专题十七--滚动的圆与圆面覆盖问题

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专题十七 滚动的圆与圆面覆盖问题知识聚焦当圆无滑动地滚动时，探讨圆自转的圈数是一类有趣的问题这类问题有下列基本情形： 1圆沿直线无滑动地滚动如图，半径为的圆沿一条直线无滑动地滚动，假设圆心向前移动的距离为则圆滚动的圈数为2圆沿折线无滑动地滚动如图，半径为的圆沿拐角的外部滚动，圆心0运动的路线为：线段（以点B为圆心，为半径，圆心角为线段如图，半径为的圆沿拐角的内部滚动，圆心O运动的路线为：线段线段 3圆沿曲线无滑动地滚动 二、用一张或几张硬纸片去盖住一个平面图形，讨论是否

2、盖得住的问题，这就是所谓的平面图形的覆盖问题，用一张圆形纸片去覆盖一个平面图形是基本的覆盖方式 解覆盖问题常用到以下性质： 1半径较大的圆形纸片可以盖住半径较小的圆形纸片2如果纸片G能覆盖区域F，那么纸片G的面积一定不小于区域F的面积例题导航 【例1】如图，一位小朋友在不打滑的平面轨道上滚动一个半径为10 cm的圆盘，当滚到与坡面BC开始相切时停止其中与水平面的夹角为 (1)求出圆盘在AB上滚动一圈，其圆心所经过的路线的长度（结果保留）； (2)当圆盘从点A滚到与BC开始相切时停止，其圆心所经过的路线长是多少（精确到 点拨：(1)圆盘在AB上滚动一圈，其圆心所经过的路线的长度就等于圆的周长，根

3、据圆的周长公式求出；(2)当圆与BC相切时，圆与AB、BC都相切，且在中，可以求出BE，则圆心转过的路线是AE，在中根据已知条件求出BE就可以求出AE. 解答：(1) 圆盘在AB上滚动一圈，其圆心所经过的路线的长度就等于圆的周长，而圆盘半径为圆心经过的路线的长度是(2)当圆转动到与BC相切，停止的位置设为与AB切于E，连接DE、DB，则在中，圆心经过的路线长约是 点评：本题主要考查了切线的性质、切线长定理及利用三角函数解直角三角形等知识，有一定的综合性 【例2】我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆，例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆 (1)请分别作出图中两

4、个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)探究三角形的最小覆盖圆有何规律，并写出你所得到的结论（不要求证明）； (3)某地有四个村庄E、F、G、H（其位置如图所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？请说明理由. 点拨：本题关键要确定最小覆盖圆的半径，然后才能作答根据EFH是锐角三角形，可知其最小覆盖圆为EFH的外接圆，中转站建在EFH的外接圆圆心处（线段EF的垂直平分线与线段EH的垂直平分线的交点处），才能够符合题中要求解答：(1)如图 (2)若三角形为锐

5、角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆 (3)此中转站应建在EFH的外接圆圆心处（线段EF的垂直平分线与线段EH的垂直平分线的交点处）理由：是锐角三角形，其最小覆盖圆为EFH的外接圆，设此外接圆为直线EG与交于点E、M，则点G在内，从而也是四边形EFGH的最小覆盖圆中转站建在EFH的外接圆圆心点P即为所求，如图所示 点评：本题结合三角形外接圆的性质作图，关键要懂得何为最小覆盖圆知道若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长动（直角或钝角所对的边）

6、为直径的圆，【例3】 如图，均做无滑动滚动，、均表示与线段AB或BC相切于端点时刻的位置，的周长为阅读理解：(1)如图，从的位置出发，沿AB滚动到的位置，当时，恰好自转1周；(2)如图，相邻的补角是O在外部沿A-B-C滚动，在点B处，必须由的位置旋转到的位置，绕点B旋转的角O在点B处自转周实践应用：(1)在阅读理解的(1)中，若则0自转 周；若则0自转 周，在阅读理解的(2)中，若则O在点B处自转 周；若则0在点B处自转 周；(2)如图，O以的位置出发，在外部沿A-B-C滚动到的位置，00自转了 周拓展联想：(1)如图，ABC的周长为从与AB相切于点D的位置出发，在ABC外部按顺时针方向沿三角

7、形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，自转了多少周？请说明理由；(2)如图，多边形的周长为从与某边相切于点D的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点D的位置，直接写出自转的周数点拨：实践应用：(1)读懂题意，套公式易得若则自转2周；若则自转周在阅读理解的(2)中，若则在点B处自转周；若0在点B处自转周；(2)因为则0自转（周）拓展联想：由于三角形和多边形的外角和是则共自转了周解答：实践应用：拓展联想：的周长为O在三边上自转了周又三角形的外角和是在三个顶点处，自转了（周）O共自转了周，周. 点评：此题主要考查多边形外角的性质，也是一道探索规律题，找准规律是关键 【

