第九章力矩分配法

1、第九章力矩分配法 前面我们讨论了求解超静定结构的两种方法，力法和位移法。这两种方法最终都归结于求解一定数量未知量的线性方程组。当未知量数目较多时，解方程组的工作将是十分繁重的。为了避免组成和联立方程，在电子计算机还未普及之前，人们提出了许多实用的计算方法，本章主要介绍广为流传的力矩分配法、无剪力分配法及剪力分配法等。这几种方法都属于渐进法，它既可以避免求解联立方程组，又可以遵循一定的机械步骤进行，易于掌握。在目前电子计算机已普及的今天，对于某些比较简单的结构，上述渐进法由于便于手算，仍有一定的实用价值。 前言主要内容1力矩分配法的基本概念 2 力矩分配法3 力矩分配法与位移法联合应用 4 无剪

2、力分配法 9.1力矩分配法的基本概念 力矩分配法是哈迪.克罗斯（Hardy Cross）于1932年首先提出来的。其特点是不需建立和联立求解线性方程组，可在计算简图上进行或列表进行计算，并能直接求得各杆的杆端弯矩。工作量大为减少。 最初这种方法仅限于分析连续梁和无结点线位移的刚架，后来陆续推出了一些较新的力矩分配法，能够计算有结点线位移的刚架、薄板及薄壁等结构。1 劲度系数S（转动刚度） 劲度系数： 一单跨超静定梁的一端（A端）单位转角时，发生于该端（近端、或称A端）的弯矩。 设 ，则 SABBA1MBA图(a)AB1SAB图(b)BA1SAB图(c)MBAAB1SAB图(d)当远端（B端）固

3、定， 当远端（B端）铰支 ，当远端（B端）定向 ，当远端（B端）自由， 其实，(d)不属于单跨超静定量，只是有时为了便于应用，如此定义。2 传递系数C 传递系数： 一单跨超静定梁的一端（A端）单位转角时，发生于远端（B端）的弯矩与近端（A端）的弯矩之比。 如： 当远端（B端）固定， 当远端（B端）铰支 ，当远端（B端）定向 ，当远端（B端）自由， SABBA1MBA图(a)AB1SAB图(b)BA1SAB图(c)MBAAB1SAB图(d)3 分配系数 如图(e)所示结构受集中力偶作用。在结点A处产生了角位移Z，根据转角位移方程得 (a) 3图(e)A124M由结点A的平衡条件得 把(a)式代入

4、上式，得 (b) 解之得 (c) 把(c) 式代回(a) 式，即得各杆的A端弯矩为 （i=1,2,3） 其中： 称为分配系数。 它表明，结点A的弯矩M按照分配系数的大小比例地分配于汇交于该结点的各杆A端。 显然有 (a) 知道了各杆的近端弯矩，利用传递系数，很容易确定各杆的远端弯矩： （i=1,2,3） 4 单结点无侧移结构的力矩分配法 以图(f)所示的两跨连续梁来说明力矩分配法的基本思路。显然，按位移法分析，该连续梁的基本未知量有一个。即B结点的转角。 (1)设想在结点B增加一个附加刚臂，得到位移法基本结构。阻止其转动如图(g)所示。附加刚臂的约束力矩MB 是原结构上所没有的，它反映了基本结

5、构汇交于B结点的各杆B端弯矩所不能平衡的差额。我们称之为B结点的不平衡力矩。Fp图(f)ABCqABCMB图(g) Fpq查表容易得到各单跨超静定梁的杆端弯矩。则附加刚臂的约束力矩由结点B的平衡条件得MBMBCFMBAF(2)原结构在结点B本来没有转动约束，即不存在不平衡力矩MB ，因此，为了与实际情况相符，必须消除人为引入的附加刚臂，即使MB 0，这就相当于在 MB的基础上再施加上一个（- MB ）如图(h)所示。 ABC-MB图(h) 此时梁将产生新的杆端弯矩MBA 、 MBC （分配弯矩），在远端将产生新的杆端弯矩MAB 、 MCB 、（传递弯矩）。 (3)原结构在荷载的作用下的实际杆端

