2022年线性代数题库及答案6套

1、线代参考一PAGE PAGE 28线性代数题库一填空题(每小题3分,满分30分)写出4阶行列式中含因子的项为_。行列式的充分必要条件为_。设A为方阵,满足,则_。同阶方阵,若,必有,则应为_矩阵。设A为n阶方阵,有非零解,则A必有一个特征值为_。设相似于对角阵,则_。设向量组是向量组的一个最大无关组,则与间关系为_。由所生成的线性空间为_。二次型的正定性为_。若,且,则_。(8分)计算2n阶行列式(8分)解矩阵方程 求四. (10分)设向量组A: 求向量组A的秩及一个最大无关组.五. 12分)讨论方程组的解的情况 六. (16分)求正交变换,将二次型 化为标准形,并写出其标准形.七. (8分)

2、设且线性无关, 证明:线性无关. 八. (8分)为n阶方阵,且与均不可逆. 则可否对角化?2010线性代数期末试题及参考答案一、判断题(正确填T，错误填F。每小题2分，共10分) 1 A是n阶方阵，则有。 （ ）2 A，B是同阶方阵，且，则。 （ ）3如果与等价，则的行向量组与的行向量组等价。 ( )4若均为阶方阵，则当时，一定不相似。 ( )5n维向量组线性相关，则也线性相关。 （ ）二、单项选择题（每小题3分，共15分）1下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵。（A） (B) (C) (D) 2设向量组线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）。（A） （B） （C） （D）3设A为n阶方阵，且。

3、则（） (A) (B) (C) (D) 4设为矩阵，则有（ ）。（A）若，则有无穷多解；（B）若，则有非零解，且基础解系含有个线性无关解向量；（C）若有阶子式不为零，则有唯一解；（D）若有阶子式不为零，则仅有零解。5若n阶矩阵A，B有共同的特征值，且各有n个线性无关的特征向量，则（ ） （A）A与B相似 （B），但|A-B|=0 （C）A=B （D）A与B不一定相似，但|A|=|B| 三、填空题（每小题4分，共20分）1 。2为3阶矩阵，且满足3,则=_， 。3向量组，是线性 （填相关或无关）的，它的一个极大线性无关组是 。4 已知是四元方程组的三个解，其中的秩=3，则方程组的通解为 。5设，

4、且秩(A)=2，则a= 。四、计算下列各题（每小题9分，共45分）。1已知A+B=AB，且，求矩阵B。2.设，而，求。3.已知方程组有无穷多解，求a以及方程组的通解。4.求一个正交变换将二次型化成标准型5 A，B为4阶方阵，AB+2B=0，矩阵B的秩为2且|E+A|=|2E-A|=0。（1）求矩阵A的特征值；（2）A是否可相似对角化？为什么？；（3）求|A+3E|。五证明题（每题5分，共10分）。1若是对称矩阵，是反对称矩阵，是否为对称矩阵？证明你的结论。2设为矩阵，且的秩为n，判断是否为正定阵？证明你的结论。线性代数试题解答一、1（F）（）2（T） 3（F）。如反例：，。4（T）（相似矩阵行

5、列式值相同）5（F）二、1选B。初等矩阵一定是可逆的。2选B。A中的三个向量之和为零，显然A线性相关； B中的向量组与，等价, 其秩为3，B向量组线性无关；C、D中第三个向量为前两个向量的线性组合，C、D中的向量组线性相关。3选C 。由，)。4选D。A错误，因为，不能保证；B错误，的基础解系含有个解向量；C错误，因为有可能，无解；D正确，因为。5选A。A正确，因为它们可对角化，存在可逆矩阵，使得，因此都相似于同一个对角矩阵。三、1 （按第一列展开）2 ；（=）3 相关（因为向量个数大于向量维数）。 。因为，。4 。因为，原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向量，取为，由原方程组的通解可表为

6、导出组的通解与其一个特解之和即得。5（四、1解法一：。将与组成一个矩阵，用初等行变换求。=。故 。解法二：。，因此。2解：，。3解法一：由方程组有无穷多解，得，因此其系数行列式。即或。当时，该方程组的增广矩阵于是，方程组有无穷多解。分别求出其导出组的一个基础解系，原方程组的一个特解，故时，方程组有无穷多解，其通解为，当时增广矩阵，此时方程组无解。解法二：首先利用初等行变换将其增广矩阵化为阶梯形。由于该方程组有无穷多解，得。因此，即。求通解的方法与解法一相同。4解：首先写出二次型的矩阵并求其特征值。二次型的矩阵，因此得到其特征值为，。再求特征值的特征向量。解方程组，得对应于特征值为的两个线性无关

