BM与CN

37、的数量关系，并说明理由图1 图2 图35.如图，正方形ABCD、BGFE边长分别为2、1，正方形BGFE绕点B旋转，直线AE、GC相交于点H（1）在正方形BGFE绕点B旋转过程中,AHC的大小是否始终为90,请说明理由；（2）连接DH、BH，在正方形BGFE绕点B旋转过程中，求DH的最大值； 备用图6.如图1，已知点A(0,3)和x轴上的动点C(m,0),AOB和BCD都是等边三角形（1）在C点运动的过程中，始终有两点的距离等于OC的长度，请将它找出来，并说明理由（2）如图2，将BCD沿CD翻折得ECD,当点C在x轴上运动时，设点E(x,y),请你用m来表示点E的坐标并求出点E运动时所在图象的

38、解析式（3）在C点运动的过程中，当EQ m R(,3)时，直接写出ABD是等腰三角形时E点的坐标图1 图2【旋转构造双子型】此类图的特点在于图形的不完整。一且补全图形,答案即可解出,而方法不仅仅是构造,亦可用旋转,构造与旋转本就可互相代替,但我们常常选用旋转来解决!不过本专题打算用构造的思路去解决!面转的方法读者可自行尝试,图是一样的！【例题讲解】例题4如图所示，在四边形ABCD中，AD3,CD2,ABCACBADC45,则BD的长为_解：作ADAD，ADAD，连接CD，DD，如图：BACCADDADCAD，即BADCAD，在BAD与CAD中，BADCAD（SAS），BDCD，DAD90，由勾

39、股定理得DD3，DDAADC90，由勾股定理得CD，BDCD故答案为：【杂说】若用旋转,只需将ADB绕点A顺时针旋转90,连接DD,再证明ADD是等腰直角三角形即可。例题5.如图，在ABC中,ABC60,ABEQ 2 R(,3),BC8，以AC为腰，点A为顶点作等腰ACD,且DAC120,则BD的长为_.解：以A为旋转中心，把BAC逆时针旋转120，得到EAD，连接BE，作APBE于P，则BAE120，ABAE，ABEAEB30，BPABcosABP3，AEB90，BE2BP6，在RtBED中，BD10，故答案为：10【巩固练习】1【问题探究】（1）如图1，锐角ABC中分别以AB、AC为边向外

40、作等腰ABE和等腰ACD,使AEAB,ADAC,BAECAD,连接BD,CE,试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB7cm,BC3cm,ABCACDADC45,求BD的长（3）如图3，在（2）的条件下，当ACD在线段AC的左侧时，求BD的长图1 图2 图32.(1)如图1，已知ABC,以AB、AC为边分别向ABC外作等边ABD和等边ACE,连接BE、CD，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并证明：BECD；（2）如图2，利用（1）中的方法解决如下问题：在四边形ABCD中，AD3,BD2,ABCACBADB45,求BD的长；（3）如

41、图3，四边形ABCD中,BAC90,ADBABC,tanEQ F(4,3),BD5,AD12，求BD的长图1 图2 图3参考答案1.解：ABC和BDE均为等边三角形，ABCDBE60，ABBC，BEBD，CBD60，ABDCBE120，在ABD和CBE中，ABDCBE，（SAS）AECADB，ADB180ABDBAD21，AEC21，ACE99，故答案为：992.解：(1)ABDACE可得BD=CE,E的运动路径的长即D的运动路径长，BC=2.(2)DEC60相当于AEC=ADB=120，即EDC=0,此时点D与点B重合.因此不存在.(3)ACE=60,当PECE时取最小值.PE=PCcos6

42、0=EQ F(1,2).3.解：（1）由旋转的性质可得：A1C1BACB45，BCBC1，CC1BC1CB45，CC1A1CC1BA1C1B454590（2）ABCA1BC1，BABA1，BCBC1，ABCA1BC1，ABCABC1A1BC1ABC1，ABA1CBC1，ABA1CBC1，SABA14，SCBC1；4.（1）证明：ABC、AMN是等边三角形，ABAC，AMAN，BACMAN60，BAMCAN，在BAM和CAN中，BAMCAN（SAS），ABCACN（2）解：结论ABCACN仍成立；理由如下：ABC、AMN是等边三角形，ABAC，AMAN，BACMAN60，BAMCAN，在BAM和

