第12章假设检验

1、第12章假设检验第十二章 假设检验 假设检验的基本原理 显著水平检验法与正态总体检验第十二章 假设检验 假设检验是对总体的分布函数的形式或分布中某些参数做出某种假设,然后通过抽取样本,构造适当的统计量,对假设的正确性进行判断的过程. 前面我们讨论了在总体分布族已知的情况下,如何根据样本去得到参数的优良估计.但有时,我们并不需要估计某个参数的具体值而只需验证它是否满足某个条件,这就是统计假设检验问题.第十二章 假设检验假设检验参数假设检验非参数假设检验总体分布已知，检验关于未知参数的某个假设总体分布未知时的假设检验问题第一节 检验的基本原理 一、检验问题的提法 假设检验是既同估计密切联系，但又有

2、重要区别的一种推断方法。 例如：某种电子元件寿命X服从参数为的指数分布，随机抽取其中的n件。测得其寿命数据， 问题，这批元件的平均寿命是多少？ 问题，按规定该型号元件当寿命不小于5000(h)为合格，问该批元件是否合格？ 问题是对总体未知参数=E(X)=1/作出估计。回答“是多少？”，是定量的。问题则是对假设“这批元件合格”做出接受还是拒绝的回答，因而是定性的。 对上述例子，还可做更细致考察，设想如基于一次观察数据算出的估计值 ，我们能否就此接受“这批元件合格”的这一假设呢？尽管 但这个估计仅仅是一次试验的结果，能否保证下一次测试结果也能得到的估计值大于5000呢？也就是说从观察数据得到的结果

3、 与参考值5000的差异仅仅是偶然的呢？还是总体均值确实有大于5000的“趋势”？ 这些问题是以前没有研究过的。一般而言，估计问题是回答总体分布的未知参数是多少？或范围有多大？而假设检验问题则是回答观察到的数据差异只是机会差异，还是反映了总体的真实差异？因此两者对问题的提法有本质不同。第一节 检验的基本原理 下面通过一个例子介绍原假设和备择假设二.原假设和备择假设第一节 检验的基本原理例1(酒精含量) 一种无需医生处方即可达到的治疗咳嗽和鼻塞的药。按固定其酒精含量为5.今从一出厂的一批药中随机抽取10瓶,测试其酒精含量得到的10个含量的百分数:5.01, 4.87, 5.11, 5.21, 5

4、.03, 4.96, 4.78, 4.98, 4.88, 5.06如果酒精含量服从正态分布N(,0.00016),问该批药品的酒精含量是否合乎规定?任务: 通过样本推断X的均值是否等于5.假设:上面的任务就是要通过样本去检验“X的均值=5”这样一个假设是否成立.(在数理统计中把“X的均值=5”这样一个待检验的假设记作“H0:=5”称为 “原假设”或 “零假设”.表明数据的“差异”是偶然的,总体没有 “变异”发生. 原假设的对立面是“X的均值10”记作“H1:10”称为“对立假设”或“备择假设”.表明数据的“差异”不是偶然的,是总体 “变异”的表现.把它们合写在一起就是:H0:=10 H1:10

5、 原假设H0表明含量符合规定，这个5也称之为期望数，尽管10个数据都5与有出入，这只是抽样的随机性所致;备择假设H1表明总体均值已经偏离了期望数5，数据与期望数5的差异是其表现.假设检验的任务 必须在原假设与备择假设之间作一选择检验统计量是构造一个适当的能度量观察数与原假设下的期望数之间的差异程度的统计量,此统计量为检验统计量.特点:在原假设H0下分布式完全一致或者说可以计算.因而通过标准化 可得到检验统计量三.检验统计量 本例的观察数通过样本平均 表示,它是的一个无偏估计,而H0在下的期望数为=5,在H0下 从试验数据判断是否导致一个矛盾的结果,一个重要的依据是小概率事件的实际推断原理. 看

6、例1,由观察数据,可算得的 观察值为4.989,代入统计量Z的表达式,得Z的观察值为 四.否定论证及实际推断原理 否定论证是假设检验的重要推理方法,其要旨是:先假定原假设H0成立,如果从试验观察数据及此假定将导致一个矛盾的结果,则必须否定这个原假设;反之,如果不出矛盾的结果,就不能否定原假设. 在H0下,Z服从标准正态分布,对于特定的一次试验,统计量Z取得观察值-2.7509，是十分罕见的，以至于实际不会发生.事实上,当H0成立时,事件发生的机会只有5(如图) 这是一个小概率事件.今从试验数据得到Z=-2.7509,由于 表明这一小概率事件在该次试验中发生,这与实际推断原理矛盾.因此否定原假设

7、.至此本例已获得解答,即基于数据该批药品的酒精含量不符合规定.注意: 在否定论中最终能否得出矛盾的结果，取决于数据.02.51.96-1.96-2.7509第二节 显著水平检验法与正态总体检验一.假设检验的两类错误 一类错误是,当H0为真时,因为尽管事件A|H0是小概率事件,但仍有可能发生,即样本观察值(x1,x2,.,xn)R时,按检验法则将拒绝原假设H0,这种错误称为第一类错误. 根据检验法则,若A发生则拒绝H0,否则接受H0.这不免要犯二类错误.第二节 显著水平检验法与正态总体检验一.假设检验的两类错误 另一类错误是,当原假设H0不真,即H1为真时,A也有可能不发生,即样本观察值(x1,