6、弯矩应为图(g) 和图(h)两种情况的叠加。 +=下面举例说明力矩分配法的解题过程。 ABC-MB图(h) ABCMB图(g) FpqFp图(f)ABCq例1 如图示连续梁，作M图。 Fp=100kNABCq=10 kN/m2EIEI12m4m4m解：在B结点引入刚臂 查表得固端弯矩求出B结点的不平衡力矩 分配系数把不平衡力矩反号加到B结点上并按分配系数分配到各杆的B端。 M图（kN.m）20018014080过程如表所示。 杆端AB BABC CB分配系数0.50.5固端弯矩0 180-100 100分配传递-40-40 -20杆端AB BABC CB分配系数0.50.5固端弯矩0 180-

7、100 100分配传递-40-40 -20最终弯矩0 140-140 809.2用力矩分配法计算连续梁和无结点线位移刚架 上节通过单结点的连续梁说明了力矩分配法的基本思路，对于多结点的连续梁或无结点线位移的刚架，只要逐次对每一个结点应用上述基本运算，就可以求出最终杆端弯矩。下面举例说明其计算过程。 例2 如图示连续梁，作M图。解：在B、C结点引入刚臂 ABCi=2Di=3i=46m6m3m3mFp=400kNq=40 kN/m图(a) 求出固端弯矩分配系数B结点：C结点：杆端 AB BA BC CB CD DC 分配系数 0.40.6 0.50.5固端弯矩 0 0-300 300 -180分配

8、传递杆端 AB BA BC CB CD DC 分配系数 0.40.6 0.50.5固端弯矩 0 0-300 300 -180分配传递 120180 90杆端 AB BA BC CB CD DC 分配系数 0.40.6 0.50.5固端弯矩 0 0-300 300 -180分配传递 120180 90-52.5 105 105杆端 AB BA BC CB CD DC 分配系数 0.40.6 0.50.5固端弯矩 0 0-300 300 -180分配传递 120180 90-52.5 105 10510.5 2131.5 15.75杆端 AB BA BC CB CD DC 分配系数 0.40.6

9、0.50.5固端弯矩 0 0-300 300 -180分配传递 120180 90-52.5 105 10510.5 2131.5 15.75-3.94 7.8757.875杆端 AB BA BC CB CD DC 分配系数 0.40.6 0.50.5固端弯矩 0 0-300 300 -180分配传递 120180 90-52.5 105 10510.5 2131.5 15.75-3.94 7.8757.8750.79 1.582.36 1.18杆端 AB BA BC CB CD DC 分配系数 0.40.6 0.50.5固端弯矩 0 0-300 300 -180分配传递 120180 90-

10、52.5 105 10510.5 2131.5 15.75-3.94 7.8757.8750.79 1.582.36 1.18-0.3 -0.59 -0.59杆端 AB BA BC CB CD DC 分配系数 0.40.6 0.50.5固端弯矩 0 0-300 300 -180分配传递 120180 90-52.5 105 10510.5 2131.5 15.75-3.94 7.8757.8750.79 1.582.36 1.18-0.3 -0.59 -0.590.06 0.120.18 0.09杆端 AB BA BC CB CD DC 分配系数 0.40.6 0.50.5固端弯矩 0 0-3

11、00 300 -180分配传递 120180 90-52.5 105 10510.5 2131.5 15.75-3.94 7.8757.8750.79 1.582.36 1.18-0.3 -0.59 -0.590.06 0.120.18 0.09-0.02 0.040.04杆端 AB BA BC CB CD DC 分配系数 0.40.6 0.50.5固端弯矩 0 0-300 300 -180分配传递 120180 90-52.5 105 10510.5 2131.5 15.75-3.94 7.8757.8750.79 1.582.36 1.18-0.3 -0.59 -0.590.06 0.12

