第18章专项.阶段强化专训

1、专训 1.巧用勾股定理求最短路径的长名师点金：求最短距离的问题，第一种是通过计算比较解最短问题；第二种是平面图形，将分散的条件通过几何变换 平移或轴对称 进行集中，然后借助勾股定理解决；第三种是图形，将图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程 距离 用计算法求平面中最短问题1如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人从A 走到B，为了避免拐角C 走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了步路(假设 2 步为 1 m)，却踩伤了花草(第 1 题)城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往2听说“从黄石 A 坐客车到武昌客运站

2、 B，现在可以在黄石 A 坐“城际列车”到武汉青山站C，再从青山站 C 坐市内公共汽车到武昌客运站 B.设 AB80 km，BC20 km，ABC120.请你帮助解决以下问题：求A，C 之间的距离(参考数据 214.6)若客车的平均速度是 60 km/h，市内的公共汽车的平均速度为 40 km/h， “城际列车”的平均速度为 180 km/h，为了在最短时间内到达武昌客运站，应选择哪种乘车方案？请说明理由(不计候车时间)(第 2 题)用平移法求平面中最短问题3如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是 50 cm，30 cm，10 cm，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一

3、只壁虎，它想到B 点去吃可口的食物，请你想，这只壁虎从 A 点出发，沿着台阶面爬到 B 点，至少需爬()A13 cmB40 cmC130 cmD169 cm(第 3 题)(第 4 题)4如图，已知BCDE90，且 ABCD3，BC4，DEEF2，则 AF 的长是用对称法求平面中最短问题5如图，在正方形 ABCD 中，AB 边上有一点 E，AE3，EB1，在 AC上有一点P，使EPBP 最短，求EPBP 的最短长度(第 5 题)6高速公路的同一侧有 A、B 两城镇，如图，它们到高速公路所在直线 MN的距离分别为 AA2 km，BB4 km，AB8 km.要在高速公A、B之间建一个出口P，使A、B

4、 两城镇到P 的距离之和最小求这个最短距离(第 6 题)用展开法求图形中最短问题类型 1圆柱中的最短问题(第 7 题)27如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为 2，AB，CD 分别是两底面的直径若一只小虫从 A 点出发，沿圆柱侧面爬行到 C 点，则小虫爬行的最短路线的长度是(结果保留根号)类型 2圆锥中的最短问题8已知：如图，观察图形回答下面的问题：此图形的名称为请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿 AS 剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个如果点 C 是 SA 的中点，在 A 处有一只蜗牛，在 C 处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿 AC 爬到 C 处，只能沿此侧面展开图中画出

5、蜗牛爬行的最短路线吗？图形的表面爬行，你能在(4)SA 的长为 10，侧面展开图的圆心角为 90，请你求出蜗牛爬行的最短路程(第 8 题)类型 3正方体中的最短问题9如图，一个正方体木柜放在墙角处(与蚂蚁从柜角A 处沿着木柜表面爬到柜角 C1 处和地面均没有缝隙)，有一只请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；当正方体木柜的棱长为 4 时，求蚂蚁爬过的最短路径的长(第 9 题)类型 4长方体中的最短问题10如图，长方体盒子的长、宽、高分别是 12 cm，8 cm，30 cm，在 AB 的中点 C 处有一滴蜜糖，一只小虫从 E 处沿盒子表面爬到 C 处去吃，求小虫爬行

6、的最短路程(第 10 题)专训 2.巧用勾股定理解折叠问题名师点金：折叠图形的主要特征是折叠前后的两个图形绕着折线翻折能够完全重合，解答折叠问题就是巧用轴对称及全等的性质解答折叠中的变化规律利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤：(1)运用折叠图形的性质找出相等的线段或角；(2)在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一线段的长为x，将此直角三角形的三边长用数或含有x 的代数式表示出来；(3)利用勾股定理列方程求出x；(4)进行相关计算解决问题巧用全等法求折叠中线段的长1(中考泰安)如图是一直角三角形纸片，A30，BC4 cm，将其折叠，使点C 落在斜边上的点 C处，折痕为 BD，如图，再将图沿