8、x2,.,xn)R*,按检验法则将接受原假设H0,这种错误称为第二类错误.第二节 显著水平检验法与正态总体检验正确正确H0 为真H0 为假真实情况所作判断接受 H0拒绝 H0第一类错误(弃真)第二类错误(取伪)注意:不可能消除这两种错误,而只能控制发生这两类错误之一的概率.一.假设检验的两类错误第二节 显著水平检验法与正态总体检验 我们当然希望独两类错误的概率都很小,但在样本容量n固定时是无法做到的.基于这种情况,且因为人们常常把拒绝H0比错误地接受H0看得更重些.因此人们希望在控制犯第一类错误的概率的条件下,尽量使犯第二类错误的概率小,但这也是不容易的,有时甚至是不可能的.于是人们不得不降低

9、要求,只对犯第一类错误的概率加以限制,而不考虑犯第二错误的概率,在这种原则下,寻找临界域C时只涉及原假设H0,而不涉及备择假设H1,这种统计假设问题称为显著性检验问题.对给定的犯第一类错误的概率称为显著性水平.第二节 显著水平检验法与正态总体检验二.显著水平检验法 显著水平检验法: 在数据收集之前就已经设定好一个检验规则,即文献上称之为拒绝域R,使得当样本观察值落入R就拒绝H0. 对拒绝域R的要求是:在H0 下样本落入R为一小概率事件,即对预先给定的01有 P(样本落入R|H0)此时称R所代表的检验为显著水平的检验第二节 显著水平检验法与正态总体检验(1) 根据问题的要求建立原假设H0和备择假

10、设H1;假设检验的方法步骤(2) 选取检验统计量T(X1,X2,.,Xn),要求T不含任何参数,以便计算H0为真时的条件概率;(3) 给定显著性水平,求出使PTR|H0的临界域C;(4) 若样本观察值T(x1,x2,.,xn)R,则拒绝原假设H0,否则接受H0.第二节 显著水平检验法与正态总体检验1).方差已知时总体均值的假设检验1 两个正态总体的假设检验第二节 显著水平检验法与正态总体检验第二节 显著水平检验法与正态总体检验找临界值u/2示意图0a/2ua/2a/2-ua/2第二节 显著水平检验法与正态总体检验作为未知参数的点估计,因此 偏小应该拒绝H0.若H0成立,例3 某降价盒装饼干，其

11、包装上的广告上称每盒质量为269g.但有顾客投诉，钙饼干质量不足269g。为此质检部门从准备出厂的一批盒装饼干中，随机抽取30盒，由测得的30个质量数据算出样本平均为268.假设盒装饼干质量服从正态分布N(，22),以显著水平=0.05检验该产品广告是否真实.解: 依题意,可设原假设H0:=269 备择假设 H1:269则有则在下ZN(0,1),即Z的分布已知，因而Z可以做检验统计量，偏小等价于Z偏小，从而得到拒绝域的形式如下其中k待定，称之为临界值.=0.05,为求显著水平0.05的检验,只需选取k使得查表可得因而得到水平0.05检验的拒绝域代入数据得Z=-2.74,显然小于临界值-1.64

12、5,因而依据检验规则应该拒绝H0,即该盒装广告又不是广告行为.第二节 显著水平检验法与正态总体检验). 方差未知时总体均值的双侧假设检验第二节 显著水平检验法与正态总体检验第二节 显著水平检验法与正态总体检验找临界值t/2示意图0a/2a/2-ta/2(n-1)ta/2(n-1)第二节 显著水平检验法与正态总体检验其中未知.今用S*代替,得到t的统计量例4. 在例3中,若盒装饼干重量服从正态分布N(,2), 与2均未知,已知样本平均 ,修正样本标准差为S*=1.8,求解相同的问题.解: 此时不能使用Z作为统计量,因为标准化变量为由正态总体抽样分布基本定理可知,在H0下可得到拒绝域的形式如下其中

13、k待定，称之为临界值.=0.05,为求显著水平0.05的检验,只需选取k使得因而得到水平0.05检验的拒绝域代入数据得t=-3.044,显然小于临界值-1.699,因而依据检验规则应该拒绝H0,即该盒装广告有不实广告行为.第二节 显著水平检验法与正态总体检验2 两个正态总体的假设检验第二节 显著水平检验法与正态总体检验1). 方差已知时均值的双侧假设检验因为 当H0成立时，统计量第二节 显著水平检验法与正态总体检验从而,对于给定的显著性水平,拒绝域为 第二节 显著水平检验法与正态总体检验2).方差未知时均值的双侧假设检验第二节 显著水平检验法与正态总体检验第二节 显著水平检验法与正态总体检验例5. 为评估某地区中学教学改革后教学质量情况，分别在1995年，1999年举行两次数学考试，考生是从该地区中学的17岁学生中随机抽取，每次100个。两次考试的平均得分分别为63.5,67.0.假定两次数学考试成绩服从正态分布N(,2), N(,2 ),分别在下列情况下,对显著水平=0.05检验该地区数学成绩有无提高.(1). 已知1=2.1, 2=2.2.(2). 假设1=2=但未知,且两次考试成绩的样本方差为S12=1.92,S22=2.012解: 由题意,可设原假设H0:1=2,备择假设H1:12.分别记1995年的样本平均为 ,1999年的为 ,可用 作1-2的点估计,因此