系统可靠性课件：第六章 可修复系统可靠性

1、第六章 可修复系统可靠性第一节 维修及其数量指标 第二节 马尔柯夫过程第三节 串联可修系统第四节 并联可修系统 第五节 可修复系统 第六节 串并联可修系统 第七节 柔性连接系统可靠性第八节 实例研究 习题第一节 维修及其数量指标 一、维修性特征量 1维修度M（t）维修度（Maintainability）是指在规定的条件下使用的可维修产品，在规定的时间内，按规定的程序和方法进行维修时，保持或恢复到能完成规定功能的概率，记为M（t）。 M（t）P（Yt） （6-1） 2维修密度函数m（t） 如果维修度函数M（t）连续可导，则M（t）的导数称为维修密度函数，记为m（t）。 m（t） (6-2) 若已

2、知维修密度函数m（t），则 M（t）=3修复率（t） 修复率指修理时间已达到某一时刻但尚未修复的产品在该时刻后的单位时间内完成修理的概率，可表示为（t）。它是用单位时间修复发生故障的产品的比例来度量维修性的一个尺度。 （t）= （6-3） 若M（t）服从指数分布，即 M（t）1et (6-4) 则修复率为常数。4平均修复时间MTTR 平均修复时间是指可修复的产品的平均修理时间，其估计值为修复时间总和与修复次数之比，记作MTTR（Mean Time To Repair）。 MTTR = E(Y )= (6-5) 若修复时间服从指数分布，如式（6-4）所示，则平均修复时间是修复率的倒数，即 MTT

3、R = (6-6)维修性特征量和可靠性特征量的关系1、 对应关系M（t）与F（t）、m（t）与f（t）、（t）与（t）、MTBF与MTTR是对应的；2、区别可靠性指标依据的是从开始工作到故障发生的时间（寿命）数据，而维修性指标依据的是发生故障后进行维修所花费的时间修复时间数据。两者相比，维修时间数据比寿命数据要小得多。另外，可靠性是由设计、制造、使用等因素所决定的，而维修性是人为地排除故障，使产品的功能恢复，因而人为因素影响更大。 例6-1 某电视机厂的维修站修理了该厂生产的20台电视机，每台的修理时间（单位为min）如下：48，59，68，86，90，105，110，120，126，128，

4、144，150，157，161，172，176，180，193，198，200。试求：（1）160min的维修度；（2）MTTR；（3）120min时的修复率，t15min。解（1） 0.65（2）MTTR MTTR（485968198200）/20133.55min （3） （t） 于是（120）= 1.1%二、有效性特征量1有效度（1）瞬时有效度（Instantaneous Availability）：瞬时有效度指在某一特定瞬时，可修产品保持正常工作使用状态或功能的概率 （2）平均有效度（Mean Availability）：可修产品在时间区间0，t内的平均有效度，即瞬时有效度A（t）在0

5、，t内的平均值，记为（t）。（3）稳态有效度（Steady Availability）：稳态有效度或称为时间有效度（Time Availability），又叫可工作时间比UTR（Up Time Ratio），记为A（）或A。它是时间t时瞬时有效度A（t）的极限，即 A（）A (6-9) 稳态有效度也可表示为 A （6-10） U可维修的系统、机器、设备或部件等 产品平均能正常工作的时间，单位为h D产品平均不能工作时间，单位为h。 或表达为 A (6-11) 当可靠度R（t）和维修度M（t）均为指数分布，且MTBF ，MTTR= 时，有 A （6-12） 如上所述的瞬时、任务、稳态有效度之间的

6、关系，见图6-1。 图6-1 瞬时、任务、稳态有效度（4）固有有效度（Inherent Availability）：固有有效度可表示为 A （6-13） 式中 MADT（Mean Active Down Time）平均实际不能工作时间； MTBF平均无故障工作时间。固有有效度也可表示为 A（t1，t2） (6-14) 式中 MTBM（Mean Time Between Maintenances）两次维修间平均时间； 平均维修时间。第二节 马尔柯夫过程一、随机过程的概念 设E是随机试验， 是它的样本空间，T是一个参数集，若对于每一个 ,都有随机变量 与之对应，则称随机变量族 为随机过程或随机函数

