数学模型讲座_时间序列模型ppt课件

1、时间序列模型武汉理工大学统计学系 唐湘晋一、时间序列的根本特征二、时间序列模型的根本概念三、ARMA模型设定及其识别四、ARMA模型估计与检验五、ARMA模型建模步骤内容一、时间序列的根本特征同一景象在不同时间上的相继察看值陈列而成的数列方式上由景象所属的时间和景象在不同时间上的察看值两部分组成陈列的时间可以是年份、季度、月份或其他任何时间方式国内生产总值等时间序列年 份国内生产总值(亿元)年末总人口(万人)人口自然增长率()居民消费水平(元)19901991199219931994199519961997199818547.921617.826638.134634.446759.458478

2、.167884.674772.479552.8114333115823117171118517119850121121122389123626124810 14.3912.9811.6011.4511.2110.5510.4210.069.538038961070133117812311272629443094一、时间序列的根本特征时间序列数据时间序列数据有严厉的时间先后顺序。在利用时间序列数据建立模型时需求认识到，我们获得的样本不再具有从总体中随机抽取的性质。我们所面对的是一个实践实现的随机过程。一、时间序列的根本特征时间序列的分类时间序列平均数序列绝对数序列相对数序列时期序列时点序列一、时

3、间序列的根本特征时间序列的编制原那么时间长短要一致总体范围要一致目的内容要一致计算方法和口径要一致Remark：这仅限于经典的时间序列，在高频数据中，时间长短可以不一致，例如买卖时间间隔可以不一致.一、时间序列的根本特征时间序列图形的绘制先把时间序列描画在坐标图上，坐标的横轴表示时间 t，坐标的纵轴表示所分析的经济变量一、时间序列的根本特征某企业从1990年1月到2002年12月的销售数据单位：百万元 一、时间序列的根本特征从这个点图可以看出。总的趋势是增长的，但增长并不是单调上升的；有涨有落。但这种升降不是杂乱无章的，和季节或月份的周期有关系。除了增长的趋势和季节影响之外，还有些无规律的随机

4、要素的作用。一、时间序列的根本特征时间序列分析分析时间序列变化的影响要素- 每一个经济变量的变化，在不同时期受不同要素影响，经济变量的时间序列综合地反映了各种要素的影响影响时间序列变化的主要要素分类-长期趋势要素-季节变化要素-周期变化要素-不规那么变化要素一、时间序列的根本特征时间序列的分解经济变量的时间序列通常可以分解成四部分，即：长期趋势，用 T Trend表示季节动摇，用 S Seasonal表示循环动摇，用 C Cyclical表示不规那么动摇，用 I Irregular 表示这四种要素对时间序列变化的影响有二种根本假设乘积方式：Y=TS C I和的方式：Y=T + S + C +

5、I一、时间序列的根本特征ttYYY=T + S + C + IY=TS C I一、时间序列的根本特征时间序列的根本特征时间序列变化的根本特征是指各种时间序列表现出的具有共性的变化规律，如趋势变化、周期性变化等根据时间序列变化的根本特征，它们可以分为：-呈程度形变化的时间序列-呈趋势变化的时间序列-呈周期变化的时间序列-具有激动点的时间序列-具有转机变化的时间序列-呈阶梯形变化的时间序列一、时间序列的根本特征呈程度型变化的时间序列经济变量的开展变化比较平稳，没有明显的上升或下降趋势，也没有较大幅度的上下动摇如处于市场饱和形状的产品销售量，消费过程中出现的稳定的次品率。Ytt一、时间序列的根本特征

6、呈趋势变化的时间序列上升或下降的趋势变化，长期趋势变化Ytt一、时间序列的根本特征呈周期型变化的时间序列Ytt一、时间序列的根本特征具有激动点Impulse变化的时间序列Ytt一、时间序列的根本特征具有阶梯型变化的时间序列Ytt一、时间序列的根本特征时间序列的转机性变化Ytt一、时间序列的根本特征时间序列数据的分解趋势随机循环或者季节性Xttime一、时间序列的根本特征二、时间序列模型的根本概念目的：根据变量的历史研讨变量为什么用这些时间序列模型？-简单-实际的缺乏-预测时间序列分析模型的适用性经典回归模型的建模思绪：对一个时间序列Xt的变动进展解释或预测，是经过某个一方程回归模型或联立方程回

