实变函数与泛函分析完整教学课件

1、实变函数与泛函分析完整教学课件实变函数与泛函分析前言课程的重要性课程讲授的主要内容教学目的难易程度考核方式实变函数与泛函分析的重要性在20世纪初期产生并发展起来的学科，是整 个分析数学中最年轻的学科之一从“经典理论”向“现代理论”转折的关口是联系各门课程的纽带随着科学技术的发展，人们逐渐认识到该课程内容的重要性，现在连一工科些院校都纷纷开设了这门课程主要内容实变函数主要讲授Lebesgue测度和Lebesgue积分的理论，泛函分析则讲授关于抽象空间和算子的理论。二者合在一起构成现代数学的重要基础。实变函数与泛函分析的主要内容概括为五大论：五大论：集合论-着重介绍 Cantor 关于集合的势论的

2、知识.测度论-讲解 Lebesgue 测度的思想与方法.积分论-讲解 L 积分的定义、性质、极限定理和 L 可积函数空间，积分与微分的关系.空间论-主要讲述无穷维赋范空间和内积空间，以及与共轭空间有关的知识.算子论-主要讲述三大基本定理（共鸣定理、开映射定理、闭图像定理），共轭算子以及算子谱理论.教学目的 使学生掌握 L 测度与 L 积分的基本理论、基本思想与方法，为今后进一步使用现代分析普遍应用的这一基本工具打下基础。 使学生掌握有关空间和算子的基本理论和思想方法. 认识和理解现代数学中公理化、抽象与具体、理论和应用密切联系的特点并加以应用. 通过与其他学科的联系，加强学生对于数学思想方法的

3、内在联系和一致性的认识，从整体上提高学生的数学素养 课程难度与考核方式内容抽象，难度较大平时表现分+考试分数， 比例认真学习则无须担心考核第一章 预备知识实数的完备性集合运算可数集与不可数集实轴上的开集和闭集这七个基本定理是彼此等价的.它们从不同的角度刻划了实数的完备性或连续性，并且它们是论证其他一些重要定理或命题的依据我们按照以下的路线来证明以上7个定理：首先假设区间套定理成立，然后证明7个定理是等价的；最后证明确界存在定理正确由以上证明可以看出定理1.1.1-定理1.1.7是相互等价的. 由其中任何一个定理出发可以证明另外的定理. 巧妙地选择这7个定理作为方法，可以证明其他的一些有趣命题.

4、集合. 点集集合论自19世纪80年代由德国数学家Cantor创立以来，已发展成为一个独立的数学分枝，其基本概念与方法已渗入到20世纪的各个数学领域。作为实变函数理论的预备知识，我们仅仅对一般集合作一必要的介绍集合. 点集集合是一个不给定义的概念. 就我们的实际应用范围来说，通过朴素的描述方法来进入这一领域就足够了.例如自然数全体构成一个集合. 通常采用的集合表示方法有2种： 列举法和描述法。注 集合的值积：设X,Y 是2个集合，称一切有序“元素对”（x，y）（其 中 ）构成的集合为X与Y的直积集，记为需要注意的几个问题集合列的极限Cantor（三分）集n维欧式空间中的点集第一章 预备知识实数的

5、完备性集合运算可数集与不可数集实轴上的开集和闭集这七个基本定理是彼此等价的.它们从不同的角度刻划了实数的完备性或连续性，并且它们是论证其他一些重要定理或命题的依据我们按照以下的路线来证明以上7个定理：首先假设区间套定理成立，然后证明7个定理是等价的；最后证明确界存在定理正确由以上证明可以看出定理1.1.1-定理1.1.7是相互等价的. 由其中任何一个定理出发可以证明另外的定理. 巧妙地选择这7个定理作为方法，可以证明其他的一些有趣命题.第三章 距离空间 本章主要介绍距离空间的定义及例子、稠密性、距离空间的完备性、不动点定理以及紧性与连续映射等相关概念和知识。3.1 距离空间的定义及例子3.2

