十种求数列通项公式的方法,数列技巧与方法,解题方法[1]

1、十种求数列通项公式的方法一、公式法例1已知数列an满足an1=2a32，ai=2，求数列an的通项公式。an申解:aM=2an+3沃2两边除以2小，得2计an3an1an3,an,nn：；1nn22，则222,故数列2是32，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出an3歹EX，进而求出数列aiaiTOCo1-5hz23an3113n=1(n-1)以22为首项，以2为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得22，aan=(|n2)2n所以数列an的通项公式为22。an卅an评注：本题解题的关键是把递推关系式叭=2务+32转化为2曲2nan的通项公式。二、累加法例2已知数列an满足a

2、n1二an2n，1,印=1，求数列an的通项公式。解.由an1=an2n1得an1-an=2n1则an=(an-an4)(an4-an_2)I11(a3-a2)(a2-a1)a1=2(n-1)12(n-2)1|l|(221)(211)12=(n-1)(n1)12=n=2(n-1)(n-2)|l|21(n-1)1=21(n-1)1所以数列an的通项公式为an=n。评注：本题解题的关键是把递推关系式an3n2n1转化为an1-an=2nT，进而求出(务一an斗)+(an4-and)+川+(a3-a2)+(a2-印)+印，即得数列an的通项公式。例3已知数列an满足an厂an+2汉彳+1，a1=3，

3、求数列an的通项公式。解.由冇1-an231得an1-an-231则an=(anan(anj1-andIII(a3-a2)(a?-aj印n1n221=(231)(23一1)|(231)(231)3n1n221=2(33|l(33)(n一1)33(1一3心)=2(n-1)3=3n=3n1-3-3n-13n-1n=3n-1.评注：本题解题的关键是把递推关系式an1二*231转化为务1-务=231，进而求出务=（an-务）（an-an_2）川（a3-a2）（a2-a1）a1，即得数列an的通项公式。已知数列an满足务1=3an231ai=3，求数列an的通项公式。解:an1=3a231两边除以3n1

4、，=OnZ.得3n13n33an1an_21n11nnT则3333，故an.ananandan_2an_2久门(Tn一)(_32)(3233anan_133/21、/2121、3(3莎)(2沪)(2評3+(丄+丄+L+川+丄)+13(3n3n3n43232丿珂2*2(n-1)an2(-1)和)因此3n31-3211an=2n3n13n_322评注：本题解题的关键是把递推关系式影）川僚崎）(an_anj)亠(an4_an-2)亠/cn-1丿(n-1&-2丿(进而求出3333an3an231转化为3n1an1_an_3n笄黑）川僚号近an，即得数列3n的通项公式，最后再求数列an的通项公式。三、累

5、乘法已知数列an满足an1=2(n1)5an,3=3，求数列an的通项公式。n电21)5因为an1=2(n1)5an,a1=3，所以an=0，则an，故anananan丄川旦电aa2a1anan_2二2(n11)5112(n21)V川2(21)522(11)513=2心n(n-1)川325n(nJ)=32nl5门！(n)(n；|.213n(n.1)n12所以数列an的通项公式为=325n!.评注：本题解题的关键是把递推关系an1=2(n1)5亟=2(n+1)5nan转化为an，进而求anan1a3a2a1务上a2a1，即得数列an的通项公式。(2004年全国I第15题，原题是填空题)已知数列a

6、n满足ai=1,an=a12a23aN-n(-a1n(求)an的通项公式。解：因为an=印2a23aH(n-1乩(n一2)所以an1=ai2a23aa丨1(n-1)an4na.用式_式得anan=门.则an1=(n1)an(n一2)n!2a2.2也=n-1(n_2)故务a*aniH3l色=n(n-1)4汇3a所以andanda2由an=a1+2a2+3aa十川十(n1归心(n工2)，取n=2得a?=印+2a2，则a?=a1，又知ai=1，则a2，代入得an=1345川n二也2。所以，an的通项公式为3n评注：本题解题的关键是把递推关系式评注：本题解题的关键是把递推关系式a.i=(n1)an(n