12、0.18 0.09-0.02 0.040.04 0.010.01杆端 AB BA BC CB CD DC 分配系数 0.40.6 0.50.5固端弯矩 0 0-300 300 -180分配传递 120180 90-52.5 105 10510.5 2131.5 15.75-3.94 7.8757.8750.79 1.582.36 1.18-0.3 -0.59 -0.590.06 0.120.18 0.09-0.02 0.040.04 0.010.01最终弯矩 71.35 142.71-142.71 293.51-293.5171.351421.71293.51600180M图(kN.m)ABC

13、DABCi=2Di=3i=46m6m3m3mFp=400kNq=40 kN/m图(a) 71.351421.71293.51600180M图(kN.m)ABCD校核： 正确的计算结果应同时满足结点的静力平衡条件及结点的变形协调条件。 (1)静力平衡条件为在各个结点上 M=0(2)变形协调条件为在各个结点上的转角连续如B结点应有B1= B2等。下面讨论变形协调条件的一般表达形式 iBKiBJBKJ如图所示，对于BK杆根据转角位移方程得 上式中消去K，得 其中： 同理可求出BJ杆的B端转角为 其中： 杆端 AB BA BC CB CD DC 分配系数 0.40.6 0.50.5固端弯矩 0 0-3

14、00 300 -180分配传递 120180 90-52.5 105 10510.5 2131.5 15.75-3.94 7.8757.8750.79 1.582.36 1.18-0.3 -0.59 -0.590.06 0.120.18 0.09-0.02 0.040.04 0.010.01最终弯矩 71.35 142.71-142.71 293.51-293.51根据变形协调条件得 杆端 AB BA BC CB CD DC 分配系数 0.40.6 0.50.5固端弯矩 0 0-300 300 -180分配传递 120180 90-52.5 105 10510.5 2131.5 15.75-3

15、.94 7.8757.8750.79 1.582.36 1.18-0.3 -0.59 -0.590.06 0.120.18 0.09-0.02 0.040.04 0.010.01最终弯矩 71.35 142.71-142.71 293.51-293.51校核 53.32 53.32 -28.4-28.4如：ABCi=2Di=3i=46m6m3m3mFp=400kNq=40 kN/m图(a) 例3 如图示刚架，用力矩分配法作M图（EI=常数）。 ABCFp=40kNDEF10m10m20m20m图(a) 20m解：在B、C引入刚臂，计算固端弯矩 计算分配系数B结点： C结点： 计算过程如下表所示

16、结点EBCF杆端EBBEBABCCBCDCFFC分配系数4/113/114/114/113/114/11固端弯矩150分配传递结点EBCF杆端EBBEBABCCBCDCFFC分配系数4/113/114/114/113/114/11固端弯矩150分配传递-27.27 -54.55 -40.91 -54.55 -27.27 结点EBCF杆端EBBEBABCCBCDCFFC分配系数4/113/114/114/113/114/11固端弯矩150分配传递-27.27 -54.55 -40.91 -54.55 -27.27 4.96 9.92 7.43 9.92 4.96 结点EBCF杆端EBBEBABC

17、CBCDCFFC分配系数4/113/114/114/113/114/11固端弯矩150分配传递-27.27 -54.55 -40.91 -54.55 -27.27 4.96 9.92 7.43 9.92 4.96 -0.9 -1.8 -1.36 -1.8 -0.9 结点EBCF杆端EBBEBABCCBCDCFFC分配系数4/113/114/114/113/114/11固端弯矩150分配传递-27.27 -54.55 -40.91 -54.55 -27.27 4.96 9.92 7.43 9.92 4.96 -0.9 -1.8 -1.36 -1.8 -0.9 0.16 0.33 0.24 0.3

18、3 0.17 结点EBCF杆端EBBEBABCCBCDCFFC分配系数4/113/114/114/113/114/11固端弯矩150分配传递-27.27 -54.55 -40.91 -54.55 -27.27 4.96 9.92 7.43 9.92 4.96 -0.9 -1.8 -1.36 -1.8 -0.9 0.16 0.33 0.24 0.33 0.17 -0.03 -0.06 -0.04 -0.06 -0.03 结点EBCF杆端EBBEBABCCBCDCFFC分配系数4/113/114/114/113/114/11固端弯矩150分配传递-27.27 -54.55 -40.91 -54.5