7、归模型进展的，由于它们以因果关系为根底，且具有一定的模型构造，因此也常称为构造式模型Structural Model。经典模型的建模的困难：假设Xt动摇的主要缘由能够是我们无法解释的要素，如气候、消费者偏好的变化等，那么利用构造式模型来解释Xt的变动就比较困难或不能够，由于要获得相应的量化数据，并建立令人称心的回归模型是很困难的。二、时间序列模型的根本概念时间序列分析模型的适用性经典模型预测性能差：即使能估计出一个较为称心的因果关系回归方程，但由于对某些解释变量未来值的预测本身就非常困难，甚至比预测被解释变量的未来值更困难，这时因果关系的回归模型及其预测技术就不适用了。在这些情况下，我们采用另

8、一条预测途径：经过时间序列的历史数据，得出关于其过去行为的有关结论，进而对时间序列未来行为进展推断。二、时间序列模型的根本概念时间序列分析模型的适用性问题1：时间序列过去能否有明显的增长趋势？假设增长趋势在过去的行为中占主导位置，能否以为它也会在未来的行为里占主导位置呢？问题2：时间序列显示出循环周期性行为，我们能否利用过去的这种行为来外推它的未来走向？ 处理方法：采用随机时间序列分析建模，就是要经过序列过去的变化特征来预测未来的变化趋势。二、时间序列模型的根本概念时间序列分析开展的两个阶段平稳时间序列分析Box-Jenkins (1976)非平稳时间序列分析Engle-Granger(198

9、7)时间序列模型不同于经济计量模型的两个特点是：- 这种建模方法不以经济实际为根据，而是根据变量本身的变化规律，利用外推机制描画时间序列的变化。- 明确思索时间序列的平稳性。假设时间序列非平稳，建立模型之前应先经过差分或者协整把它变换成平稳的时间序列，再思索建模问题。二、时间序列模型的根本概念时间序列分析实际框架图二、时间序列模型的根本概念随机过程的根本概念随机过程stochastic process 设T 是某个集合，俗称足标集，对恣意固定tT，Yt 是随机变量， tT 的全体 Yt ；tT 称为T 上的随机函数。记为 Yt 对每个固定的t，Yt 是随机变量。 通常T 取为： 1 T =-,

10、 , T =0, 2) T =-2,-1,0,1,2, T =1,2,3,二、时间序列模型的根本概念随机过程的根本概念随机过程的样本Sample或实现Realization 对给定的样本点，Yt() Y1, Y2, Y3, ,Yn, y11, y12, y13, ,y1n y21, y22, y23, ,y2n 记为 yt 二、时间序列模型的根本概念随机过程的根本概念随机过程的参数 -均值函数mean function -自协方差函数autocovariance function -自相关函数 autocorrelation function Remark：自协方差函数与自相关函数都是对线性关

11、系的一种度量方式，它与线性时间序列模型是等价的，包含了同等的信息，但对于非线性关系无能为力二、时间序列模型的根本概念平稳过程严平稳 一个随机过程假设是严平稳的，那么对一切的 ， 一切的 ，一切的 ，结合概率分布函数满足下式：弱平稳二阶平稳二、时间序列模型的根本概念Remark:平稳概念引见严平稳具有实际价值，但可操作性差弱平稳更具有现实意义，均值和方差易于观测只需一阶矩和二阶矩存在，严平稳一定能推出弱平稳；柯西列均值、方差都不存在，但是严平稳的正态分布只需用均值和方差两个参数就可以完全描画，正态随机过程的结合分布可以用均值，方差，协方差完全描画。正态随机过程下的弱平稳与严平稳是一致的.二、时间