6、收敛概念3.3 距离空间的完备性和稠密性3.4 距离空间的可分性与列紧性3.5 距离空间上的连续映射3.6 不动点定理及其应用问题的提出及不动点不动点定理不动点定理的应用3.6.1 问题的提出及不动点3.6.2 不动点定理3.6.3 不动点定理的应用1 在线性代数中的应用第四章 线性赋范空间与有界线性算子 本章是该课程最主要的部分,前三章为本章的基础.泛函分析的主要思想和结果都在本章中给出,它们可直接用于研究工程技术问题.4.1 线性赋范空间 4.1.1. 定义及例子 在距离空间中,并未考虑其元素之间的关系.但是事实上,在某些具体的空间,如 , , 及 等中,已经用了其元素的加法与数乘.本章将

7、在线性空间中引入范数,成为线性赋范空间. 定义 4.1.1 设 是一个实数域或复数域 上的一个线性空间,若存在 上的函数 ,满足: (1) 非负性: ; 正定性: ( , 为 中零元). (2) 正齐性: ( , ). (3) 次可加性: ( ). 则称 为 上的一个范数,而 称为 的范数. 此时 称为线性赋范空间,简称赋范空间,记为 . 注:若将(1)中的正定性去掉,则称 为一个半范数或拟范数. 若将(1)中的正定性改为 ,范数定义不变.因为,根据正齐性,令 ,则 .任何线性赋范空间 ,都可按照距离 成为一个距离空间.从这种意义上,任一赋范空间都是距离空间,并称该距离为由范数诱导的距离. 因

8、此第3章中关于距离空间的结论在赋范空间中均成立.如 , 后者称为按范数收敛. 又如 是 的连续函数. 线性空间上的距离未必都能由范数诱导. 线性空间 上的一个距离 能由范数诱导 及 对一切 及 成立. 定义 4.1.2 设 为赋范空间,若 按照距离 是完备的,则称 为Banach空间. 按照距离 是完备的,且距离可由范数 诱导. 因此 是Banach空间. 对 ,令 则 也是Banach空间. ,是Banach空间.例 4.1.1 有界数列全体 ,按数列通常加法与数乘构成一个线性空间.且距离 , 其中 , 可由范数 诱导,则它是一个Banach空间.例 4.1.2 设 为闭区间 上所有本性有界

9、可测函数,按照函数的通常加法与数乘构成的线性空间,规定几乎处处相等的函数为同一函数.定义 其中, ,则易验证 为 上的一个范数,称为本性最大模,且 为Banach空间.4.1.2. 不同范数之间的等价性在同一个线性空间中,往往可定义多种不同的范数,如 中,可定义 等三种范数. 下面讨论不同范数之间的关系.定义 4.1.3 设 与 为线性空间 中的两种范数,若对 ,有 ,则称 比 更强; 若 比 更强, 比 也更强,则称 与 等价.范数等价具有自反性,对称性及传递性.定理 4.1.1 设 与 为线性空间 中的两种范数,则 比 更强 ,使对 ,有 . 注 充分性显然，必要性用反证法推论4.1.1

10、设 与 为线性空间 中的两种范数,则 与 等价 , 使对 ,有 4.1.3 有限维线性赋范空间首先复习一下线性代数中基底,坐标及维数等基本概念. 定义4.1.4 若线性空间 中存在 个线性无关向量 ,使得 ,均存在唯一的 ,使 可以表示为 ,则称 为 的一个基底, 为坐标. 称为空间的维数, 为零维线性空间.所有 维线性空间为有限维线性空间,有限维赋范空间又称为Minkowski空间,如 ;所有非有限维线性空间都叫无限维线性空间.Eg. , , .代数同构映射保持两线性空间中的加法和数乘. 维线性空间 一定与 代数同构.进一步,若 还是赋范空间,则 , ,范数相等的同构映射称为等距同构. 定理

