第2章连续时间信号的分析ppt课件

1、2.1 延续时间信号的时域分析 2.1.1 根本延续时间信号 2.1.2 延续时间信号的冲激表示2.2 周期信号的傅里叶分析 2.2.1 周期信号的傅里叶级数 2.2.2 典型周期信号的频谱2.3 非周期信号的傅里叶变换 2.3.1 从傅里叶级数到傅里叶变换 2.3.2 典型非周期信号的傅里叶变换 2.3.3 傅里叶变换的性质2.4 周期信号的傅里叶变换2.5 延续信号的拉普拉斯变换 2.5.1 拉普拉斯变换的定义 2.5.2 拉普拉斯逆变换第二章 延续时间信号的分析 时域分析 以冲激函数为根本信号，恣意输入信号可分解为一系列冲激函数；而yf(t) = h(t)*f(t)。这里用于系统分析的独

2、立变量是时间。 频域分析 本章将以正弦信号和虚指数信号ejt为根本信号，恣意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。这里用于系统分析的独立变量是频率。2.1 延续时间信号的时域分析2.1.1 根本延续时间信号1、单位斜变信号数学描画：2、单位阶跃信号忽然接入的直流电压忽然接通又马上断开电源1阶跃信号的物理背景开关作用n 函数序列n(t)阶跃信号和冲激信号都是奇特信号, 阶跃信号与冲激信号是两种最根本的理想信号模型。阶跃信号和冲激信号在信号分析与处置中占有重要位置。2阶跃信号的数学描画延迟时间的阶跃函数 单位阶跃函数3阶跃信号的单边特性对函数 t0 部分的截取 5用阶跃函数闭式

3、表示分段光滑信号x(t) = 2(t)- 3(t-1) +(t-2) 4阶跃信号的加窗特性对脉冲范围内的截取 6单位阶跃函数的积分为单位斜坡信号1冲激信号的物理背景 冲激信号反映一种继续时间极短，函数值极大的脉冲信号的极限，如：雷击电闪、短促而剧烈的干扰信号、瞬间作用的冲击等等。3、单位冲激信号单位冲激信号的特征：宽度无穷小脉宽、高度无穷大脉高、面积为1强度为1的窄脉冲。留意：图中K为强度，要括住！2冲激信号(t)的数学描画 延迟单位冲激1(t)的狄拉克定义单位冲激函数普通冲激信号2 脉冲函数极限定义法矩形脉冲逼近： 脉冲逼近：对n(t)求导矩形脉冲pn(t) 3冲激函数的性质 1 与普通函数

4、 x(t) 的乘积筛分性质假设x(t)在 t = 0 、 t = t0处存在，那么 x(t)(t) = x(0)(t) ， x(t)(t t0) = x(a) (t t0) 冲激函数把信号在充激时辰的值“筛分出来，赋给冲激函数作为冲激强度。延续信号与冲激函数相乘再积分，等于冲激时辰的信号值,这就是抽样性质。 2 与普通函数 x(t) 的乘积再积分抽样性质4冲激函数与阶跃函数关系：可见，引入冲激函数之后，延续点的导数也存在。如x(t) = 2(t +1)-2(t -1)x(t) = 2(t +1)-2(t -1)求导nn 4、冲激函数的导数(t) 也称冲激偶信号 ( t) = (t) 为偶函数

5、( t) = (t) 为奇函数1冲激偶信号的数学描画2冲激偶信号的性质 1 与普通函数 x(t) 的乘积筛分性质 2 抽样性质 0(t)例：简化以下表达式。 5、指数信号1指数信号的数学描画1实指数信号指数规律增长指数规律衰减直流2复指数信号增幅振荡衰减振荡等幅振荡复指数信号是延续信号与系统的复频域分析中运用的根本信号。其中复频率s中的实部绝对值的大小反映了信号增长或衰减的速率，虚部的大小反映了信号振荡的频率。2用复指数信号表示正余弦信号 6、抽样信号抽样信号的数学描画：2.1.2 延续时间信号的冲激表示恣意延续信号可以表示为无限多个不同加权的冲激信号之和。 傅里叶生平1768年生于法国180

6、7年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示拉格朗日反对发表1822年初次发表在“热的分析实际一书中1829年狄里赫利第一个给出收敛条件非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示 傅立叶的两个最主要的奉献周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和2.2 周期信号的傅里叶分析傅里叶分析的工程意义各种频率的正弦信号的产生、传输、分别和变换容易工程实现。正弦量只需三要素即可描画，LTI系统的输入和输出的差别只需两要素，即系统的作用只改动信号的振幅和相位。 是LTI系统的特征函数，呼应易求且简单。1、傅里叶分析的根本信号单元2、适用于广泛的信号 由虚指数或正弦信号的线性组合可以组成工程中各种信号，使得对

