第七章第四节欧氏空间

1、第四节 欧氏空间一 欧氏空间的基本概念 在解析几何中, 向量的长度与两个向量的夹角用内积可以这样表示 其中|表示向量的长度, , 表示两个向量的夹角. 在通常的二维与三维向量空间中, 向量的内积满足以下性质:向量内积的性质当且仅当=0时, (, )=0.在一般的线性空间中, 我们作如下推广:定义 设V是实数域上的一个线性空间, 对V中任意两个元素, , 都确定一个实数(, ), 满足上述性质, 称(, )为与的内积.定义 定义了内积的实数域上的线性空间称为欧氏空间.例1 在通常的三维向量空间R3中, 定义内积使R3成为一个欧氏空间.例2 在n维向量空间Rn中, 对向量=(a1, a2, , a

2、n), =(b1, b2, , bn), 定义内积当, 给定后, 数(, )按以上定义唯一确定.有3. 如果=(c1, c2, , cn), +=(a1+b1, a2+b2, , an+bn), 则当且仅当ai=0(i=1, 2, , n)时, (, )=0.因此, 由定义的内积构成一个欧氏空间Rn.例3 在线性空间Ca, b中, 对任意两个函数f(x), g(x), 定义内积也构成一个欧氏空间.二 度量矩阵与标准正交基 对n维线性空间V, 我们知道任何一个元素都可由其基底线性表出, 要定义内积使其成为欧氏空间, 只用定义基底间的内积即可.设1, 2, , n是V的一组基底, 且对V中任意两个

3、元素利用内积的性质, 有类似于二次型的表达式令并设, 在基底1, 2, , n下的坐标列向量为则 矩阵A称为欧氏空间在基底1, 2, , n下的度量矩阵. 显然度量矩阵是对称矩阵, 并且对任意非零向量, 有说明度量矩阵A是正定矩阵. 利用以上讨论, 对线性空间V的任何一组基底, 确定度量矩阵A之后, 任何两个元素的内积就可通过其坐标按(*)来计算. 这样内积完全由度量矩阵确定.问题: 向量空间中基底不是唯一的, 每一基底有一个度量矩阵, 若基底改变, 度量矩阵又有什么改变? 定理4.1 欧氏空间中两组不同基底下的度量矩阵是合同的.证明 设欧氏空间V对于基底1, 2, , n的度量矩阵为A, 对

4、于基底1, 2, , n的度量矩阵为B, 并设由基底1, 2, , n到基底1, 2, , n的过渡矩阵为P, 即得坐标变换公式其中x, y为V中任意元素, 在基底1, 2, , n下的坐标列向量; x1, y1为, 在基底1, 2, , n下的坐标列向量. 则有而因此B=PAP.即不同基底下的度量矩阵是合同的.新问题: 什么样的基底所对应的度量矩阵最简单.度量矩阵是正定矩阵, 而正定矩阵合同于单位矩阵, 因此在欧氏空间中一定存在满足关系式的一组基底1, 2, , n, 其度量矩阵是单位矩阵, 即于是满足上式的基底1, 2, , n称为标准正交基.这样当元素, 在标准正交基下的坐标列向量为x和

5、y时, 有例2中Rn中的内积即如此定义, 也称标准内积. 在欧氏空间中一定存在标准正交基, 这样可以利用施密特正交化方法将一组基标准正交化. 对欧氏空间中的基1, 2, , n, 按以下做法可得一组标准正交基:1, 2, , n便是正交基, 单位化得1, 2, , n是标准正交基.例4 在四维欧氏空间R4中定义内积在R4中给定一组基底: 1=(1, 1, 0, 0), 2=(1, 0, 1, 0), 3=(1, 0, 1, 0), 4=(1, 1, 1, 1). 求R4中一组标准正交基.解= (1, 1, 1, 1)于是1, 2, 3, 4便是所求的标准正交基. 一组标准正交基到另一组标准正交

6、基的过渡矩阵也与普通的过渡矩阵不同.定理4.2 (1) 由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵.(2) 如果两组基间的过渡矩阵是正交矩阵, 那么从其中一组基是标准正交基可推出另一组基也是标准正交基.证明 设1, 2, , n及1, 2, , n是欧氏空间V中两组标准正交基. 并设由1, 2, , n到1, 2, , n的过渡矩阵为P.(1) 由1, 2, , n及1, 2, , n是标准正交基, 因此它们的度量矩阵都是单位矩阵. 又因为1, 2, , n到1, 2, , n的过渡矩阵为P, 由定理4.1得E = PEP = PP所以P是正交矩阵.(2) 设P是正交矩阵. 如果1, 2, , n是一组标准正交基, 则其度量矩阵为E, 于是1, 2, , n的度量矩阵为PEP = PP=E所以1, 2, , n也是标准正交基.由于由1, 2, , n到1, 2, , n的过渡矩阵P-1正交矩阵. 因此当1, 2, , n是标准正交基时, 1, 2, , n也是一组标准正交基, 欧氏空间内容归纳欧氏空间V中的一组基1, 2, , n下的度量矩阵为: 设, 在基底