高中数学选修2-2教学设计9：2.2.1综合法和分析法教案

1、高中数学选修2-2教学设计 2.2.1综合法和分析法教学目标：1 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；2通过本节内容的学习了解分析法和综合法的思考过程、特点；3增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度教学重点：分析法和综合法的思考过程；教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点.教学过程设计、情景引入，激发兴趣教师引入合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明本节我们将学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明、探究新知，揭示概念探究一：

2、在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论例如：已知 a, b0,求证 a(b2 c2) b(c2 a2) 4abc 教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明教师最后归结证明方法学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法证明：因为b2 c2 2bc,a 0 ,所以 a(b2 c2) 2abc 因为 c2 a2 2ac,b 0 ,所以 b(c2 a2) 2abc I I 2 2 2 2因此 a(b C ) b(c a ) 4abc 一般地，禾U用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导

3、 出所要证明的结论成立，这种方法叫做综合法探究二：证明数学命题时，还经常从要证的结论Q出发，反推回去，寻求保证 Q成立的条件，即使 Q成立的充分条件 Pi,为了证明Pi成立，再去寻求 Pi成立的充分条件 P2，为 了证明P2成立，再去寻求 P2成立的充分条件P3,直到找到一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.例如：基本不等式要证a b2 ab（a0, b0）的证明就用了上述方法a b2一 ab ,只需证a b2 . ab只需证a b2 ab0,只需证(a.b)20由于 C.a .b)20显然成立，因此原不等式成立 .一般地，从要证明的结论出发， 逐步寻求使它成立的充分条件，直

4、至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止这种方法叫做分析法（三）、分析归纳，抽象概括用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示要证明的结论，则综合法可表示为：PQi（QiQ2）Q2Q3.QnQ综合法的特点是：由因导果，即由已知条件出发，禾U用已知的数学定理、性质和公式，推出 结论的一种证明方法.分析法可表示为：QP（P PD （Pni PI）PIP分析法的特点是：执果索因（四）、知识应用，深化理解例1在ABC中，三个内角A, B,C的对边分别为a,b,c ,且A, B, C成等差数列，a,b,C 成等比数列，求证KBC为等边三角形.分析：将

5、A，B，C成等差数列，转化为符号语言就是 2B =A + C ； A，B，C为ABC 的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A + B + C = a， b，C成等比数列，转化为符号语言就是b2 ac 此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边可以用余弦定理为工之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求于是,具进行证明.证明：由A, B, C成等差数列，有2B=A + C .因为A, B, C为ABC的内角，所以A + B + C= .由，得B=I.由a, b, C成等比数列，有b2 ac.由余弦定理及,可得b22C 2accosB2C ac .再由，得a2c2 a

6、c ac .(a c)20,因此A=C.从而 由，得冗A=B=C=3.所以AABC为等边三角形.注：解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语 言转换成图形语言等.还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来.例2 求证 372 5 .分析：从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件 证明：因为 3 .7和25都是正数，所以为了证明“3 : 72：.?5 ,只需明(.3.7)2(2. 5)2,展开得10 2.21 20 ,只需证4215 ,因为2125成立，所以(、3、.7)2(2.5)2成立.在本例中，如果我们从

7、“ 21 25”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论但由于我们很难想到从“ 2125入手，所以用综合法比较困难 事实上，在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ;根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立下面来看一个例子例4 已知， k -(k Z),且2 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark47 o Current Document Sin COS 2sin HYPERLINK l bookmark49 o Current Document Sin co

8、ssin2求证：2 21 tan1 tan1 tan22(1 tan2 ) .分析：比较已知条件和结论，发现结论中没有出现角，因此第一步工作可以从已知条件中消去观察已知条件的结构特点，发现其中蕴含数量关系 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark51 o Current Document (Sin cos )2 2sin cos 1，于是，由2一 2得4sin22sin 21 把4si n22s in21与结论相比较，发现角相同，但函数名称不同，于是尝试转化结论:统一函数名称，即把正切函数化为正(余)弦函数把结论转化为2CoS2Sinz2(COS22Sin),再与4sin2sin 21比较，发现只要把2 cos2Sin1 2 (COS22Sin）中的角的余弦转化为正弦,就能达到目的证明：因为（SinCoS )2si nCoS1 ,所以将代入，可得2 24s in2si n1.另一方面，要证1 tan21 tan21 tan22(12