7、恣意信号作用下的LTI系统进展频域分析成为一件容易的事情。利于滤波、紧缩处置。3、频域分析的优势恣意信号分解成不同频率虚指数正弦信号的线性组合，分析LTI系统对这些不同频率单元信号作用的呼应特性的过程就是频域分析。频率分析可以方便求解系统呼应。 例如相量法。频域分析的结果具有明显的物理意义，例如抽样定理和无失真传输概念都是频域分析的结果。可直接在频域内设计可实现的系统，例如滤波器的设计。狄里赫利条件1、在一个周期内只需有限个延续点；2、在一个周期内有有限个极值点；3、在一个周期内函数绝对可积，即正交函数与正交函数集正交函数：假设两个函数g1(t)、g2(t)在区间(t1,t2)内满足那么阐明这

8、两个函数在区间(t1,t2)正交，或称它们是区间(t1,t2)上的正交函数。正交函数与正交函数集正交函数集：假设函数集gi(t) 在区间(t1,t2)内且函数g1(t) ，. gn(t) 满足那么这个函数集就是正交函数集，当ki=1时为归一化正交函数集。满足一定条件的信号可以被分解为正交函数的线性组合假设正交函数集是完备的，那么：三角函数集是最重要的完备正交函数集三角函数是根本函数；用三角函数表示信号，建立了时间与频率两个根本物理量之间的联络；单频三角函数是简谐信号，易于产生、传输、处置；三角函数信号经过LTI系统后，仍为同频三角函数信号。三角函数集：完备正交函数集复指数函数集：1、傅里叶级数

9、的三角方式设周期信号x(t)，其周期为T1，角频率1=2/T1，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数 称为x(t)的傅里叶级数 系数ak , bk称为傅里叶系数 可见， ak 是k的偶函数， bk是k的奇函数。2.2.1 周期信号的傅里叶级数式中，C0 = a0上式阐明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 其中， C0为直流分量； C1cos(1t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信号一样； C2cos(2 1t +2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍；普通而言，Ckcos(k 1t+k)称为k次谐波。 可见Ck是k的偶函数， k是k的奇函数。ak

10、= Ckcosk， bk = Cksin k，k=1,2,将上式同频率项合并，可写为由前知引入了负频率其中由欧拉公式指数级数2、傅里叶级数的指数方式三角方式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因此经常采用指数方式的傅里叶级数。可从三角方式推出：利用 cosx=(ejx + ejx)/2 称其为复傅里叶系数，简称傅里叶系数。 (k = 0, 1, 2，) 阐明：恣意周期信号x(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。 X0 = C0为直流分量。两种傅氏级数的系数间的关系: 3、三角方式与指数方式的比较三角方式便于电路计算，便于对称性分析指数方式是本课程研讨的主要方式可推出傅里叶变换 表

11、达最简练 k = 0, 1, 2， 指数方式的优势 代表频谱2.2.2 典型周期信号的频谱 从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。 周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即 将Ck和k的关系分别画在以为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图。由于k0，所以称这种频谱为单边谱。 也可画|Xk|和k的关系，称为双边谱。假设Xk为实数，也可直接画Xk 。1、周期矩形脉冲信号的频谱周期矩形脉冲信号的脉冲宽度为，脉冲幅度为A，周期为T1，求频谱。 离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期越大，谱线越密；各

12、分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比，与周期成反比；各谱线的幅度按 包络线变化；过零点为： ；主要能量在第一过零点内。主频带宽度为：周期矩形脉冲信号频谱的特点：谱线的构造与波形参数的关系：(a) T1一定，变小，此时1谱线间隔不变。两零点之间的谱线数目增多。周期不变时，脉冲宽度越窄，其频谱包络线第一个零值点的频率越高，即信号的带宽越大，频带内所含的分量越多 。假设周期无限增长这时就成为非周期信号，那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号的延续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。 (b) 一定，T1增大，间隔1减小，频谱变密。幅度减小。2、周期三角脉冲信号的频谱2.3 非

13、周期信号的傅里叶变换2.3.1 从傅里叶级数到傅里叶变换 非周期信号x(t)可看成是周期T1时的周期信号。 前已指出当周期T1趋近于无穷大时，谱线间隔1趋近于无穷小，从而信号的频谱变为延续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍有差别。 为了描画非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。令 (单位频率上的频谱 称X()为频谱密度函数。思索到：T1，1无穷小，记为d； k 1 由离散量变为延续量，而同时， 于是，傅里叶变换式“-傅里叶反变换式X()称为x(t)的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱。x(t)称为X()的傅里叶反变换或原函数。根据傅里叶级数也可简记为或 x(t)