7、一2)亟=n+1(nH2)转化为anan进而求出务也川旦a2an2a2，从而可得当n2时，an的表达式，最后再求出数列an的通项公式。四、待定系数法通项公式。四、待定系数法例7已知数列an满足an2an35，a1=6，求数列*的通项公式。解：设an半+x7n+=2(an+x汉5n)将an1=2an35代入式，得2an35x5“1=N25，等式两边消去2an，得3弓.x弓1=窘.5,两边除以5n，得35x=2x则x=-1代入式得an1-5二2(an-5)n1an*-5_2由a1-51=6-5=0及式得an-F，则an-5n，则数列务-5是以1nnndna1一5=1为首项，以2为公比的等比数列，则

8、习一5二2，故二25。评注：本题解题的关键是把递推关系式an1=2an35转化为an1-52(an-5)从而可知数列an一5是等比数列，进而求出数列an一5的通项公式，最后再求出数列an的通项公式。例8已知数列an满足an3an524，a1,求数列an的通项公式。解：设anx2n1y=3(anx2y)将an1=3an524代入式，得3an52n4x2n1y=3(anx2ny)整理得(52x)2n4y=3x2n3y。52x=3xx=5n1-52n1-2an13(nD21(n1)18=2an3n210n182，故数列an3n10n18令4y=3y，则y二2令4y=3y，则y二2，代入式得an152

9、n由印+3汇12+10H+18=1+31=32式0及式得an+3n2+10n+18式0an152n由印+3汇12+10H+18=1+31=32式0及式得an+3n2+10n+18式02=3(an52n2)由ai521212=13“及式,a得an+5汉2n+2式0，则an+5x2n+2故数列an522是以a1522二1T2二13为首项，以3为公比的等比数列,nn1n_Jn因也匕an+5辺2+2=133_贝yan=13x3_5=2-2。评注：本题解题的关键是把递推关系式an3an524转化为n41nn叭皿2+2=3(an+5+2)，从而可知数列佝+护2+2是等比数列，进而求出数列an522的通项公

10、式，最后再求数列an的通项公式。2例9已知数列an满足an1二2%3n4n5印=1，求数列%的通项公式。解：设an1x(n1)2y(n1)z=2(a.xn2ynz)2将an2an3n4n5代入式，得2222an+3n+4n+5+x(n+1)+y(n+1)+z=2(an+xn+yn+z)则222an(3x)n(2xy4)n(xyz5)=2an2xn2yn2z等式两边消去2an，得(3+x)n2+(2x+y+4)n+(x+y+z+5)=2xn2+2yn+2zTOCo1-5hz3x=2xx=3II2xy4=2yy=10解方程组xyz2z，则z二18，代入式，得22an13(n1)10(n1)18=2

11、(an3n10n18)令公比的等比数列a132110118为首项3：1以an+3n2+10n+18=32乂2nJ1则an=2n*3n210n182评注：本题解题的关键是把递推关系式an2an3n4n5转化为22an+3(n+J+mn十帖18“+3n+10n+18),从而可知数列22an3nFnW是等比数列，进而求出数列an3n10nT8的通项公式，最后再求出数列an的通项公式。五、对数变换法ai=7，求数列an的通项公式。ai=7，求数列an的通项公式。n5例10已知数列an满足an1=23an,n5解：因为冇1=23an，a1=7，所以ann5解：因为冇1=23an，a1=7，所以ann50

12、,an10。在an1=23an式两边取常用对数得lgan1=5lgannIg3Ig2常用对数得lgan1=5lgannIg3Ig2设Igan1x(n1)y=5(lga.xny)将式代入式，得5|gann|g3Jg2x(n1)y=5(|ganxny)，两边消去5|ga并整理，得(lg3+x)n+x+y+lg2=5xn+5y，则Ig3x=5xx+y+lg2=5y，故xQ4164Ig3Ig3Ig2代入式，得Igan1T(n1)wT=5(lganJgln.蛭必)4164里1厘赵了.里1.空1g2由4164416Igai=0及式,得4164,.g3/丄八丄Ig3丄Ig2lgan1(n1)4丿164=5,