19、5 -27.27 4.96 9.92 7.43 9.92 4.96 -0.9 -1.8 -1.36 -1.8 -0.9 0.16 0.33 0.24 0.33 0.17 -0.03 -0.06 -0.04 -0.06 -0.03 0.01 0.01 0.01 结点EBCF杆端EBBEBABCCBCDCFFC分配系数4/113/114/114/113/114/11固端弯矩150分配传递-27.27 -54.55 -40.91 -54.55 -27.27 4.96 9.92 7.43 9.92 4.96 -0.9 -1.8 -1.36 -1.8 -0.9 0.16 0.33 0.24 0.33 0

20、.17 -0.03 -0.06 -0.04 -0.06 -0.03 0.01 0.01 0.01 最终弯矩-28.2 56.41 107.69 51.28 -17.94 7.69 10.26 5.15 结点EBCF杆端EBBEBABCCBCDCFFC分配系数4/113/114/114/113/114/11固端弯矩150分配传递-27.27 -54.55 -40.91 -54.55 -27.27 4.96 9.92 7.43 9.92 4.96 -0.9 -1.8 -1.36 -1.8 -0.9 0.16 0.33 0.24 0.33 0.17 -0.03 -0.06 -0.04 -0.06 -

21、0.03 0.01 0.01 0.01 最终弯矩-28.2 56.41 107.69 51.28 -17.94 7.69 10.26 5.15 校核 -42.3/i -42.3/i -42.3/i7.7/i 7.7/i7.7/i设：M图(kN.m)200107.695.1217.947.6810.2656.4128.251.28ABCFp=40kNDEF10m10m20m20m图(a) 20m200107.695.1217.947.6810.2656.4128.251.28M图(kN.m)例4 如图示对称结构，用力矩分配法作M图（EI=常数）。 ABCq=30kN/mD4m4mEF3m解：此结

22、构和荷载均为双对称因此仅取 结构即可。 ABG固端弯矩 分配系数结点 G A B杆端GA AGAB BA分配系数0.4 0.6 固端弯矩11.25 22.5 -40 40 结点 G A B杆端GA AGAB BA分配系数0.4 0.6 固端弯矩11.25 22.5 -40 40 分配传递-7 7 10.5 5.25 结点 G A B杆端GA AGAB BA分配系数0.4 0.6 固端弯矩11.25 22.5 -40 40 分配传递-7 7 10.5 5.25 最终弯矩4.25 29.5 -29.5 45.25 校核： 因G点有线位移，故位移连续条件需重新推导。 前面已推导出AB段A端的转角为

23、对于AG杆，因为 由上式可得 因此，A结点的位移协调条件为 ABGABCq=30kN/mDEF结点 G A B杆端GA AGAB BA分配系数0.4 0.6 固端弯矩11.25 22.5 -40 40 分配传递-7 7 10.5 5.25 最终弯矩4.25 29.5 -29.5 45.25 校核 31.5/EI 31.5/EI 图(b) M图(kN.m)6029.529.545.254.25ABCq=30kN/mDEF6029.529.545.254.25M图(kN.m)例5 如图示对称等截面连续梁，支座B、C同时下沉=0.02m，适用力矩分配法作M图 ，已知EI=8104kN. m2 。AB

24、CD图(a)4m4m4m解：由于结构对称，因此仅需考虑结构即可，如图(b)所示。 ABE图(b)=0.02 这里的固端弯矩不是荷载引起的，而是由于支座下沉引起的。引入刚臂，使支座下沉. 固端弯矩 分配系数结点 B E杆端BABEEB分配系数0.60.4固端弯矩-300 -结点 B E杆端BABEEB分配系数0.60.4固端弯矩-300 分配传递180 120 -120结点 B E杆端BABEEB分配系数0.60.4固端弯矩-300 分配传递180 120 -120最终弯矩-120 120 -120 结点 B E杆端BABEEB分配系数0.60.4固端弯矩-300 分配传递180 120 -12

