专题从古典概率论到现代概率论

1、专题7 从古典概率论到现代概率论教育硕士 林清峰1参考文献：1.（美）H.伊夫斯，数学史概论，欧阳绛译，山西人民出版社，19862.（美）H.伊夫斯，数学史上的里程碑，欧阳绛等译，上海科学技术出版社，19903吴文俊主编，世界著名数学家传记（上下集），科学出版社，1995，20034.（美）E.T.贝尔，数学精英，徐源译，商务印书馆，19915.（美）M.克莱因，西方文化中的数学（1953），张祖贵译，复旦大学出版社，20046张尧庭，概率概念的发展和争论 以及它对实践的指导意义，邓东皋等编数学与文化，北京大学出版社，19907柳延延，概率与决定论，上海社会科学院出版社，19968.（美）J.

2、L.福尔克斯，统计思想，魏宗舒、吕乃刚译，上海翻译出版公司，19879.（美）C.R.劳，统计与真理怎样运用偶然性，科学出版社，200410高庆丰，欧美统计学史，中国统计出版社，198711周述岐，数学思想史和数学哲学，中国人民大学出版社，19932一、前史概率论的酝酿（16世纪前后的两百余年间） 概率的数学理论是由于研究一些有关机遇现象而产生的，典型的例子是赌博、游戏中的问题。在公元前2000年的埃及古墓中，已有正立方体的骰子，在古代的游戏与赌博活动中就有概率思想的雏形。但概率论作为一门学科，则酝酿于16世纪前后的两百余年间。它产生的原因虽然是多方面的，但主要是由于当时保险业的产生与发展以及

3、赌博业的盛行。3在这一时期，相当多的数学家对赌博中的问题产生浓厚的兴趣，其中以帕乔利、卡尔达诺为代表。4帕乔利 (L.Pacioli ，约14451517，意大利） 1494年 算术，几何，比及比例全书赌博中断问题：两个赌徒相约赌若干局，双方各拿出相同数量的赌金，谁先胜 s局谁就赢得全部赌金。但是，当一个赌徒胜 a局（a s），另一个胜 b局（b s）时，赌博因故中断，问应该如何分配赌金。 5卡尔达诺 (G.Cardano ，15011576，意大利)。 赌博之书 (1539，出版于 1663)： 对赌博中断问题的继续讨论； 点问题：掷两颗或三颗骰子时在一切可能的方法中有多少种方法得到某一总点

4、数 ； 大数定律的雏形：在抛掷硬币的试验中，每次出现正面或反面虽属偶然，但在大量重复试验中，出现正面（对称地，出现反面)的频率却必然地接近于定数 12 ； 在 n次独立事件中，如果事件本身的概率是 p，那么它连续发生 n次的概率是p的n次方 6二、概率论的创立与发展古典概率论/组合概率时期（1718世纪）从17世纪中期概率论的产生到18世纪末，约一个半世纪的时间里，概率论主要以计算各种古典概率问题为中心发展着，因而将其称为古典概率时期；由于这个时期的概率论主要以组合论为工具，所以也称为组合概率时期。 7这一时期的代表人物有：帕斯卡、费尔马、惠更斯、雅各伯努利、德莫弗尔、贝叶斯8帕斯卡（B.Pa

5、scal，16231662，法国）费尔马（P.de Fermat ，16011665，法国） 二人关于赌博中断问题研究的通信，不仅有关于这个问题的不同解法，还从对一些特殊问题的解答中归纳出了一批范围广泛的结论，并且在一定程度上揭示了一般方法，这些工作标志着作为一门数学分支的概率论的诞生。9惠更斯 (C.Huygens ，16291695，荷兰) 论赌博中的推理(1657) 第一篇关于概率论的正式论文 数学期望：如果 p表示一个人获得一定金额 s的概率，则 sp 称为他的数学期望。 10雅各伯努利（Jacob Bernoulli ，16541705，瑞士） 猜度术（出版于1713年）“把概率论建