14、 X()X()是一个密度函数的概念X() 是一个延续谱X() 包含了从零到无限高频的一切频率分量各频率分量的频率不成谐波关系非周期信号FT的物理意义X()普通是复函数，写为阐明： (1)前面推导并未遵照严厉的数学步骤。可证明，函数x(t)的傅里叶变换存在的充分条件:(2)用以下关系还可方便计算一些积分。|X()|幅度谱 ()相位谱非周期信号的幅度频谱是频率的延续函数，其外形与相应周期信号频谱的包络线一样。 2.3.2 典型非周期信号的频谱单边指数信号 x(t) = et(t)， 0实数2. 矩形脉冲信号 门函数 3. 符号函数 4. 单位冲激信号 5. 直流信号(t)1代入反变换定义式，有将t

15、，t-再根据傅里叶变换定义式有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，(t) 等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。 可构造一函数序列xn(t)逼近x (t) ，即而xn(t)满足绝对可积条件，并且xn(t)的傅里叶变换所构成的序列Xn()是极限收敛的。那么可定义x(t)的傅里叶变换X ()为这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换。 广义傅里叶变换6. 单位阶跃信号 7. 双边指数信号 x(t) = et , 0 2.3.3 傅里叶变换的性质1. 线性(Linear Property)假设，那么对于恣意常数a1和a2，有 证明: F a1 x1(t) + a2 x2(t)= a1

16、X1() + a2 X2() 2. 对偶性(Symmetrical Property)假设 x (t) X() 那么证明:1in (1) t ，t then 2in (2) - then X(t) 2x () endX( t ) 2x ()3. 尺度变换性质(Scaling Transform Property)假设 x (t) X() 那么 其中 “a 为不等于零的实常数。证明：F x (a t ) =For a 0F x (a t ) for a 0时收敛域收敛边境即单边拉氏变换的ROC为：Res= 0可以归纳出ROC的以下性质：1. ROC是 S 平面上平行于 轴的带状区域。2. 在RO

17、C内无任何极点。3. 时限信号的ROC是整个 S 平面。4. 右边信号的ROC是 S 平面内某一条平行于 轴的直线的右边。The Region of Convergence for Laplace Transforms假设 ，那么阐明 也在收敛域内。假设 是右边信号, , 在ROC内，那么有 绝对可积，即：5. 左边信号的ROC是S平面内的一条平行于 轴的直线的左边。 假设 是左边信号，定义于 , 在 ROC 内， ，那么阐明 也在收敛域内。6. 双边信号的ROC假设存在，一定是 S 平面内平行于 轴的带形区域。例1.调查零点，令得例2.有极点 显然 在 也有一阶零点，由于零极点相抵消，致使在

18、整个S平面上无极点。当 时，上述ROC有公共部分，当 时，上述 ROC 无公共部分，阐明 不存在。 当 是有理函数时，其ROC总是由 的极点分割的。ROC必然满足以下规律： 1. 右边信号的ROC一定位于 最右边极点的右边。 2. 左边信号的ROC一定位于 最左边极点的左边。 3. 双边信号的ROC可以是恣意两相邻极点之间的带状区域。例3.可以构成三种 ROC： ROC： 此时 是右边信号。 ROC： 此时 是左边信号。 ROC： 此时 是双边信号。(1) (t) 1， -(2) (t)或1 1/s ， 0利用0_系统，可以计算信号在 t=0 时发生的冲激。全 s 域内均存在拉氏变换。留意：阶

19、跃信号只在 的区域内存在拉 氏变换， 是区域边境。 是 的极点实部。当s 的实部 时， ，故 3、常见信号的拉氏变换时，有留意：指数信号只在 的区域内存在拉氏变换， 是区域边境。cos0t = (ej0t+ e-j0t )/2 sin0t = (ej0t e-j0t )/2j (3) 指数函数e-s0t -Res0= 04、拉氏变换的性质 线性时移频移尺度变换t 域微分s 域微分t 域积分s 域积分t 域卷积例1:求如图信号的单边拉氏变换。解：x1(t) = (t) (t-1)， x2(t) = (t+1) (t-1)X1(s)=X2(s)= X1(s)留意: X2(s) 例2:求x(t)=

20、e-2(t-1)(t1) X (s)=?例3:求x(t)= e-2(t-1)(t) X (s)=?x(t)= e-2t e2(t)例4:知x1(t) X1(s), 求x2(t) X2(s)。解： x2(t) = x1(0.5t) x10.5(t-2)x1(0.5t) 2X1(2s)x1 0.5(t-2) 2X1(2s)e-2sx2(t) 2X1(2s)(1 e-2s)例5:知因果信号x(t)的象函数X(s)= 求e-tx(3t-2)的象函数。 解：e-tx(3t-2) 例6: (n)(t) ? 例7:例9: t2(t) ? 解:例8: t (t) ?例10：例11:知因果信号x(t)如图 ,求X(s)。解:由于x(t)为因果信号，故 x(0-)=0结论：假设x(t)为因果信号，知x(n)(t) Xn(s) 那么 x(t) Xn(s)/sn2.5.2 拉普拉斯逆变换1、根本思想 根据线性性质，把象函数分解为根本单元的组合，再求取拉普拉斯逆变换。 直接求取相当困难！的根