广东深圳中学高中数学必修一导学案23.二次函数

1、23.二次函数郭胜宏学习目标.理解二次函数概念，熟悉二次函数图象画法.掌握在不同的情景中，确定二次函数图象对称轴的方法.掌握二次函数在某一闭区间上值域和最大(小)值求法.初步掌握用二次函数的知识研究二次方程根的分布问题.一、夯实基础基础梳理基础达标2 TOC o 1-5 h z .设abc0,二次函数f(x)=ax+bx+c的图象可能是().2.如果二次函数y=3x2+2(a-1户+b在区间,1上是减函数，那么().A.a=-2B.a=2C,a2.已知a0,函数f(x)=ax (1)研究函数f (x)=ax2+bx+c(a#0 )在闭区间 k, n】上单调性时，我们需要考虑相应抛+bx+c,若

2、x0满足关于x的方程2ax+b=0,则下列选项的命题中为真命题的是().A.存在实数x,使得f(x)f(x0)B.存在实数x,使得f(x户f(x0)C.对于任意实数x,恒有f(x产f(xo)D.对于任意实数x,恒有f(x)f(xo).f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2t),那么().A.f(2)f(1)f(4)B.f(1)f(2)f(4)C.f(2)f(4)f(1)D.f(4)f(2)0递增递减先减后增a0递增递减先增后减3.在二次函数问题中，我们可以根据哪些线索确定二次函数图象对称轴？请列举你所知道的几种确定方法.已知条件对称轴，2.，f(x尸ax+bx+cf(x)

3、=a(x-xixx-x2)2f(x.a(x一h)+kf(m)=f(n*m#n)函数在闭区间im,n上的最大（小）值在x=x0处取得，且x0w（m,n）4.如何分析f（x）=ax2+bx+c（a0）在闭区间k,n】上的最大值和最小值?不同情形最大（小值）取大值ymax=ymax一最小值ymin=b-(m,n)2afymin二ymin=案例分析1.已知a,b,cWR,a0且6a+b=0,若f(x)=ax2+bx+c,则有().A.f(2)f(3)fB.ff(5)f(2)C.f2；f5:二f3【解析】6a+b=0仁_b=3,所以函数f(x仁ax2+bx+c是开口向下，对称轴为x=3的抛2a物线，横坐

4、标离x=3越近，函数值越大，故f(5)f(2)2x+m,即x2一3x+1m,对xW-1,1恒成立.令g(x)=x23x+1,则问题可转化为g(xminAm,又因为g(x)在1-1,1上递减，所以g(xin=g(1)=1,故m0,即实数a的取值范围是(0,十巧.4.设实数X,x2满足x2x2,g(x)=(x-x1+1Xxx2+1)+1,方程g(x)=0两根为x3,羽，x4的大小.【答案】X3 Xl X4 X2 .【解析】显然函数g(x )=(X_Xi +1 Jx -X2 +1 )+1的图象是开口向上的抛物线(如图)零点分别为：g(X1 )=X1 -X2 +2 =2 (X2 -X1 )0 ,工 X

5、3 X1 4 a 0 ,且 X2 x ,综上所述有X3 X1 X4 x2 .5.求函数f(X )=(43a,22x+a在区间10, 1上的最大值.444【斛析】右4320 ，即 a=,则 fX )=-发 + , fmax (x )= f (0 )=_ ；右 4 -3 a 6 333则须根据对称轴位置，分两种情况讨论：(1)如-(2)如2 4 -3a-2一 12w 2 ,即 a w ， fmax(x )= f (1 )=2 -2a ;2 4 -3a224r-a , fmax (x 尸 f (0 )=a .33若4 -3a - , fmax(x)=f (0)=a ;0 :二2 4 -3a1 ,此时

6、实数a也不存在.2 -2a综上所述:fmax X 二a,V 2 a w 一 , 32 a .3三、能力提升能力闯关1. (1)若函数 y=x(2axXwb,2的最大值为a2,则a的取值范围是().B. a 2A.aWr(2)若函数f(x)=x2-2x+1在区间a,a+2上的最大值为4,则a的值为()0 或 11 或 21或 21 或一1,一22，.，一一、一一2.已知函数f(x)=x+2x+a,f(bx)=9x6x+2,其中xwR,a,b为常数，则方程f(ax+b)=0的解集为123.f(x-x+x,是否存在头数m,n(m0时，I 4a c - b函数值域为J ,a 函数值域为2.设awR,函

7、数f仔)=ax2+xa,x1-1,1,(1)求a的值，使函数f(x泞最大值17；(2)若aW1,证明f(x)挑战极限1.设a为实数，函数f(x)=xxa.(1)当wxW1时，讨论f(x)的奇偶性;(2)当0Wx0=aw0,又a#0,所以a0递增a0且-n2a先减后增aA0且-bw(m,n)2aa0递增an2a递减a0且一bm2a先增后减a0且-bw(m,n)2af(2)系数应满足b-wm或一包n.2a2a3【解析】一般我们有下列方法确定二次函数对称轴：(1)若给出f(x)=ax2+bx+c,则其对称轴为：x=-；2a(2)若给出f(x)=a(xx)xx2),则其对称轴为：x=x22(3)若给出

8、f(x)=a(xhf+k,则其对称轴为：x=h;(4)若给出f(m尸f(n*m=n),则其对称轴为：x=m+n；(5)若已知二次函数在闭区间m,n上的最大(小)值在x=x0处取得，且x0w(m,n卜则其对称轴为：x=x0.4【解析】不同情形最大(小值)取大值bm+n2a2ymax=f(m；最小值b一一&m2aymin=f(m：b.一一w(m,n)2ain=fI2aJbn2ayminf(n；能力闯关2221(1)C.(2)D.【解析】(1)y=_(xaj+a,当且仅当x=a时，y取最大值a,所以应0时，f(a+2)=4u(a+1)=4。2=1或2=与，所以a=1;2当1a+1,即a1,显然方程f

9、(ax+b)=0的无实数解，即解集为0.13 .【斛析】.f (x )= - 2八一2(1272,即，而f (x )的对称轴为x =1二f (x )在m , n 上是增函数.假设满足题中条件的实数f m =3mf n =3n ,1, 即：I22m 2m =0,1 n2 +2n =0 , 2m=-4fn=0,故存在实数m=4n=0.使f(x)的定义域为_4,0,值域为_12,0.拓展迁移1.C.【解析】方法一：f22x1=ax，1)一bxTc=ax，i2a-bx，a-b，c因为函数f(x+1如偶函数，所以2a_b=0=B=2方法二：f(x+1产偶函数表示f(x)的对称轴为x=1,从而2-=1.2

10、【解析】(1)若a=0,则f(x尸x,xw_1,1,最大值为1,不符合题意，所以a#0；又1717f(1)=1*一,f(W)二1手一88所以函数f(x)=ax*2+x-a在区间-1,1上的最大值一定是在区间(-1,1)内部发生,a0,故应有-1；1,a=2.综上当且仅当a=2时，函数f(x)有最大值17.17fl-、I2a/8(2)”尸1,x1,f(x)=a(x2-1)+xax2-1+x a,2-x -ax, x : a.当aw 0时,由 0 w x w 1 ,得 f (x )=x(x -a 尸x.、, ,2 4二当x =1时,f (x )有最大值为fmax =1 -a .当a 0时,f (x )的图象如右图所示,i)当 a1 ,即 a2时, 2f (x近x w 0,1 单调递增，所以函数f (x )在x w 0,1 上的最大值为f (1 )=a1；,a 1 ” , 、二 21ii)当 51 wa ,即 2y 2 a2时，f(x/xW0,1上