12、序列模型的根本概念一个重要的随机过程：白噪声白噪声就是一种特殊的二阶平稳过程。对于任一 和白噪声并没有对分布给出界定，白噪声并不意味着i.i.d，只需 服从Gauss过程时，白噪声与i.i.d才是等价的可以存在高阶矩的序列依赖或者是非线性依赖，例如下面的过程仍为白噪声二、时间序列模型的根本概念平稳过程例1i.i.d序列一个最简单的随机时间序列是独立同分布规范正态分布序列：二、时间序列模型的根本概念平稳过程例2自回归过程AR(1) 二、时间序列模型的根本概念样本自相关函数的计算和判别二、时间序列模型的根本概念检验自相关系数能否为0原假设：i =i+1 =0用前面引见的方法计算出样本自相关系数，

13、服从正态分布N(0,1/T)每个 在两个规范差之间，那么以为真正的i等于0二、时间序列模型的根本概念偏自相关函数普通的，偏相关系数如下定义：Yt与Yt-k的偏相关系数是去掉Yt-1，Yt-2，.，Yt-k+1的线性影响后简单相关系数。用公式表示如下： *k=Corr(Yt-E*(Yt| Yt-1，Yt-2,Yt-k+1), Yt-k) 二、时间序列模型的根本概念样本偏自相关函数 t= 11t-1 +1t t= 12t-1 +22t-22t t= 13t-1 +23t-233t-33t 用OLS法估计上面的方程; 11是1阶样本偏相关系数；22是2阶样本偏相关系数; Remark：对原始序列要进

14、展均值化处置.二、时间序列模型的根本概念检验偏自相关系数能否为0当样本长度充分大时，原假设*k =0，kp偏相关系数近似服从正态分布N0，1/T在近似5%显著程度下，假设-2/T1/2 *k p成立 二、时间序列模型的根本概念白噪声的相关图样本容量=400，白噪声序列当样本自相关系数落在-0.1,0.1区间内时，可以判别自相关系数为0二、时间序列模型的根本概念平稳线性ARMA模型几个重要的平稳随机过程-白噪声-MA-AR-ARMA-ARIMA建立ARMA模型-定阶，估计，检验，预测三、 ARMA的模型设定与识别平稳时间序列几个重要的平稳过程和模型白噪声过程MA过程AR过程ARMA过程平稳过程的

15、参数自协方差和自相关函数偏自相关函数模型平稳可逆条件三、 ARMA的模型设定与识别滑动平均模型MA 1-阶滑动平均模型 和 为参数或系数。Yt是1-阶滑动平均过程。用MA1表示例如Yt=0.1+t0.3 t1三、 ARMA的模型设定与识别MA(1)另一种表达方式本质是一个只包括常数项的回归模型，但残差存在自相关。三、 ARMA的模型设定与识别q-阶滑动平均模型定义其中t是白噪声过程三、 ARMA的模型设定与识别自回归模型ARt=c+1t-1+2t-2+pt-p+t 其中 t 是白噪声过程， p 0 表达式是p-阶自回归模型 t 为p-阶自回归过程 ,表示为AR(p) c, 1, p是未知参数或

16、系数。三、 ARMA的模型设定与识别自回归滑动平均混合过程ARMAt=c+1t-1 +2t-2+pt-p + t + 1t -1+ qt q 其中 t 是白噪声过程, p 0, q 0 表达式是p-阶自回归q阶滑动平均混合模型 t 为p-阶自回归q-阶滑动平均混合过程 ,表示为ARMA(p,q) c, 1, p， 1， q是未知参数或系数。三、 ARMA的模型设定与识别MA过程例下面是一个MA(2)模型,计算它的自相关函数，并画图t=t +0.2t10.1t21(121)/(11222) (0.2+0.2*0.1)/(1+0.12+0.22)=0.22(2)/(11222) 0.1/(1+0.