43、CAN中，BAMCAN（SAS），ABCACN（3）解：ABCACN；理由如下：BABC，MAMN，顶角ABCAMN，底角BACMAN，ABCAMN，又BAMBACMAC，CANMANMAC，BAMCAN，BAMCAN，ABCACN5.解：（1）是，理由如下：如图，由旋转知，ABECBG，在正方形ABCD，BGFE中，ABBC，BEBG，ADCBCDBADABC90，ABECBG，BAEBCG，记AH与BC的交点为点P，APBCPH，ABCBAEAPB180AHCBCGCPH180，AHCABC90，（2）DHDE+EG=BD=EQ 2R(,2)6.解：（1）连接AD，如图1所示A、D两点间的

44、距离始终等于OC的长度理由如下：AOB和BCD都是等边三角形，ABOB，BDBC，ABOCBD60，ABDABOOBD，OBCOBDDBC，ABDOBC在ABD和OBC中，有，ABDOBC（SAS），ADOC（2）过D作DFy轴于F，连接BE，如图2所示由（1）可知ABDOBC，ADOCm，DAFBAOBAD60（9060）30DFADsinDAFm，AFADcosDAFm，A（0，3），D（m，m3）将BCD沿CD翻折得ECD且BCD是等边三角形，四边形BCED是菱形，BE、CD互相平分AOB是等边三角形，且点O（0，0），点A（0，3），点B（，），E（m，m）m（m），点E在图形yx上运

45、动（3）点A（0，3），点B（，），点D（m，m3），AB3，ADm，BD，ABD为等腰三角形分三种情况：当ABAD时，有3m，此时点E的坐标为（，）；当ABBD时，有3，解得：m0（舍去），或m3，此时点E的坐标为（3，3）；当ADBD时，有m，解得：m（舍去）综上可知：在C点运动的过程中，当m时，ABD是等腰三角形时E点的坐标为（，）或（3，3）1.解：（1）BDCE理由是：BAECAD，BAEBACCADBAC，即EACBAD，在EAC和BAD中，EACBAD，BDCE；（2）如图2，在ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角BAE，使BAE90，AEAB，连接EA、EB、ECACDADC

46、45，ACAD，CAD90，BAEBACCADBAC，即EACBAD，在EAC和BAD中，EACBAD，BDCEAEAB7，BE7，ABEAEB45，又ABC45，ABCABE454590，EC，BDCE（3）如图3，在线段AC的右侧过点A作AEAB于点A，交BC的延长线于点E，连接BEAEAB，BAE90，又ABC45，EABC45，AEAB7，BE7，又ACDADC45，BAEDAC90，BAEBACDACBAC，即EACBAD，在EAC和BAD中，EACBAD，BDCE，BC3，BDCE（73）cm2.解：（1）如图1，分别以点A、B为圆心，以AB为半径画弧，交于点D，连接AD、BD，再

47、分别以A、C为圆心，以AC为半径画弧，交于点E，连接AE、CE，则ABD、ACE就是所求作的等边三角形；证明：如图1，ABD和ACE都是等边三角形，ADAB，ACAE，DABEAC60，DACBAE，DACBAE（SAS），BECD；（2）如图2，过A作AEAD，使ADAE3，连接DE、CE，由勾股定理得：DE3，EDA45，ADC45，EDCEDAADC90，ACBABC45，CAB90，CABDACEADDAC，即EACDAB，AEAD，ACAB，DABEAC（SAS），ECBD，在RtDCE中，EC，BDEC；（3）如图3，作直角三角形DAE，使得DAE90，DEAACB，连接EC，容易

48、得到DAEBAC，即，DAEBAC90，DAEDACBACDAC，即EACDAB，EACDAB，在DCE中，ADCACB，EDAABC，EDC90，AD12，AE9，DAE90，DE15，CE5，由EACDAB，BD第4讲 几何模型之“K”字型模型讲解直角型 锐角型 钝角型【例题讲解】 (直接“K”字型)例题1、 (1)问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点,DPCAB90,求证：ADBCAPBP;（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当DPCAB时，上述结论是否依然成立？说明理由（3）应用：请利用(1)(2)获得的经验解决问题：如图3，在ABD中，AB6,AD