6、立在稳固数学基础上的首次认真的尝试” ：关于惠更斯论赌博中的推理的一个精彩评注 对排列组合理论的深入研究 将排列组合理论运用于概率论 概率论在法律和经济等问题上的应用 伯努利大数定律 (大数定律的最早形式)，这是占据猜度术全书中心位置的结果，被称为“主命题”，是概率论中的第一个极限定理。雅各伯努利考虑的是最简单的情形，即在整个试验序列中，某个给定事件出现的概率始终保持为常数 11德莫弗尔 (De Moivre，16671754，法国) 论抽签的原理(1711年发表于哲学学报) ；机会论(1718，1738，1756)：在对持续赌博问题的研究上取得了明显的进步，给出了较清晰的组合公式，使用了不同

7、的方程，用循环序列来解决问题，并且在用正态逼近来说明问题时使用了函数，成为拉普拉斯用分析方法研究概率论的先导。；分析杂论 (1730) ：正态分布 12贝叶斯 (Thomas Bayes，17021761) 1763 An essay towards solving a problem in the doctrine of chances ： 将概率的概念和推理的方法、公式，扩展和提高为处理一般科学问题的原理 ； 给出了著名的贝叶斯公式 ； 提出了贝叶斯假设 13在书中贝叶斯给出了概率的定义： “任一事件的概率是这样的比值：一个是由于这一事件发生应计算的期望的值，一个是会发生的事情的相应的值。

8、机会（chance）我认为就是概率。”14几个重要的问题逆概率（inverse probability）彼得堡悖论 Bernoulli-Euler 关于装错信封的问题 秘书问题 布丰（Buffon）投针问题（1777） 15今天看来，概率论最初考虑的问题，其样本空间 (这一概念是德国数学家冯米泽斯 (von Misses)于1931年提出的。) 都是由有限个元素构成的。随着概率论的发展，这种样本空间的局限性越来越明显。把等可能性思想发展到包含无穷多个元素的样本空间，就产生了几何概率。将概率的古典定义与几何定义稍作比较就会发现，在古典定义里，只有不可能事件的概率才是，而在几何定义中，概率的事件未

9、必是不可能的 16三、概率论的发展分析概率论（18世纪末19世纪末）从18世纪末到19世纪末的约一个世纪的时间里，在概率论的研究中引入了母函数与特征函数的概念，并逐渐引进了已经成熟的分析工具，特别是高斯和拉普拉斯等人建立的关于“正态分布”以及“最小二乘法”的理论对于用概率论研究天文观测、大地测量和物理观测的结果起了重大作用，使概率论的发展进入了一个新的时期分析概率时期。 17这一时期代表人物有：高斯 、拉普拉斯 、泊松 、俄国彼得堡学派（切比雪夫 、马尔科夫 、李雅普诺夫 ）等人18高斯 (Gauss，1777-1855) 最小二乘法的误差理论的基础： 对观测天体及进行大地测量时的误差问题进行

10、了研究，导出了误差函数。设误差为 X，则误差的分布就是今天所说的正态分布。因此，后人又称正态分布为高斯分布 19拉普拉斯 (Laplace，17491827 ） 概率的分析理论（1812）： 对概率论早期成果的系统总结；首次明确给出了概率的古典定义；在概率论中引入了差分方程、母函数等强有力的分析工具，从而实现了概率论由单纯的组合计算到分析方法的过渡。20概率的古典定义：在某组条件 (S)下进行试验，一共有 N个两两互不相容而等可能的结果 (基本事件）发生，其中 M个是适合事件 A的结果，那么 A的 古典概率是 P(A) MN . 这个定义实际上是把概率概念化为事件的等可能性，而把计算概率的问题

11、归结为组合问题。虽然直到拉普拉斯才明确给出了这个定义，但可以认为，早在概率论的初创阶段其基本思想已经以某种形式为人们所默认。21从概率论的初创阶段直到19世纪，“等可能性”一直是一个基本而核心的概念，它指的是每个简单事件具有相同的概率。人们对这一性质的认识经历了相当曲折的过程，最终用概率测度概念取代了它。 22概率的古典定义有着不可克服的缺点，首先，“等可能性”并不总是容易判断的；其次，当基本事件的总数不是有限的时，古典定义也无法适用。为了克服第二个缺点，18世纪时引入了概率的几何定义，但这一定义仍然依赖于等可能性，从而不能克服第一个缺点。 23泊松 (Poisson，17811840) 关于