25、0最终弯矩-120 120 -120 校核 720/EI 720/EI 校核： M图(kN.m)120M图(kN.m)1209.3力矩分配法与位移法联合应用 对于一般的有结点线位移的刚架，力矩分配法不能直接应用，此时可联合位移法一起应用，用力矩分配法分析角位移的影响，用位移法分析线位移的影响。下面举例说明力矩分配法与位移法联合分析问题的基本思路。 如图(a)所示结构，位移法分析时有三个角位移未知量，一个线位移未知量。 图(a)(1) 首先用位移法求解，但所取的“基本结构” 只控制结点的线位移，即基本未知量为结点的线位移。 图(b) 基本结构Z1位移法典型方程为 而任一截面的弯矩为 (2) 上述

26、方程中的r11、R1p、 及Mp等无法直接查表求出，因各杆不属于单跨超静定梁。可用力矩分配法来确定。 图(c) 约束结构R1p图(d)利用图(c)可求出Mp图，由平衡可求出R1p 利用图(d)可求出 图，由平衡可求出r11 r111 当结构的结点线位移多于一个时，也可采用类似的方法计算。如图(e)所示刚架有两个线位移Z1、Z2。 图(e)图(f) 基本结构Z1Z2位移法的典型方程为 任一截面的弯矩为 上述方程中的刚度系数r11、 r12和r22 ，自由项R1p和R2p ；单位位移时的任一截面的弯矩 和 及荷载单独作用于“基本结构”时任一截面的弯矩值Mp等无法直接查表求出，因各杆不属于单跨超静定

27、梁。可用力矩分配法来确定。 图(f) 基本结构Z1Z2(2)对于“基本结构”令Z1=1，Z2=0用力矩分配法求出 图，再利用平衡条件求出r11、 r21 ； (1)首先采用力矩分配法求出“基本结构”在荷载作用下的图，再利用平衡条件求出R1p和R1p ；步骤如下：(3)对于“基本结构”令Z1=0，Z2=1用力矩分配法求出 图，再利用平衡条件求出r22 、 r12 （ r12 = r21 ）； (4)求解位移法典型方程： 图(f) 基本结构Z1Z2(5)利用叠加公式求出各杆的杆端弯矩 (6)作M图。 例6 如图示刚架，作M图。 EABCq=20kN/mDF4m5m4m图(a) 4EI04EI05E

28、I03EI03EI04m6m解：线位移只有一个，即D点水平位移，取基本结构如图(b)所示。 EABCFZ1图(b) 基本结构D位移法典型方程为 利用力矩分配法求出荷载作用下的Mp图62.51.7146.854.9图(d) Mp图(kN.m)9.814.624.443.423.4340R1p图(c) 求出各立柱底端的剪力 利用平衡条件得 力矩分配法FQEB FQFC 利用力矩分配法求出支座D单位位移时的 图，如图(f)所示 图(e)力矩分配法图(f) 图(设EI0=1)0.9650.4670.3180.4880.8060.3400.4360.096求出各立柱底端的剪力 利用平衡条件得 解位移法方

29、程 注意：因设EI0=1，这不是真实的位移 叠加法求杆端弯矩 。图(g) M图(kN.m)作M图 r111FQEB FQFC 43.68.914.823.747.942.8254062.5图(g) M图(kN.m)43.68.914.823.747.942.8254062.59.4无剪力分配法 力矩分配法是无侧移刚架的一种渐进（逐次逼近）法，它不能直接应用于有侧移刚架的分析，但对于某些特殊有侧移刚架，可以用与力矩分配法类似的无剪力分配法进行计算。 (1) 无剪力分配法的应用条件 对于单跨多层刚架，在反对称荷载作用下，采用半刚架法分析时可简化为如图(a)所示形式的结构。图(a)ABCED结构的特