7、，通常记作 或 。二、马尔柯夫过程的概念 1马尔柯夫性 设 是一个随机过程，如果 在时刻 所处的状态为已知时，它在时刻所处状态的条件分布与其在 之前所处的状态无关，通俗地说，就是在知道随机过程“现在”的条件下，其“将来”的条件分布不依赖于“过去”，则称 具有马尔柯夫性。2马尔柯夫过程 设 的状态空间为S， 如果 ，在条件 ， ， 下， 的条件分布函数恰好等于在条件 下的条件分布函数，即 （6-15） 则称为马尔柯夫过程。马尔柯夫过程可以按时间和状态是连续的或是离散的进行分类： （1）时间与状态均为离散的马尔柯夫过程，称为离散时间马尔柯夫链； （2）时间连续但状态离散的马尔柯夫过程，称为时间连续

8、马尔柯夫链； （3）时间与状态均为连续的马尔柯夫过程，称为连续马尔柯夫过程。本节主要介绍在可修系统可靠性分析中广泛应用的连续时间的马尔柯夫链的概念及其基本性质。 三、连续时间的马尔柯夫链 1定义 设随机过程 的状态空间为S，若对所有的 及 ，有 （6-16） 则称 为时间连续的马尔柯夫链，并称式（6-16）为转移概率，记作 （6-17） 2性质 设 是状态空间为S时间连续的齐次马尔柯夫链，则其性质有： 性质1 对 和 ，满足 （1） （2） （3） 其中（3）即为切普曼柯尔莫哥洛夫方程。性质2 对任意 ，有 即连续时间齐次马尔柯夫链的有限维概率分布由它的初始分布和转移概率所确定。性质3 对任意

9、 ，有 即对时间来说有可逆性。性质4 对任意 ，有 即已知现在，那么过去与将来是独立的。性质5 （遍历性定理） 设 是状态空间 的时间连续的齐次马尔柯夫链，若存在 ，使对于一切 都有 ，则极限 存在且与i无关,其中 是方程组 的满足条件 的唯一解。四、计算齐次马尔柯夫可修系统可靠性特征量的方法和步骤 下面以单部件可修复系统为例，说明计算齐次马尔柯夫可修系统可靠性特征量的方法和步骤。为了讨论方便，我们作如下假定： （1）组成系统的部件的寿命和维修时间的分布均为指数分布； （2） 表示系统在时刻t的状态； （3）每个部件所处状态是相互独立的。若系统是由一个部件和一组维修人员组成，此时部件工作，系统

10、亦工作；部件故障，系统也就故障。该系统是最简单的可修复系统。若系统处于修复状态，则当部件修复后，部件重新开始工作，系统也就处于工作状态了。用1表示系统的正常状态，2表示故障状态，则 是一个齐次马尔柯夫链。假定部件的故障率及修复率分别为 和 ，根据图6-2，可写出马尔柯夫链的转移概率矩阵 （又称为微系数矩阵），即 表示t时系统处于状态i的条件下，又经过 后变成状态j的状态转移概率（是条件概率），简称转移率。 其意义如下： 单部件系统有两个随机变量X和Y，每个变量有2个状态，所以系统共有 个状态。其转移率如下： 1 表示t时系统处于正常条件下，又经过 后，仍正常的概率。 当 很小时，第三项以后是高

11、阶无限小，以 表示，所以计算可忽略之。 即得2 表示t时系统故障，经过 已修复，系统又正常的转移概率。3 表示t时系统正常，经过 后变成故障的转移率。 4 表示t时系统故障，又经过 后仍然故障的转移率。 即： （6-18） 令 则利用全概率公式可得 （6-19） 由于 则将式（6-19）整理求极限后可写成微分方程组 (6-20) 将式（6-20）写成矩阵形式 （6-21） 因为 ，代入式（6-20）中，整理可得则由 ，可知 通解为（1）当开始时刻 ，系统处于工作状态，即初始条件为 ，可知 ，则 和 特解为 由于 是系统处于工作状态的概率，也就是系统的有效度 ，即（2）如开始时刻（ ），系统处于