11、 4.1.2 若 为有限维线性赋范空间,则 上的所有范数互相等价.定理 4.1.3 设 为线性赋范空间,则 有限维 中的单位球致密 中的单位球全有界. 推论 设 为一个无线维赋范空间,则 中单位球一定不是紧集.4.2 有界线性算子4.2.1. 定义及例子定义 4.2.1 设 与 为同一数域 上的两个线性空间, ,若对每个 ,按照某种法则 ,存在唯一的 与之对应,则称 为 中 到 的一个算子或映射. 称为 的定义域,记为 , 称为 在 下的像,集合 称为 的值域,记为 或 .习惯上,若 均为数空间,称 为函数.若 为线性赋范空间,称 为算子.若 为赋范空间, 为数空间,则称 为泛函(例如积分),

12、用 表示 .若 为数空间, 为赋范空间,称 为抽象函数. 例: 为数空间, 为赋范空间, ,则 ( 固定) ,则 为 张成的一维赋范空间. 记为 或 .定义 4.2.2 设 ,若对 ,均有 ,则称 为可加的;若对 ,及 ,均有 ,则称 为齐性的.齐性且可加的算子称为线性算子. 由定义可知,若 为线性算子,则 一定是 中的一个线性子空间,且值域 也是 中的线性子空间,且有 . 以下设 , 与 均为线性赋范空间.算子 在 连续是指 ,总有 ;若 在 上每点均连续,则称 为连续算子.引理1 设 为线性算子,对某个 ,则 在 点连续 为连续算子.定义 4.2.3 若 ,使对 ,均有 ,则称 为有界算子

13、,否则称 为无界算子.注意:因 与 属于不同空间,范数的定义也不同.有界算子把有界集映为有界集,但反之不一定成立. 无界 ,均 , 使 .引理2 设 是线性算子,则 有界的充要条件是 把中的有界集映为 中的有界集.例 4.2.1 维Euclid空间 中的任一线性变换 是 上的有界线性算子.思考题 设 与 为两个Minkowski空间,则 到 的线性算子一定有界.例 4.2.2 设 为赋范空间, ,算子 称为 上的相似算子.显然,它是一个有界线性算子. 时称为零算子; 时称 为不变算子或恒等算子或单位算子,分别用 与 表示.例 4.2.3 设 ,令 , 则 是 到 的有界线性算子.其中 为 的对

14、偶数.例 4.2.4 设 ,取定 ,令 ,则 是 上的一个有界线性泛函.例 4.2.5 用 表示在 上连续可微函数全体,并把它看作是 的一个子空间,则微分算子 是 到 的无界线性算子.思考题 证明 是 到 的无界线性算子.4.2.2 有界线性算子的性质定理 4.2.1 设 是线性算子,则 连续等价于 有界.定义 4.2.4 设 是线性算子,若 则称 为算子 的范数. 易证: 有界 . 当 为有界线性算子时, 称为 的范数,且对 有 . 定理 4.2.2 设 为有界线性算子,则例 4.2.6 设 在正方形域 上连续,且有 ,则 是 上的有界线性算子,且 .4.2.3. 线性算子空间定义 4.2.

15、5 设 与 为同一数域 上的两个线性赋范空间,记 到 的线性算子全体为 , 到 的有界线性算子全体为 ,在 中定义加法和数乘:易验证 关于上述加法与数乘为一个线性空间.而 为 的一个线性子空间,称为有界线性算子空间.零算子 为其中的零元. 易验证 为一个线性赋范空间,其中: 特别, 上的有界线性泛函全体 称为 的共轭空间,记为 .定义 4.2.6 设 与 为同一数域 上的两个线性赋范空间, ,若 ,则称有界线性算子序列 按算子范数收敛到 ,或称 一致收敛到 ,记为 (或 ).若对每个 ,均有 , 则称 强收敛到 ,记为 (相当于处处收敛).若对每个 ,及 ,均有 ,则称 弱收敛到 ,记为 .