13、Jg3Jg3Jg25Igann则n4164lgann型4所以数列4164164为首项，以5为公比的等lgIgn+一+-数列，则416In_g165g3Ig2此Ig3Ig3Ig2an=(Ig741611=(lg7Ig34Ig36Ig24)5)5心一聖n441nn二Ig3Ig26一41nn1./O41-Ig(7343花24)5-Ig(313花24)5n-Ig(343乖2刁)5nj35n_4nJ1=ig(734nJ=Ig(7n=Ig(75n&5n143古fk)5n-l汀)5n_4nan=75亠31624o5n-J1Ig34Ig316Ig2刁13悟2刁)1Igan1Ig3n竹4：+4g5ang4ngJ

14、g3I)g241644164,从而可知数列Iag-g3nIg3Ig2IgIg3annIg3%416是等比数列，进而求出数列4164的通项转化为5an评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式公式，最后再求出数列an的通项公式。六、迭代法例11已知数列an满足an1=aV”，3,5，求数列an的通项公式。_3(n+)2n_3n2n解：因为an4二an，所以an=and3(n书2ni,3n2nJ-=and32(n书n2(2(n亠anQ3(n2)2nJ32(n书n2(n2)fni)=anl33(nd)(n4)n2(n工令缶亠二a.a3二a112.|l(n(n书nd2心心(n13二a1n(n垒rn

15、!22n(n4)3n1n!22_5，所以数列an的通项公式为an_5评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。_3(n和2n即先将等式K1二K两边取常用对数得lgan申lgan#=3(n+12lgan，即lga.3(n1)2n，再由累乘法可推知igan严lgan_Llganilgan2lga2lgaigc二加32n(n1)2n(nd)，从而3n1n!2an=52o七、数学归纳法例12已知数列例12已知数列aa.8(n1)an审an22an满足(2n1)2(2n3)2ai89，求数列an的通项公式。aa.8(n8解：由(2n1)(2n3)及9，得a28(1+1)22(211)(2

16、13)882=+99252425TOCo1-5hz8(2+1)248汇348a3=a222(221)(221)(223)2252549498(3+1)488汉480a4=a322(231)(233)49498181由此可猜测an(2n1)(2k*1)，则当n=k+1时,-1=2(2n1)，往下用数学归纳法证明这个结论。2(211)-18a1=2=(1)当n=1时，(211)9，所以等式成立。ak(2)假设当n=k时等式成立，即2(2k1)-1ak1=ak8(k+1)(2k1)2(2k3)2(2k1)2-18(k1)222(2k1)(2k1)(2k3)(2k1)2-1(2k3)28(k1)22(

17、2k+1)2(2k+3)2(2k1)2(2k3)2_(2k3)28(k1)22(2k+1)(2k+3)(2k1)2(2k3)-(2k1)222(2k+1)2(2k+3)22(2k3)-1-(2k3)22(k1)12-122(k1)12由此可知，当n=k1时等式也成立。根据（1）,（2）可知，等式对任何N都成立。n项，进而猜出数列的通项评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前公式，最后再用数学归纳法加以证明。八、换元法例13已知数列an满足*1例13已知数列an满足*14an.124an),=1，求数列an的通项公式。解：令bn=.124an，则an(b；-1)24故知昭一1），

18、代入亦卡4务碍）得TOCo1-5hz12112(堺1-1)14(b；-1)bn241624即4b：1=(bn3)224an-0+3则2话勺+3，即bn+=2bn2，bn+-2(bn-3)可化为2，所以bn_3是以y124印-3“1241七二2为首项，以2为公比的等比数列,因此J24an3+an=2(f)n+n342+评注：本题解题的关键是通过将1249n的换元为bn，使得所给递推关系式转化V3bn1bn22形式，从而可知数列bn-3为等比数列，进而求出数列bn-3的通项公式,最后再求出数列an的通项公式。九、不动点法21an24an卅=，例14已知数列an满足4an*1印=4，求数列an的通项公式。21x-24解:令X=4x1，得4x2-20 x240，则X1=2,X2=3是函数f(x)21x-244x1的两个不动点。因为an1-2an1-32俺-24c肓彳221an-24n34an121an-24-2(4an1)-21an-24-3(4an1)13a2613an-29an279an3所以数列二=2一3J是以a1一34一3n_2为首项，以9为公比的等比数列，故an_313n、21x2421x24f(x)=x=评注：本题解题的关键是先求出函数4X1的不动点，即方程4xT的两an+2_13an-2an_2个根x1=2，X