12、刑事案件和民事案件审判概率的研究 (1837) 引入泊松分布推广大数定律24彼得堡学派（切比雪夫 、马尔科夫 、李雅普诺夫 ）切比雪夫 (Tschebyscheff ，1821-1894）：在一系列研究中切比雪夫首先引入并提倡使用的随机变量概念，后来成为概率论与数理统计中最重要的概念。建立了切比雪夫不等式，证明了泊松形式大数定律，建立了有关独立随机变量序列的大数定律并对随机变量和收敛到正态分布的条件，即中心极限定理进行讨论。 25马尔科夫 (Markov，18561922) ：致力于独立随机变量和古典极值理论的研究，从而改进和完善了大数定律和中心极限定理 ，对相依随机变量序列的研究，创立了以他

13、命名的著名的概率模型 马尔科夫链。李雅普诺夫 (A.Liapounoff，18571918)利用特征函数方法，对一类相当广泛的独立随机变量序列证明了中心极限定理。他还利用这一定理第一次科学地解释了实际中遇到的许多随机变量近似地服从正态分布。 26贝特朗 (Bertrand) 悖论 (1889) 在圆内任作一弦，求其长度超过圆内接正三角形边长的概率 ，按不同的解法可得1/2、1/3、1/4。其所以产生悖论，是由于在这一问题中未给出“任意作一弦”这个概念明确的定义。最本质的，是对“等可能性”的概念的不同规定，从而造成了计算结果的不同。实际上，当一个随机试验有无穷多个可能的结果时，有时很难客观地规定

14、“等可能”这一直观概念。 27 拉普拉斯建立的古典概率理论的逻辑基础十分脆弱，对于事件的概率定义及运算都要用到“等可能性”概念，而在一个具体问题上还需要考察有多少等可能的情形。贝特朗悖论的出现表明了直观的、经验性的概率概念的本质缺陷，对建立概率论的严密逻辑基础提出了要求。28四、概率论的公理化现代概率时期（20世纪） 拉普拉斯 (Laplace ) 所给出的古典先验概率定义虽然在整个19世纪被广泛接受，但是由于他未能进一步探讨这一理论及其应用的基础从而缺少数学的严密性，所以1920年以前的概率论从整体上看是相当混乱的，甚至象庞加莱（Poincare) 和波莱尔 (Emile Borel，187

15、11956）这样的大数学家也没能在令人满意的基础上给出相应的严密理论。 29 1917年，.伯恩斯坦提出了概率论的第一个公理化体系。* 30主观学派英国经济学家、数学家凯恩斯 (J.M.Keynes) ：概率论（完成于1911年，出版于1921年)英国的莱姆赛 (F.Ramsey，1926) 意大利的菲纳特(B.De Finnetti，1937) 赛维奇 (L.J.Savage，1954) 31主观学派主观学派的人认为，贝叶斯陈述概率是两个数之比的说法，只是告诉人们应该去猜测，重点不是他猜测的是多少。主观学派认为猜测不是随便乱说，一个人的猜测一定要前后一致，不能自相矛盾 。从凯恩斯起，对主观概

16、率提出了几种公理体系，但没有一种堪称权威。也许，主观概率的最大影响不在概率论自身，而在于数理统计学近年来出现的贝叶斯统计学派 32频率理论学派（统计学派）德国数学家冯米泽斯 (von Mises ) ：1919年，运用公理方法给出了在统计频率比的性质的基础上的概率定义 ； 1928年，在概率，统计和真理一书中建立了频率的极限理论。 1931年，提出了样本空间的概念。这个概念使得有可能把概率的严格的数学理论建立在测度论的基础上。 33频率理论学派（统计学派）德国哲学家赖欣巴赫 (Hans Reichenbach，18911953） ：1935年发表在专著概率论，试图建立概率理论的令人满意的公理体系；是为概率的频率解释作辩护 3420世纪初 ， 勒贝格 (Lebesgue)创立的测度论和积分论以及随后发展起来的抽象测度和积分理论为概率论的公理化发展提供了新的手段。 35柯尔莫哥洛夫 (Kolmogoroff ，1903-1987，前苏联） 1929 一般测度论和概率计算以测度论和实变函数论为基础对概率论公理作了初步论述 ；1933 概率论的基本概念提出了概率论的公理化结构，明确了概率的定义和概率论的基本概念 36柯尔莫哥洛夫的方法是从概率的一些主要性质入手，这些性质无论是建立在古典的定义上还是建立在统计的定义上都有效 ，他不仅开始了把概率论发展成为一门数学科学的新阶段，而且对