16、显然: ,反之一般不成立. 若 与 为有限维空间,则 .例 4.2.7 强收敛但不一致收敛的算子序列. 在 中,定义左移算子序列 ,对 ,有 ,显然 是 上的有界线性算子,则易验证 ,且对 , 有 (余项 ),故 , 令 ,则 ,且 ,于是有 ,则 . 定理 4.2.3 若 为线性赋范空间, 为Banach空间,则 是Banach空间.推论 设 是线性赋范空间,则其共轭空间 一定是Banach空间.定义 4.2.7 设 为线性赋范空间, ,若 ,则称泛函序列 强收敛于 (相当于算子序列的一致收敛),记为 . 若对每个 , 均有 ,则称 弱*收敛到 (相当于算子序列的强收敛),记为 .4.2.4

17、. 算子乘法定义 4.2.8 设 , 与 为同一数域 上的线性赋范空间, ,则称 的算子 为 与 的乘积.特别,若 ,称 为 左乘 , 或 右乘 .显然, ,但一般 .若 ,则称 与 可交换. ,且 .若 ,则对 ,可归纳定义 ,且易验证 .若记 ,则可考虑算子多项式 ,其中 为常数.易证, , 且有 .4.3 连续线性泛函的表示及存在性本节将研究在某些具体空间中,线性连续泛函的一般形式,即所谓线性连续泛函的表示,并回答连续线性泛函的存在性问题.4.3.1. 几个空间上连续线性泛函的一般形式(1) 维Euclid空间 首先,对每个给定的 ,若定义 , , 则 为连续线性泛函. 线性显然,由Ho

18、lder不等式 故 有界,且 .定理4.3.1 设 为 上的一个线性泛函,则存在唯一的 ,使对 ,有 ,且 .定义 4.3.1 设 与 为同一数域 上的两个线性赋范空间,若存在 的等距线性映射,则称 与 保范线性同构,简称保范同构. 此时 称为一个保范线性算子,而映射称为保范线性映射.定义 4.3.2 设 是一个线性赋范空间,若在保范同构同一化的意义下, ,则称 为自共轭的. 由定理 4.3.1知, 是自共轭的.此外,易知自共轭空间一定是Banach空间.(2) 空间 首先,对 ( 为 的对偶数),定义 易验证: 是 是连续线性泛函,且由Holder不等式,可知 .定理 4.3.2 设 为 上

19、的连续线性泛函,则必存在唯一的 ( 为 的共轭数),使对 ,有 ,且 .关于定理 4.3.2的说明, .特别, 是自共轭的.此外可以证明, ,但 .(3) 空间定理 4.3.3 设 为 上的一个连续线性泛函,则必存在唯一的 ( 为 的对偶数),使对 ,有 ,且 . 关于定理 4.3.3的说明, ,特别, 是自共轭的,但 . (4) 空间 先给出有界变差函数及Riemann-Stieltjes积分的概念.定义4.3.3 设 为闭区间 上的实函数,若存在常数 ,使对 的任一 型分割 ,都有 ,则称 为 上的有界变差函数. 记 为 上有界变差函数的全体,易证: 1 上单调函数一定是有界变差函数. 2

20、若 在 上满足Lipschits条件,即 ,使对 ,有 ,则 必是有界变差函数. 3有界变差函数必是有界的. 不难证明, 按照函数的通常加法与数乘构成一线性空间.对 ,若令 ,则 按照范数 成为线性赋范空间.这里 ,称为 在 上的全变差.易验证 为 上的一个范数.又令 ,易验证 为 的线性子空间,且对 ,有 为 在 上的全变差.定义 4.3.4 设 为 上的两个实函数, 有一分割 ,令 , 任取 ,称 为 关于 的Riemann-Stieltjes和,简称R-S和.若 存在,且与分割 及 的选取无关,则称该极限值为 关于 的Riemann-Stieltjes积分,简称R-S积分,记为 可以证明