49、BD5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足CPDA，设点P的运动时间为t（秒），当DC4BC时，求t的值解：（1）如图1，图1DPCAB90，ADPAPD90，BPCAPD90，ADPBPC，ADPBPC，ADBCAPBP；（2）结论ADBCAPBP仍然成立理由：如图2，图2BPDDPCBPC，BPDAADP，DPCBPCAADPDPCAB，BPCADP，ADPBPC，ADBCAPBP；（3）如图3，图3DC4BC，又ADBD5，DC4，BC1，由（1）、（2）的经验可知ADBCAPBP，51t（6t），解得：t11，t25，t的值为1秒或5秒例题2、如图,在

50、等边ABC中,将ABC沿着MN折叠。使点A落在边BC上的点D处。(1)若AB4,当BMD为直角三角形时,求AM的长。(2)当BD:CD1:3时,求AM:AN的值。解：(1)如图1，设BMk,AMDMEQ R(,3)k.可得方程kEQ R(,3)k4,得k22EQ R(,3),得AM2（3EQ R(,3)）.同理，如图2，可求得AM8EQ R(,3)12.(2)如图3，设BDm,CD3m,可得BDM与CDN的周长比即相似比为5：7.可得AM：ANDM：DN5：7.图1 图2 图3【巩固练习】1.如图，已知ABC和ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F,AB9,BD3，则CF等于（

51、）A1 B2 C3 D42.如图坐标系中，O(0，0)，A（6，6），B（12，0），将OAB沿直线线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，若OE，则CE：DE的值是_3.正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点,当M点在BC上运动时,保持AMMN.(1)设BMx,CNy,求y与x之间的函数关系式.(2)在点M,N运动的过程中,求CN的最小值.4如图，在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO为矩形，AB16，点D与点A关于y轴对称,tanACBEQ F(4,3),CDECAO,点E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E不与点A、D重合），且CEFA

52、CB（1）求AC的长和点D的坐标；（2）证明：AEFDCE;（3）当EFC为等腰三角形时，求点E的坐标5.如图等腰直角三角形ABC中，A90,P为BC的中点，小明拿着含45角的透明三角形，使45角的顶点落在点P，且绕P旋转（1）如图：当三角板的两边分别AB、AC交于E、F点时，试说明BPECFP（2）将三角板绕点P旋转到图，三角板两边分别交BA延长线和边AC于点EF探究1：BPE与CFP还相似吗？（只需写结论）探究2：连接EF,BPE与EFP是否相似？请说明理由图 图6.如图，一条抛物线经过原点和点C(8,0),A、B是该抛物线上的两点,ABx轴，OA5,AB2点E在线段OC上，作MENAOC

53、,使MEN的一边始终经过点A，另一边交线段BC于点F，连接AF（1）求抛物线的解析式；（2）当点F是BC的中点时，求点E的坐标；（3）当AEF是等腰三角形时，求点E的坐标7.【试题再现】如图1,RtABC中,ACB90,ACBC，直线l过点C，过点A、B分别作ADl于点D,BEl于点E，则DEADBE(不用证明）（1）【类比探究】如图2，在ABC中，ACBC，且ACBADCBEC100,上述结论是否成立？若成立，请说明理由：若不成立，请写出一个你认为正确的结论（2）【拓展延伸】如图3，在ABC中，ACnBC,且ACBADCBEC100,猜想线段DE、AD、BE之间有什么数量关系？并证明你的猜想

54、若图1的RtABC中,ACB90,ACnBC,并将直线l绕点C旋转一定角度后与斜边AB相交，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E，请在备用图上画出图形，并直接写出线段DE、AD、BE之间满足的一种数量关系（不要求写出证明过程）图1 图2 图3 备用图【例题讲解】(构造“K”字型)基本构造方法例题1.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为(4,8),将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E，那么点D的坐标为_.解：如图，过D作DFx轴于F，点B的坐标为（4，8），AO4，AB8，根据折叠可知：CDOA，而DAOE90，