12、故障状态，即初始条件为 ， ,则 故 和 的特解为 此时系统的有效度为（3）如果求 时系统稳态有效度 ，不论初始状态如何，都可得 (6-22) 这意味着在系统已运行了很长一段时间后，系统处于平稳状态，其稳态有效度 与初始状态无关。求稳态可用度的简易方法，具体过程如下：（1）分析系统的状态，写出状态向量 ；（2）画出状态转移图，写出转移概率矩阵 以及 ；（3）联立方程 ，删除成线性关系的方程，补充 ；（4）求解方程组，得到稳态可用度。第三节 串联可修系统一、n台相同设备、一组维修人员的情况 设在 和 之间极小的时间 内，台设备故障率均为 ，修复率均为 时,用1表示系统正常工作，用2表示系统处于故

13、障状态。是一个齐次马尔柯夫链，正常工作状态空间 。系统的转移概率矩阵为在工程上一般关心的是系统的稳态可用度，设 代表 时刻系统正常概率， 代表 t时刻系统故障概率，状态向量 转移概率矩阵 为 （6-24） 足够长时间后，系统处于各个状态的概率达到稳定，即 时， 或其中，为单位矩阵，0为零向量， 是转移概率矩阵对角线元素减1后得到的矩阵，称为转移率矩阵。 由式（6-24）得即上述两个方程线性相关，舍去1个，补充方程 ，得解得 即系统稳态 可用度为 （6-25） 二、n台不同设备、一组维修人员的情况 当台设备故障率分别为修复率分别为时, 定义 是一个齐次马尔柯夫链，正常工作状态空间 。若发生故障后

14、一组维修人员立刻进行维修，则在和之间极小的时间内的转移概率矩阵为 相应的转移概率矩阵P为转移率矩阵为由微分方程 及 解得 系统的稳态有效度 （6-26）第四节 并联可修系统 一、 n台相同设备、一组维修人员的情况 系统由n台相同设备和一组维修人员组成，每台设备的故障率为 ，修复率为 ，修复后设备的寿命分布不变。在此假定下，系统有 个可能状态。定义 可以证明， 是一个齐次马尔柯夫链，正常工作状态空间 。其转移概率矩阵为由微分方程 及 解得 系统的稳态有效度为 （6-27） 当 ，即系统由两台相同设备和一组维修人员组成时，其转移概率矩阵为经求解得到系统的稳态有效度为 （6-28）二、两台不同设备、

15、一组维修人员的情况 系统由两台不同设备和一组维修人员并联组成，其故障率及维修率分别为，及，其余条件同前述。该系统共有5个状态： 0设备1，2都正常工作，系统正常； 1设备1正常，设备2故障，系统正常； 2设备2正常，设备1故障，系统正常； 3设备1在修理，设备2处于待修，系统故障； 4设备2在修理，设备1处于待修，系统故障。定义 时刻t时系统处于状态 是一个齐次马尔柯夫链，正常工作状态空间 。其转移概率矩阵为由微分方程 及 解得稳态有效度为 （6-29）第五节 可修复系统 系统由台相同设备和一组维修人员组成。当且仅当至少有台设备工作时，系统才工作，当有台设备故障时，系统故障。系统故障期间台好的

16、设备也停止工作，不会故障，直到有一台设备修复时，又有台好的设备同时进入工作状态，此时系统重新进入工作状态。显然，当时，系统是台相同设备的并联系统，当时，系统是台相同设备的串联系统。 可修复系统共有 个不同的状态，定义 时刻 时有 台设备故障 时系统处于故障状态，因此正常工作状态空间 是一个齐次马尔柯夫链 .系统的转移概率矩阵为由微分方程 及 可得系统稳态有效度为 （6-30）第六节 串并联可修系统 设系统是由两台相同设备B并联（故障率为 ，修复率为 ），再与设备 （故障率为 ，修复率为 ）串联，形成串并联可修系统， 当设备发生故障时由1个修理工负责 在时刻系统可能的状态有系统的状态向量为 并且