21、,若 ,则R-S积分 存在.定理 4.3.4 （F.Riesz定理) 设 为 上的连续线性泛函,则必存在唯一的 ,使对 ,有 ,且 .4.3. 2. 连续线性泛函的存在性 定理 4.3.5 (Hahn-Banach定理) 设 为线性赋范空间,则 ,必存在 ,使得 , 且 . 该定理说明,在任何有非零元的线性赋范空间上,必存在非零的连续线性泛函.推论 设 为线性赋范空间, ,若 ,均有 ,则 . Hahn-Banach定理,逆算子定理,闭图像定理及共鸣定理并称为泛函分析的四大定理.严格来说,定理4.3.5并不是真正的Hahn-Banach定理,它不过是Hahn-Banach定理一个极简单的推论.

22、真正的Hahn-Banach定理是所谓的泛函延拓定理.定理 4.3.6（Haha-Banach）设 为线性赋范空间, 为 的线性子空间,则对 上的任一连续线性泛函 , 必存在 上的连续线性泛函 ,满足: () 当 时, ; () .4.4 共轭空间和共轭算子本节进一步讨论线性赋范空间与其共轭空间之间的关系,并建立共轭算子的概念.4.4.1. 共轭空间与二次共轭空间设 为赋范空间, 为其共轭空间,称 为 的二次共轭空间,类似地可定义高次共轭空间:若 ,则称 为自反的,eg: .自反的空间一定是Banach空间. ( 是Banach空间, 也是Banach空间).若 是自反的,则 都是自反的. 1

23、当 具有非零元时, 都具有非零元. 2当 时, 是自反的; 是共轭的.不完备的空间(非Banach空间)一定不是自反的;完备的但非自反的有 空间.定理 4.4.1 设 为赋范空间,则 ,即 与 的一个线性子空间保范同构.定义 4.4.1 设 为线性赋范空间, ,若对 ,均有 ,则称 弱收敛到 ,记为 .显然 .4.4.2. 共轭算子定义 4.4.2 设 与 为两个线性赋范空间, , 若 ,使 及 ,均有 ,则称 为 的共轭算子或伴随算子.定理 4.4.2 设 与 为两个线性赋范空间,则有: 1 对每个 ,存在唯一的共轭算子 . 2 映射 是 到 的保范线性映射. 3 .例 4.4.1 设 ,对

24、 ,令 则易知 ,求 .4.5 逆算子定理、闭图像定理和共鸣定理本节介绍算子理论的三条基本定理,它们与Hahn-Banach定理一起奠定了泛函分析的理论基础,并有着广泛的应用范围.4.5.1. 逆算子定理定义 4.5.1 设 与 为同一数域 上的两个赋范空间,若 是11对应,则称 为可逆算子,记其逆为 . 1 . 2若 线性,则 也线性. 3 . 4设 ,若 ,使 , ,则 可逆,且 .定义 4.5.2 设 与 为同一数域 上的两个赋范空间, 是线性算子,若 是可逆算子,且 有界,则 为正则算子.定理4.5.1（Banach逆算子定理）设 与 为两个Banach空间,若 ,且 是 的11对应, 则 有界,即 为正则算子.引理 1 设 为线性赋范空间 的稠密子集,则对 , ,有 ,其中 ,且 .引理 2 在定理4.5.1的条件下,令 ,则存在一个 在 的某个闭球中稠.引理 3 在定理4.5.1的条件下,必存在一个 ( 的定义如引理2)在 中稠密.例 4.5.1 设线性空间 关于范数 与 均成为Banach空间,若 比 更强,则 与 等价.4.5.2. 闭图象定理设 和 为同一数域 上的两个线