8、例4】如图，圆在正方形的内部沿着正方形的四条边运动一周，并且始终保持与正方形的边相切 (1)在图中，把圆运动一周覆盖正方形的区域用阴影表示出来； (2)当圆的直径等于正方形边长的一半时，该圆运动一周覆盖正方形的区域的面积是否最大？并说明理由 点拨：(1)圆在正方形中运动时覆盖的部分如图所示；(2)设出正方形的边长和圆的半径，求出覆盖面积与圆的半径之间的函数解析式，中间正方形的面积易求得，而大正方形四角的面积可用以圆的直径为边长的小正方形的面积一个圆的面积来求得，根据函数的性质即可判断出当圆的直径等于正方形的边长一半时，该圆运动一周覆盖正方形的区域的面积是否最大 解答：(1)圆运动一周覆盖正方形

9、的区域用阴影表示如图所示 (2)当圆的直径等于正方形边长的一半时，覆盖区域的面积不是最大理由：设正方形的边长为圆的半径为覆盖区域的面积为圆在正方形的内部，由图可知，当时，S有最大值当圆的直径等于正方形边长的一半时，覆盖区域的面积不是最大 点评：本题主要考查了正方形和圆的性质、二次函数的应用、图形面积的求法等知识培优训练能力达标1如图，沿凸多边形的外侧（圆与边相切）无滑动地滚动假设的周长是凸多边形的周长的一半，那么当回到出发点时，它自身滚动的圈数为( )A1B2C. 3D. 42如图，直径为1个单位长度的圆上有一点A，与数轴上表示1的点重合，圆沿着数轴向左滚动一周，点A与数轴上的点B重合，则点B

10、表示的实 数是 ( )3如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为3)的正方形内任意移动，则该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是( )4能完全覆盖住三角形的最小圆，叫做三角形的最小覆盖圆在ABC中,8，则ABC的最小覆盖圆的面积是( )5对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，那么称圆形A被这个圆所覆盖如图中的三角形被一个圆所覆盖，如果边长为1的正六边形被一个半径长为R的圆覆盖，那么尺的取值范 围为 6我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该 平面图形的最小覆盖圆，例如线段AB的最小覆 盖圆就是以线段AB为直径的圆，若在ABC中则ABC的

11、最小覆盖圆的半径是 ；若在中，则的最小覆盖圆的半径是 .7对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离不大于这个圆的半径,那么称图形A被这个圆所覆盖如图，三角形被一个圆所覆盖，回答下列问题： (1)边长为1的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是多少？ (2)边长为1的正三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是多少？ (3)半径为1的圆被边长为a的正方形所覆盖,a的最小值是多少？ (4)半径为1的圆被边长为a的正三角形所覆盖，a的最小值是多少？ 8如图，正三角形ABC的边长为O的半径为当圆心0从点A出发，沿着线路运动，回到点A时，随着点O的移动而移动(1.)若求首

12、次与BC边相切时AO的长；(2)在点0移动的过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况？写出不同情况下厂的取值范围及相应的切点个数；(3)设点0在整个移动过程中，在ABC内部，未经过的部分的面积为当时，求S关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围拓展提升9如图，RtABC的直角边斜边25，一个以点P为圆心、半径为1的圆在ABC内部沿顺时针方向滚动，且运动过程中一直保持与ABC的边相切，当点P第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度是( )10. 一位小朋友在一轨道上滚动一个半径为的圆盘，如图所示，其中该小朋友将圆盘从点A滚动到点C，则其圆心所经过的路线的长度为 11.在ABC中，边上的高

13、能完全覆盖ABC的圆的半径的最小值为 .12.猜想归纳：如图，正方形ABCD的边长为是正整数），半径为1的分别与AD、AB相切，沿的方向使在正方形ABCD的边上滚动当第一次回到起始位置时停止运动(1)当时，从开始滚动到停止，共滚动了 圈；当时，从开始滚动到停止，共滚动了 圈；当时，从开始滚动到停止，共滚动了 圈；(2)当时，从开始滚动到停止，滚过的面积是多少？魔法赛场【例】如图，沿着凸边形的外侧（圆和边相切）无滑动地滚动一周回到原来的位置(1)当和凸边形的周长相等时，求证：自身转动了两圈；(2)当的周长是凸边形的周长是时，请写明此时自身转动的圈数.点拨：(1)根据圆自身转动的圈数=线段的长度圆的周长，设为钝角，可证明滚动经过顶点自身转动的角度恰好等于顶点的一个外角，即当和凸边形的周长相等时，证明自身转动了两圈；(2)由上面的结果，可得自身转动的圈数是圈. 解答：(1) -个圆沿着线段的一个端点无滑动地滚动到另一个端点，圆自身转动的圈数一线段的长度圆的周长，因此若不考虑滚动经过个顶点的情况，则自身恰好转动了一圈，现证明，当在某边的一端，滚动经过该端点（即顶点）时，自身转动的角度恰好等于边形在这个顶点的一个外角，如图，设为钝角，已知是的切线，滚动经过端点后到的位置，此时是的切线，因此当转动至时，则就是自身转动的角，即滚动经过顶点自身转动的角度恰好等于顶点的一个外