2019高中数学 第三章 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式学案 新人教A版必修4

1、3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式(学习目标：1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式重点)2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明(难点)3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用(易错点)自主预习探新知1二倍角的正弦、余弦、正切公式1tan2记法S2C2T22余弦的二倍角公式的变形公式sin22sin_cos_cos2cos2sin22tantan222sin要求k(kZ)且k(kZ)，故此说法错误(3).当cos时，cos22cos.4224283正弦的二倍角公式的变形1sin2(1)sincossin2，cos.(2)1sin2(sin_co

2、s_)2.基础自测1思考辨析(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角()(2)存在角，使得sin22sin成立()(3)对于任意的角，cos22cos都不成立()解析(1).二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，24(2).当k(kZ)时，sin22sin.132答案(1)(2)(3)2sin15cos15_.1111sin15cos152sin15cos15sin30.13cos2_.14111428222222431tan2122tan2.7771cos21122cos2.4若tan2则tan2_.42tan2243合作探究攻重难给角求值35(1)cos

3、coscos的值为()44881A1C1B1Dtan751sin10cos1077777777777777777777718777(2)求下列各式的值：1tan275cos415sin415；12sin275；3.【导学号：84352329】3452(1)D(1)coscos，coscos，248sincoscoscos3524coscoscoscoscoscos8sin2244484sincoscos2sincossin.8sin8sin8sin(2)cos415sin415(cos215sin215)(cos215sin215)cos215sin215cos3032.tan752tan75

4、223.12sin2751(1cos150)cos150cos301tan2751tan27521tan15032.21sin10cos10sin10cos103cos103sin103212cos10sin102sin10cos102sin10cos10sin204sin204.sin50cos50规律方法对于给角求值问题，一般有两类：直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式

5、的形式.跟踪训练1求下列各式的值(1)cos72cos36；13(2).2sin364sin36解(1)cos36cos722sin36cos36cos722sin72cos724sin364sin50cos50sin1441.cos503sin50(2)原式23212cos50sin50212sin50cos502sin801122(1)已知cos，求cos2的值；(2)已知，且sin2sin，求.2sin804.sin100sin80给值求值、求角问题452242243(1)与2，与2具有2倍关系，用二倍角公式联系；(2)2与2差，用诱导公式联系2，3解(1)324，4cos0，思路探究依

6、据以下角的关系设计解题思路求解：42422272444.37444sin1cos234512，54324cos2sin22sincos2，37sin2cos212cos2122，2445525245254cos22cos22sin22250.22224273122525(2)sin2cos22cos21412cos2，44sinsincoscos，4原式可化为12cos24cos，44解得cos1或cos.，3，3，故0或2424412224442444cosx解0 x，x0，.cosx.2x又cos2xsinxcosxcosxsinxsinx，cos2xsin2x2sinxcosx.即或.7

7、24336解由例2(1)解析知sin42sin2cos22.2将例2(1)的条件改为sinx，0 x，求的值413又sinx，4413131695135412母题探究：1.在例2(1)的条件下，求sin4的值25256255cos2x444454131241322sin5121202，424541312016924原式.13规律方法解决条件求值问题的方法有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.当遇到f(,4)x这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通.244类似的变换还有：5cos2xsin2x

8、2sinxcosx，sin2xcos2x2cos2x1，sin2xcos2x12cos2x等.tan1tan1(2)证明：3tan1232442424化简证明问题探究问题1解答化简证明问题时，如果遇到既有“切”，又有“弦”的情况，通常要如何处理？提示：通常要切化弦后再进行变形2证明三角恒等式时，通常的证明方向是什么？提示：由复杂一侧向简单一侧推导11(1)化简：_.21243.思路探究(1)通分变形(2)切化弦通分，构造二倍角的余弦二倍角的正弦约分求值tan211tan2(1)tan2(1)原式tan2.tan1tan12tan2tan(2)左边3sin123cos12cos122123123

9、sin12cos12222sin12cos12cos242312sin24cos2423sin48sin4843右边，所以原等式成立规律方法证明三角恒等式的原则与步骤观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.证明恒等式的一般步骤：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；设本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，法消6除差异，达到证明的目的.跟踪训练2求证：(1)cos2(AB)sin2(AB)cos2Acos2B；(2)cos2(1tan2)cos2.A2B1证明(1)

10、左边2A2B12A2B2A2B(cos2Acos2Bsin2Asin2Bcos2Acos2Bsin2Asin2B)sin2(2)法一：左边cos21sin2cos1cos2(1tan2)左边cos212cos2Acos2B右边，等式成立cos2cos2sin2cos2右边法二：右边cos2cos2sin22当堂达标固双基1下列各式中，值为32的是()A2sin15cos15C2sin215Bcos215sin215Dsin215cos215221cos3013；sin215cos2151，故选B.B易知f(x)2cos2xsin2x23cos2x1(2cos2x1)1cos2x，则13B2sin15cos15sin30；cos215sin215cos30；2sin21522(2018全国卷)已知函数f(x)2cos2xsin2x2，则()Af(x)的最小正周期为，最大值为3Bf(x)的最小正周期为，最大值为4Cf(x)的最小正周期为2，最大值为3Df(x)的最小正周期为2，最大值为433352222f(x)的最小正周期为，当xk(kZ)时，f(x)取得最大值，最大值为4.3若sin3cos，则sin2cos2_.7cos22sincoscos22sincos6cos6sin24设sin2sin，则tan2的值是_.由，知sin0，cos，2ta