7、的特征向量，。解方程组得对应于特征值为的一个特征向量。再将，正交化为，。最后将，单位化后组成的矩阵即为所求的正交变换矩阵，其标准形为。5 解：（1）由知-1，2为的特征值。，故-2为的特征值，又的秩为2，即特征值-2有两个线性无关的特征向量，故的特征值为-1，2，-2，-2。（2）能相似对角化。因为对应于特征值-1，2各有一个特征向量，对应于特征值-2有两个线性无关的特征向量，所以有四个线性无关的特征向量，故可相似对角化。（3）的特征值为2，5，1，1。故=10。五、1为对称矩阵。 证明： =，所以为对称矩阵。2为正定矩阵。证明：由知为对称矩阵。对任意的维向量，由得， =，由定义知是正定矩阵。

8、线性代数参考题二填空题(每小题3分,满分30分)设都是5阶矩阵,且,则 已知,则 (其中I是n阶单位阵),已知矩阵A的秩r(A)=2,则 4,又是的代数余子式, 则 5若一向量组只有唯一的极大无关组,则该向量组 6设是正定二次型, 则的取值区间为 7设是阶正交矩阵,则 8设 相似于对角阵,则 9设非齐次线性方程组的两个解为的秩为,则 的一般解 .10已知向量组的 秩为2,则 二(8分)计算n阶行列式三(8分)求矩阵满足四(10分)设 求向量组的秩及其一个极大无关组.五. (12分)问常数各取何值时, 方程组 无解,有唯一解,或有无穷多解,并在有无穷多解时写出其一般解.六. (16分)求正交变换

9、,将二次型化为 标准形,并写出其标准形.七. (8分)设向量线性无关,且 证明向量组线性无关. 八. (8分)为n阶方阵,且与均不可逆。 试讨论是否相似于对角阵,并说明理由.线性代数参考题三填空题(每小题3分,满分30分)设都是阶方阵,且则 .设是矩阵,是的转置矩阵,且的行向量组线性无关. 则秩 是 次多项式.4.若 5.阶数量矩阵的相似矩阵是 6.若是实对称矩阵,则属于的不同特征值的特征向量一定 7.向量组线性 关.8.设是可逆矩阵的一个特征值,则矩阵有一个特征值等于 9.设是矩阵,则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是 10.设是阶正定矩阵,则方程组的解的集合是 二.计算题(每题8分,共

10、40分)计算阶行列式3.用初等变换法求下列矩阵的逆4.设中的两组基为:其中 求基到基的过渡矩阵求三.(10分)求下列向量组的秩和一个极大线性无关组.并说明该向量组是线性相关还是线性无关.四.(6分)判断下面二次型是否正定二次型五.(14分)，求可逆矩阵,使得为对角矩阵,并且给出线性代数参考题四填空题(每小题3分,满分30分)设 都是4维列向量,且4阶行列式则4阶行列式_已知线性相关,不能由线性表示则线性 _设是阶矩阵 ,是阶矩阵,且,则的取值范围是_4.设是43矩阵,且的秩且则_5.设0是矩阵的特征值,则_6.设是正定二次型,则的取值区间为 7.矩阵对应的二次型是_8. 设相似于对角阵,则9.

11、设为3阶方阵,为伴随矩阵,则=_ 10.设是不可逆矩阵,则_(8分)计算行列式三.(8分) 三阶方阵满足关系式:,且,求四.(10分)设 求向量组的秩及其一个极大无关组.五. (12分)问常数取何值时, 方程组 无解,有唯一解,或有无穷多解,并在有无穷多解时写出其一般解.六. (16分)求正交变换,将二次型化为 标准形,并写出其标准形.七. (8分)设 都是阶矩阵,且可逆,证明与有相同的特征值八. (8分) 设向量组线性无关,向量可由向量组线性表示,而向量不能由向量组线性表示.证明:个向量必线性无关.线性代数参考题五填空题 (每小题3分，满分30分)1.= 已知= (0, -1 , 2)T ,