7、 DE 折叠，使点A 落在DC的延长线上的点 A处，如图，则折痕 DE 的长为()(第 1 题)8A.3 cmC2B23 cm2 cmD3 cm巧用对称法求折叠中图形的面积，将长方形 ABCD 沿直线 BD 折叠，使点 C 落在点 C处，BC2交 AD 于E，AD8，AB4，求BED 的面积(第 2 题)巧用方程求折叠中线段的长3(中考东莞)如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 中，E 是边 CD 的中点，将ADE 沿 AE 对折至AFE，延长 EF 交BC 于点G，连接 AG.求证：ABGAFG；求 BG 的长(第 3 题)巧用折叠探究线段之间的数量关系4如图，将长方形 ABCD 沿直线

8、EF 折叠，使点 C 与点 A 重合，折痕交AD 于点E，交 BC 于点F，连接 CE. (1)求证：AEAFCECF；(2)设 AEa，EDb，DCc，请写出一个 a，b，c 三者之间的数量关系式(第 4 题)专训 3.利用勾股定理解题的 6 种常见题型名师点金：勾股定理建立起了“数”与“形”的完美结合，应用勾股定理可以解与直角三角形有关的计算问题，证明含有平方关系的几何问题，作长为 n(n 为正整数 的线段，解决实际应用问题及专训一、专训二中的最短问题、折叠问题等，在解决过程中往往利用勾股定理列方程 组 ，有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化斜为直来解决问题利用勾股定理求线段长1，在等

9、腰直角三角形ABC 中，ABC90，点 D 为AC 边的中点，过D 点作 DEDF，交 AB 于E，交 BC 于F，若 AE4，FC3，求 EF的长(第 1 题)利用勾股定理作长为 n的线段2已知线段a，作长为 13a 的线段时，只要分别以长为和的线段为直角边作直角三角形，则这个直角三角形的斜边长就为 13a.利用勾股定理证明线段相等D22AB2CD2.3如图，在四边形ABFC 中，ABC90，C求证：ABBC.(第 3 题)利用勾股定理直角三角形问题4如图，在ABC 中，C60，AB14，AC10.求 BC 的长(第 4 题)利用勾股定理解实际生活中的应用5在某段限速公路 BC 上(公路视为

10、直线)，交通管理部门规定汽车的最高行50过 60 km/h即 3 m/s，并在离该公路 100 m 处设置了一个监测点驶速度A.在如图的平面直角坐标系中，点 A 位于 y 轴上，测速路段 BC 在x 轴上，点 B在点A 的北偏西 60方向上，点 C 在点A 的北偏东 45方向上另外一条公路在 y 轴上，AO 为其中的一段求点B 和点 C 的坐标；一辆汽车从点B 匀速行驶到点 C 所用的时间是 15 s，通过计算，判断该汽车在这段限速是否超速(参考数据： 31.7)(第 5 题)利用勾股定理探究动点问题6如图，在 RtABC 中，ACB90，AB5 cm，AC3 cm，动点 P从点B 出发沿射线

11、BC 以 1 cm/s 的速度移动，设运动的时间为t 秒求 BC 边的长；当ABP 为直角三角形时，借助图求t 的值；当ABP 为等腰三角形时，借助图求t 的值(第 6 题)专训114(第 2 题)2解：(1)如图，过点C 作AB 的垂线，交 AB 的延长线于点E.ABC120，BCE30.在 RtCBE 中，BC20 km，BE10 km.CE103 km.由勾股定理在 RtACE 中，AC2AE2CE2(ABBE)2CE28 1003008 400，AC2021204.692(km)t18011(h)，乘(2)选择乘“城际列车”理由如下：乘客车需时间603201城际列车”需时间t2 92

12、1(h)“18040901113190，选择乘“城际列车”3C点拨：将台阶面展开，连接 AB，如图，线段 AB 即为壁虎所爬的最短路线因为 BC303103120(cm)，AC50 cm，在 RtABC 中，根据勾股定理，得 AB2AC2BC216 900，所以 AB130 cm.所以壁虎至少爬行130 cm.(第 3 题)(第 5 题)410解：如图，连接 BD 交AC 于O，连接ED 与 AC 交于点P，连接 BP.BDAC，且 BOOD，BPPD，则 BPEPED，此时最短AE3，AD134，由勾股定理得ED2AE2AD232422552，EDBPEP5.解：作点 B 关于 MN 的对称

