两直线的平行与垂直的条件

1、复习引入:直线名称已知条件直线方程使用范围示意图点斜式匕(气,y1), ky y1 = k (x x1)治在斜截式k， by = kx + b治在两点式(气,y1)(x2, y2)y y1 = x x1 y 2 y1x2 x1x1 丰 x 2, y1 丰 y 2截距式a, bx y 1一 + 土 = 1 a ba 0, b 0一般式A、B、C e RAx + By + C = 0A 2 + B 2 丰 0特殊情况下的两直线平行与垂直.当两条直线中有一条直线没有斜率时：当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90，互相平行；当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90，另一条直线的倾

2、斜角为0,两直线互相垂直斜率存在时两直线的平行与垂直.设直线11和12的斜率为匕和k2，它们的方程分别是：l : y = k x + b ； l : y = k x + b . TOC o 1-5 h z 111222两直线的平行与垂直是由两直线的方向来决定的，两直线的方向又是由直线的倾斜角与斜率决定的，所以我们下面要解决的问题是两平行与垂直的直线它们的斜率有什么特征y I ,两条直线平行(不重合)的情形.L1 l 如图，从位置关系、倾斜角、斜率的定义、正切函数的性质分析，得以下结，.2论：. a1a2两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如Cx果它们的斜率相等，则它

3、们平行，即l /1 o k = k且b丰b 121212要注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提， 结论并不存立.例 1 两条直线 11: 2x 4y + 7 = 0， 12: x 2y + 5 = 0 .求证：11 12例2求过点A(1,4)且与直线2x + 3y + 5 = 0平行的直线方程.(两种方法)注意：解法一求直线方程的方法是通法，必须掌握；解法二是常常采用的解题技巧。一般地，直线Ax + By + C = 0中系数A、B确定直线的斜率，因此，与直线仙+ By + C = 0平行的直线方程可设为Ax + By + A = 0(X C)，其中人待定(

4、直线系)例3求与直线2x + 3y + 5 = 0平行，且在两坐标轴上的截距之和为5的直线的方程.6两条直线垂直的情形:斜率分别是匕和则直线的位置关系如上三种：设直线和挪倾斜角分别是气,以2，分别用倾斜角的关系及向量的关系推导，得以下结论：两条直线都有斜率，如果 它们互相垂直，则它们的斜率 互为负倒数；反之，如果它们 的斜率互为负倒数，则它们互 相垂直，即l l = k = - = k k 121 k1 22要注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提， 结论并不存立.例 4 已知直线(a + 2)x + (1 - a)y 一 3 = 0 与(a -1)x + (

5、2a + 3)y + 2 = 0 互相垂直，求 a的值.例5求过点A(2,1)，且与直线2x + y -10 = 0垂直的直线l的方程.注意：解法一求直线方程的方法是通法，必须掌握；解法二是常常采用的解题技巧：一般地，由于与直线Ax + By + C = 0垂直的直线的斜率互为负倒数，故可得其方程为Bx - Ay + X = 0，这是常常用到的解题技 巧(直线系方程)思考1：已知直线l 、 l的方程为l : Ax + B y + C = 0， l :1211112A x + B y + C = 0( ABC。0, ABC。0) TOC o 1-5 h z 2221 112 22求证：l / l的充要条件是A = 当。912A2B2C 2思考2：已知直线l和l的一般式方程为l : Ax + By + C = 0 , l : A x + B y + C = 0 ,1211112222则 l l 0 AA + BB = 0121 21 2思考3：已知直线l、l的方程为l : A x + B y + C = 0 , l :1211112A x + B y + C = 0( ABC 丰 0, ABC 丰 0)2221 1 1222当直线,l2不平行时，则它们的交点如何去求？ 思考4：在同一平面内有两点A ( x , y ), B (