17、 。状态转移概率矩阵P为 令 以及 ，可舍去状态转移矩阵 中第2列对应的方程，得 解得系统的稳态可用度 为 (6-31)第七节 柔性连接系统可靠性 刚性连接系统 是指系统设备之间紧密相连，环节之间不设缓冲设施。 柔性连接系统 是指设备之间设置缓冲设施，以实现衔接和减轻前后设备间的相互影响 缓冲设施的串联柔性连接系统的可靠性求法 :（1）假设条件（2）系统的状态（3）状态转移方程（4）状态的稳态概率第八节 实例研究 某露天煤矿表层黄土的剥离采用轮斗挖掘机胶带连续工艺系统，已经投入生产的第一套连续工艺系统包括1#和2#轮斗挖掘机、1#和2#履带式转载机（皮带车A）、工作面胶带输送机及位于胶带机上的

18、轨道式电缆和漏斗车、滑撬式转载机（皮带车B）、端帮胶带输送机、排土场胶带输送机及位于胶带机上的轨道式转载机和履带式排土机等12台设备。系统布置如图6-13所示。第一套连续工艺系统的布置 BWE11轮斗挖掘机BWE22轮斗挖掘机BWA22A型皮带车BWA11A型皮带车BWB11B型皮带车B111轮斗工作面胶带机B102轮斗工作面胶带机B12、B12-1、B12-2端帮胶带机B13排土线胶带机SP11排土机第一套轮斗系统（两台）年设计能力为9Mm3（实方），自1996年投入生产以来，最高在2003年完成8.20Mm3（实方），与设计能力相差0.80Mm3，其主要原因是轮斗系统设备停机时间太长，年工

19、作时间太短（不足3000h），远远低于设计的工作时间4000h。从系统可靠性的角度分析，原因之一是工艺系统中各设备在设计、制造中存在的缺陷，使设备的固有可靠度偏低；原因之二是生产条件、环境、操作、维修以及管理等因素，使系统的使用可靠度较低。在系统投入使用后，可靠性工作主要是现场可靠性数据的收集与分析，可靠性指标的计算，分析影响系统可靠度的主要因素，找出系统的薄弱环节，提出提高系统使用可靠度的途径，为系统的改进及设备改型工作提供依据，从而提高现有连续工艺系统的生产能力。各台设备的工作时间和故障时间分布参数及稳态有效度如表6-1所列。表6-1 各台设备的工作时间和故障时间分布参数及稳态有效度设备B

20、WE1BWA2B11BWE2BWA1B10故障率0.00150.000610.00150.001590.00060.0015修复率0.00880.00750.01270.00830.00730.0141稳态有效度0.85460.92370.89350.84720.92710.9062设备BWB1B12B12-1B12-2B13SP1故障率0.00210.00290.00030.00040.00060.0007修复率0.06210.02070.04990.03480.01530.0150稳态有效度0.96710.87720.99470.98800.96240.9583现行一机一线子系统布置如图6

21、-14所示。图6-14 现行一机一线子系统布置其稳态有效度的计算过程如下。BWE1、BWA2和B11组成串联可修系统，将其简化为等效子系统；同理，BWE2、BWA1、BWB1和B10组成串联可修系统，将其简化为等效子系统；B12、B12-1、B12-2、B13和SP1组成串联可修系统，将其简化为等效子系统，简化后的系统如图6-15所示。图6-15 简化后的系统图再将、组成的并联系统简化为等效子系统，系统最终简化为图6-16的形式。经过一系列的简化后，整个系统的稳态有效度就可以方便地计算。图6-16 最终简化的系统图对子系统(图6-17)： 图6-17 子系统(X13)(X12)(X11)BWA2B11BWE1 故障率： =111213 修复率： = 对子系统(图6-18)：图6-18 子系统(X22)(X22)(X24)(X21)BWB1BWA1BWE2B10故障率： =212223 24 修复率： = 对子系统(图6-19)：图6-19 子系统(X31)(X32)(X33)(X34)(X35)B12-1B12-2SP1B13B12故障率：=313233 3435 修复率： = 对子系统(图6-20)：图6-20 子系统系统的状态有： 0， 、均工作，系统工作； 1， 工作，修理，系统工作； X（t）=2， 工作，修理，系统工作； 3， 修理，待修，系统修理 4， 修理，待修，