17、12+0.22)=0.095三、 ARMA的模型设定与识别MA过程ACF图根本结论MA(q)过程的自相关函数q步截尾三、 ARMA的模型设定与识别AR(1)过程的参数三、 ARMA的模型设定与识别AR(1)参数t=0.1+0.5t-1 +t t=0.1-0.5t-1 +t =0.1/(1-0.5)=0.2 = 0.1/(1+0.5)j=0.5j j =(-0.5)j 三、 ARMA的模型设定与识别ARMA过程的平稳性条件模型平稳条件 特征方程(z)=1-1 z -2 z 2-p z p=0 特征方程的根在单位圆外。假设特征方程的根在单位圆内，那么模型平稳。 使得模型满足平稳条件的参数所在的范围

18、为平稳域.注：平稳性只与自回归系数1,，p有关，与滑动平均系数无关。三、 ARMA的模型设定与识别自回归模型的平稳域例下面的AR2模型能否平稳？t =0.6t-1-0.08t-2+t特征方程: 1-0.6z+0.08 z2=0 根为5和2,都在单位圆外,所以平稳.三、 ARMA的模型设定与识别根据自相关函数与偏自相关函数定阶根据样本自相关函数和样本偏相关函数定阶普通要求样本长度大于50,才干有一定的准确程度自相关函数和样本偏相关函数定阶的准那么 MA(q) AR(p) ARMA(p，q)自相关函数 q步截尾 拖尾 拖尾偏相关函数 拖尾 p步截尾 拖尾三、 ARMA的模型设定与识别ARIMAp,

19、d,q)过程和模型随机过程不平稳：从图形看不反复穿越一条程度线，样本自相关函数收敛速度慢。差分以后是一个ARMA过程留意不要过度差分d表示差分的次数三、 ARMA的模型设定与识别MA(1) Yt t 0.5 t1三、 ARMA的模型设定与识别MA(1)的ACF和PACF三、 ARMA的模型设定与识别AR(1) Yt=0.6Yt-1+t三、 ARMA的模型设定与识别AR(1)的ACF和PACF三、 ARMA的模型设定与识别ARMA Yt=-0.7Yt-1+t - 0.7 t-1三、 ARMA的模型设定与识别ARMA过程的ACF和PACF三、 ARMA的模型设定与识别随机游走 Yt=Yt-1+t三

20、、 ARMA的模型设定与识别随机游走动的自相关函数三、 ARMA的模型设定与识别ARMA模型的其他识别方法采用ACF和PACF定阶AIC或者BIC准那么选择，越小越好普通到特殊，最后显著法Last significantRemark:在高频时间序列中日内数据，条件均值模型能够是MA(1)模型三、 ARMA的模型设定与识别ARMA模型的其他识别方法ACF和PACF定阶-对纯粹的AR模型或者MA模型可以定阶-可以判别某个过程为ARMA过程，但不能定阶-由于估计误差的存在，很难判别拖尾和截尾，这种方法在实践运用中存在缺陷AIC或者BIC准那么选择，越小越好 -特别适用于ARMA模型，当然也适用于AR

21、模型或者MA模型普通到特殊，最后显著法Last significant-选择一个高阶的AR模型，逐渐递减，直到最后一个变量显著，这与AR模型PACF定阶异曲同工.三、 ARMA的模型设定与识别ARMA模型的估计AR模型采用OLS法估计AR模型可采用自相关函数的直接估计MA模型采用最大似然法估计ARMA模型采用最大似然法估计四、ARMA的模型估计与检验AR(p)模型的Yule Walker方程估计 在AR(p)模型的识别中，曾得到 利用k=-k，得到如下方程组： 此方程组被称为Yule Walker方程组。该方程组建立了AR(p)模型的模型参数1,2,p与自相关函数1,2,p的关系， 四、ARMA的模型估计与检验 第一步，利用实践时间序列提供的信息，首先求得自相关函数的估计值第二步， 然后利用Yule Walker方程组，求解模型参数的估计值由于 于是 从而可得2的估计值 四、ARMA的模型估计与检验AR(p)的最小二乘估计 假设模型AR(p)的参数估计值曾经得到，即有 残差的平方和为： (*)根据最小二乘原理，所要求的参数估计值是以下方程组的解： 即 j=1,2,p (*) 解该方程组，就可得到待估参数的估计值。 四、ARMA的模型估计与检验最大似然函数法的根本思想什