55、DECAEO，CDEAOE，OEDE，OACD4，设OEx，那么CE8x，DEx，在RtDCE中，CE2DE2CD2，（8x）2x242，x3，又DFAF，DFEO，AEOADF，而ADAB8，AECE835，即，DF，AF，OF4，D的坐标为（，）故答案是：（，）例题2.如图，矩形ABCD中，AB2AD,点A(0,1),点C、D在反比例函数yEQ F(k,x)(k0)的图象上，AB与x轴的正半轴相交于点E，若E为AB的中点，则k的值为_解：如图，作DFy轴于F，过B点作x轴的平行线与过C点垂直与x轴的直线交于G，CG交x轴于K，作BHx轴于H，四边形ABCD是矩形，BAD90，DAFOAE9

56、0，AEOOAE90，DAFAEO，AB2AD，E为AB的中点，ADAE，在ADF和EAO中，ADFEAO（AAS），DFOA1，AFOE，D（1，k），AFk1，同理；AOEBHE，ADFCBG，BHBGDFOA1，EHCGOEAFk1，OK2（k1）12k1，CKk2C（2k1，k2），（2k1）（k2）1k，解得k1，k2，k10，k故答案是：例题3、如图,直线abc,a与b之间的距离为3,b与c之间的距离为6,a、b、c分别经过等边三角形ABC的三个顶点,则三角形的边长为_.简解：构造BDC=AEC=60，可得BCDCAE.可求得AC=2EQ R(,21).例题4、如图，抛物线yEQ

57、xSUP6(2)4x3与坐标轴交与A、B、C三点，点M在线段BC上，将线段OM绕O点逆时针旋转90,点M的对应点N恰好落在第一象限的抛物线上，求N点的坐标简解：A（1，0），B（3，0），C（0，3）.直线BC：yx3.设M（t，t3）.则N（3t，t）.代入函数关系式可求得t0或1.得N（2，1）.【巩固练习】1、如图，直线l1l2l3，等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，ACB90，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则ABC的面积为_.2如图，边长为EQ F(5,4)的正方形ABCD的顶点A在y轴上，顶点D在反比例函数yEQ F

58、(k,x)(x0)的图象上，已知点B的坐标是EQ bbc(l( F(3,4), F(9,4),则k的值为（）AEQ F(27,16) BEQ F(27,8) C4 D6 3.如图，AB4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BEEQ F(1,2)DB,作EFDE并截取EFDE，连结AF并延长交射线BM于点C设BEx,BCy，则y关于x的函数解析式是（） AyEQ F(12x,x4) ByEQ F(2x,x1) CyEQ F(3x,x1) DyEQ F(8x,x4)4如图，在矩形AOBC中，点A的坐标(2,1),点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（）AEQ

59、bbc(l( F(7,4), F(7,2)、EQ bbc(l( F(1,2),4) BEQ bbc(l( F(3,2),3)、EQ bbc(l( F(2,3),4) CEQ bbc(l( F(3,2),3)、EQ bbc(l( F(1,2),4) DEQ bbc(l( F(7,4), F(7,2)、EQ bbc(l( F(2,3),4) 5如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB所在直线的解析式为ykx2,顶点C、D在反比例函数yEQ F(m,x)(m0)的图象上，若tanADB2则点D的坐标为_ 6、已知抛物线ymx23mx4m与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，当

60、ACB90时，（1）求抛物线解析式；（2）当抛物线开口向下时，在第一象限的抛物线上有一点P，横坐标为a，当BPC90时，求a的值.7.若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线EQ CSDO(1)：EQ ySDO(1)EQ 2xSUP6(2)4x2与EQ CSDO(2)：EQ ySDO(2)EQ xSUP6(2)mxn为“友好抛物线”（1）求抛物线EQ CSDO(2)的解析式（2）点A是抛物线EQ CSDO(2)上在第一象限的动点，过A作AQx轴，Q为垂足，求AQOQ的最大值（3）设抛物线EQ CSDO(2)的顶点为C，点B的坐标为(1,4),问在EQ CSDO(2)的对称轴上是