12、 =(0, -1 , 1)T , 且A =T , 则A4 = 设A、B为4阶方阵，且=2，=81，则= 设3阶方阵A的非零特征值为5，-3，则= 与向量组1= (,)T , 2= (, -, -)T , 3= (, -, -)T ,都正交的单位向量4= A是34矩阵，其秩rank=2, B=, 则rank= _ 设1、2是非齐次方程组Ax=b的两个不同的解，是对应的齐次方程组的基础解系，则用1 ,2 ,表示Ax=b的通解为 向量组1= (1, 1 , 1)T , 2= (1, 2 ,4)T , 3= (1, a , a2)T 线性无关的充要条件为a 且a 。设可逆方阵A的特征值为，则kA-1的

13、特征值为 。f(x1, x2, x3)= x12+ax22+2x32-2x1x2为正定二次型，则a的取值范围为 二.（10分）计算n阶行列式Dn = 三（8分）设A、B为3阶矩阵，且A2B = A + B E ， 其中A =，E为3阶单位矩阵，求矩阵B。四.（8分）确定a、b的值，使矩阵 A=的秩为2。五.（10分）设1= (1, 0, 2, 1)T , 2= (1, 2, 0, 1)T , 3= (2, 1, 3, 0)T , 4= (2, 5, -1, 4)T , 求此向量组的秩及一个极大无关组。 （8分）设1 ,2 , ,n ,n+1线性相关，而其中任意 n个向量均线性无关， 证明:必存

14、在（n+1）个全不为零的数k1 ,k2 , kn ,kn+1使得k11 + k22 + + knn + kn+1n+1 = 0七、（10分）设齐次方程组 a11x1 + a12x2 + + a1nxn = 0 , a21x1 + a22x2 + + a2nxn = 0 , an1x1 + an2x2 + + annxn = 0 ,的系数行列式=0，A的某一元素akj的代数余子式Akj0，证明: x = (Ak1 , Ak2 , , Akn)T为此方程组的一个基础解系。八、（16分）求正交矩阵P，将二次型化为标准形并写出此标准形。 f(x1, x2, x3) = -x12-x22-x32+4x1

15、x2+4x1x3-4x2x3线性代数参考六一.填空题(每小题3分,满分30分)设是3阶矩阵,且,其中均为3维行向量, ,则行列式 2.已知方阵满足(为常数),则 3.设,则应满足_.4.设线性相关, 线性无关,则线性_关.5.设线性相关,则满足关系式_6.设A满足,则A有特征值_7.设A为n阶方阵,且是的三个线性无关的解向量, 则的一个基础解系为_.8.二次型正定,则满足条件 _.9.设方阵相似于对角矩阵,则_.10.设A是矩阵,则_二.(8分)计算n阶行列式三(8分)设 , 求矩阵,使满足下面的关系式: 四.(10分)设向量组 确定的值,使向量组的秩为2,并求一个极大线性无关组.五. (8分

16、)设线性方程组 的系数矩阵为A,设B为3阶方阵,已知,且,求的值.六. (14分)设实二次型 求正交变换,将二次型化为标准形.确定该二次型的正定性.七. (8分)设列向量是一个n维实向量,已知是单位向量.令矩阵 证明:是一个对称的正交矩阵. 八.(14分)已知和是线性空间的两组基,其中 求由基到基的过渡矩阵A.设向量在基下的坐标为,求在基下的坐标.线性代数参考题一答案：填空题(每小题3分,满分30分)1与；2.；3.；4.可逆阵或满秩阵或非奇异阵；5.特征根为0；6.；7.；8.；9.负定；10.陈治中版线性代数例题1.5.7（p.26）答案：令则令，则因而，构成一个极大无关组，且陈治中版线性

17、代数习题4.6（p.121）答案：p.211将二次型化成矩阵，显然为实对称阵，可以正交对角化的，即由特征方程，得，当 对应的特征向量为，标准化为；当 对应的特征向量为和正交化，标准化为 ，标准化因而，且令由 以及线性无关得线性无关。由已知有 及 ，显然有特征根分别为0和。故此可对角化。线性代数参考题二答案： 当 当 单位化得正交矩阵 所以得到标准型：线性代数参考题三答案：二. 1）；2）；3）；4）5）三四五特征根为：当，当，故 线性代数参考题四答案：四 线性代数参考题五答案：二.五. ； 且 线性代数参考题六答案：一.填空题答案1-1；2. ；3.；4.线性相关；5.；6. 1；7.；8.；9.；10. 2二. 居余马线性代数$1.2 例8(p.17)：将按第一行展开，