13、点 C，连接 AC 交 MN 于点 P，则点P 即为所建的出口此时 A、B 两城镇到出口P 的距离之和最小，最短距离为 AC 的长作 ADBB于点 D，在 RtADC 中，ADAB8 km，DC6 km.ACAD2DC210 km，这个最短距离为 10 km.(第 6 题)(第 7 题)722点拨：将圆柱体的侧面沿 AD 剪开并铺平得长方形 AADD，连21接 AC，如图线段 AC 就是小虫爬行的最短路线根据题意得 AB222.在 RtABC 中，由勾股定理，得 AC2AB2BC222228，AC 822.8解：(1)圆锥(2)扇形(3)把此图形的侧面展开，AC 为蜗牛爬行的最短路线(4)在

14、RtASC 中，由勾股定理，得 AC210252125，AC 12555.故蜗牛爬行的最短路程为 55.(第 8 题)(第 9 题)9解：(1)蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC1 和AC1.42（44）24(2)如图，AC15.（44）2424AC15.所以蚂蚁爬过的最短路径的长是 45.10解：分为三种情况：1(1)如图，连接 EC，在 RtEBC 中，EB12820(cm)，BC23015(cm)(第 10 题)由勾股定理，得EC 20215225(cm) (2)如图，连接EC.根据勾股定理同理可求 CE 673 cm25 cm.(3)如图，连接EC.根据勾股定理同理可求 CE

15、 122（30815）2 2 953(cm)25 cm.综上可知，小虫爬行的最短路程是 25 cm.专训21A2解：由题意ADBC，23.BCD 与BCD 关于直线BD 对称，12.13.EBED.设EBx，则EDx，AEADED8x.在 RtABE 中，AB2AE2BE2，42(8x)2x2.x5.1DEAB1DE5.SBED225410.3(1)证明：在正方形ABCD 中，ADAB，DB90.将ADE 沿 AE 对折至AFE，ADAF，DEEF，DAFE90.ABAF，BAFG90.又AGAG，RtABGRtAFG(HL)(2)解：ABGAFG，BGFG.设 BGFGx，则 GC6x，E

16、为 CD 的中点，CEDEEF3，EG3x.在 RtCEG 中，32(6x)2(3x)2，解得x2.BG2.4(1)证明：由题意知，AFCF，AECE，AFECFE，又四边形 ABCD是长方形，故 ADBC，AEFCFE.AFEAEF.AEAFECCF.(2)解：由题意知，AEECa，EDb，DCc，由D90知，ED2DC2CE2，即b2c2a2.专训3(第 1 题)1解：如图，连接 BD.等腰直角三角形 ABC 中，点 D 为AC 边的中点，BDAC，BD 平分ABC(等腰三角形三线合一)，ABDCBD45，又C45，ABDCBDC.BDCD.DEDF，BDAC，FDCBDFEDBBDF.F

17、DCEDB.在EDB 与FDC 中，EBDC，BDCD，EDBFDC(ASA)，EDBFDC，BEFC3.AB7，则 BC7.BF4.在 RtEBF 中，EF2BE2BF2324225，EF5.22a；3a证明：CDAD，ADC90，即ADC 是直角三角形由勾股定理，得 AD2CD2AC2.又AD22AB2CD2，AD2CD22AB2.AC22AB2.ABC90，ABC 是直角三角形由勾股定理，得 AB2BC2AC2，AB2BC22AB2，故 BC2AB2，即 ABBC.方法总结：当已知条件中有线段的平方关系时，应选择用勾股定理证明，应用勾股定理证明两条线段相等的一般步骤：找出图中证明结论所要

18、用到的直角三角形；根据勾股定理写出三边长的平方关系；联系已知，等量代换，求之即可解：如图，过点A 作 ADBC 于点 D.ADC90.又C60，CAD90C30，(第 4 题)1AC5.CD2在 RtACD 中，AD AC2CD2 1025253.在 RtABD 中，BD AB2AD211.BCBDCD11516.方法总结：利用勾股定理求非直角三角形中线段的长的方法：作三角形一边上的高，将其转化为两个直角三角形，然后利用勾股定理并结合条件，采用推理或列方程的方法解决问题5解：(1)在 RtAOB 中，BAO60，ABO30，OA12AB.OA100 m，AB200 m.由勾股定理，得 OB AB2OA2 200210021003(m)在 RtAOC 中，CAO45，OCAOAC45.OCOA100 mB(1003，0)，C(100，0)100310050(2)BCBOCO(1003100)m，18 3 ，15这辆汽车超速了6解：(1)在 RtABC 中，BC2AB2AC2523216，BC4 cm.(2)由题意知 BPt cm，如图，当APB 为直角时，点 P 与点C 重合，BPBC4 cm，即 t4；