30、点： (a)各梁（CE 和BD）两端无相对线位移，这类杆件称为两端无相对线位移杆件； (b)各柱（AB和BC）两端虽然有相对线位移，但剪力是静定的，这类杆件称为剪力静定杆件。 无剪力分配法适用的条件： 刚架中除两端无相对线位移杆件外，其余杆件都属于剪力静定杆件。 它属于有侧移刚架，不能直接用力矩分配法。 图(b)所示的结构是否适用无剪力分配法？ ABCDE图(b)(2) 无剪力分配法的基本步骤 如图(a)所示刚架图(a)采用位移法分析时，基本未知量仅取角位移，基本结构如图(b)所示。 Z1图(b)基本结构(a)约束结构如图(c)所示，求出基本结构在荷载的作用下各杆的固端弯矩，利用结点A的平衡条

31、件，求出约束力矩R1p，即得不平衡力矩。 图(c)约束结构R1p=(b)原结构并没有R1p ，为了使基本结构的受力与原结构相同，把不平衡力矩反号加到基本结构上如图(d)所示。 -R1p图(d)放松结构+(c)叠加上述结果，即得原结构的杆端弯矩。 求出各杆的分配与传递弯矩。 在上面的(b)中，求出各杆的分配与传递弯矩时，要用到剪力静定杆件(立柱AB)的劲度系数S。对于该类杆件的劲度系数及传递系数是多少前面没有讲过，下面介绍剪力静定杆件的劲度系数和传递系数。 (3) 零剪力杆件的劲度系数和传递系数 在(b)中将不平衡力矩反号加到基本结构上后，立柱时，立柱AB-R1p图(d)放松结构AB变形特点：

32、A端既有线位移又有角位移，B端固定；受力特点：立柱AB的各截面的剪力为零，弯矩为常数(纯弯曲变形)。故称其为零剪力杆。如同悬臂梁自由端受集中力偶一样，如图(e)所示。 图(e) 悬臂梁MABAABEIl由材料力学知 设AB杆的线刚度 则 由平衡条件得 根据劲度系数的定义，可知零剪力杆的劲度系数为 图(f) 在消除 R3p 时-R3p根据传递系数的定义，可知零剪力杆的传递系数为 对于多层结构同样可以看出，在结点力偶的作用下，刚架中剪力静定杆件都是零剪力杆件，如图(f)所示。因此，消除不平衡力矩时，这些杆件都是在零剪力的条件下得到分配和传递，故得此名：无剪力分配法。 图(e) 悬臂梁MABAABE

33、Il例7 如图(a)所示刚架，作M图。 i=27i=27i=3.5i=3.5i=5i=58 kN17 kN3.3m3.6m图(a)4 kN4 kN8.5kN8.5 kN图(b)正对称荷载解： 不能直接用无剪力分配法。把荷载分组：正对称一组如图(b)所示，反对称为另一组如图(c)所示4 kN8.5 kN4 kN8.5 kN图(c)反对称荷载+在正对称荷载作用下，无弯矩，仅考虑反对称荷载情况即可。取半刚架如图(d)所示。注意：横梁的线刚度增加了一倍！ =AB4kN8.5kNi=5i=3.5i=54i=54CDE图(d)固端弯矩 分配系数 结点A： 结点B： 结点 A B C杆端 ADAB BABE

34、BC CB分配系数 0.9789 0.0211 0.0206 0.9501 0.0293 固端弯矩 -6.6 -6.6 -22.5 -22.5 结点 A B C杆端 ADAB BABEBC CB分配系数 0.9789 0.0211 0.0206 0.9501 0.0293 固端弯矩 -6.6 -6.6 -22.5 -22.5 分配传递-0.6 0.6 27.65 0.85 -0.85 结点 A B C杆端 ADAB BABEBC CB分配系数 0.9789 0.0211 0.0206 0.9501 0.0293 固端弯矩 -6.6 -6.6 -22.5 -22.5 分配传递-0.6 0.6 27.65 0.85 -0.85 7.05 0.15 -0.15 结点 A B C杆端 ADAB BABEBC CB分配系数 0.9789 0.0211 0.0206 0.9501 0.0293 固端弯矩 -6.6 -6.6 -22.5 -22.5 分配传递-0.6 0.6 27.65 0.85 -0.85 7.05 0.15 -0.15 0 0.14 0.01 - 0.01 结点 A B C杆端 ADA