弹性力学-薄板弯曲课件

1、1第十二章 薄板弯曲概述第一节 基本假设 第二节 基本方程第三节 横截面上的内力第四节 薄板的边界条件第五节 薄板弯曲的直角坐标求解第六节 圆形薄板的轴对称弯曲第七节 变分法求薄板的位移2薄板弯曲概述薄板区别于厚板。通常情况下，板的厚度t与板面的最小尺寸b的比值满足如下条件。则称为薄板。 将坐标原点取于中面内的一点，x 和y 轴在中面内，z 垂直轴向下，如图所示。 我们把平分板厚度的平面称为中面。3 当薄板受有一般载荷时，总可以把每一个载荷分解为两个分量，一个是垂直于中面的横向载荷，另一个是作用于中面之内的纵向载荷。对于纵向载荷，可认为它沿薄板厚度均匀分布，按平面应力问题进行计算。本章只讨论由

2、于横向载荷使薄板弯曲所引起的应力、应变和位移。薄板弯曲4第一节 基本假设 薄板小挠度弯曲问题，通常采用如下假设：（1）板厚不变假设即：在垂直于中面的任一条法线上，各点都具有相同的挠度。（2）中面法线保持不变假设 垂直于中面方向的正应变 很小，可以忽略不计。 即 ，由几何方程得 ，从而有：薄板弯曲5 在变形前垂直于中面的直线，变形后仍为直线，并垂直于弯曲后的中面。即（3）板面为中性层假设即由几何方程得（4）应力 对变形的影响很小，可以略去不计。亦即认为薄板弯曲6第二节 基本方程 按位移求解薄板弯曲问题。取薄板挠度 为基本未知量，把所有其它物理量都用 来表示。（1）几何方程 在薄板的中面上取一微小

3、矩形ABCD如图所示。它的边长为dx和dy，载荷作用后，弯成曲面ABCD。设A点的挠度为 ，弹性曲面沿x和y方向的倾角分别为 和 ，则薄板弯曲7B点的挠度为D点的挠度为 由 和 可知或写成对z进行积分，并利用 ，得于是应变分量用 表示为:薄板弯曲8 小变形下，由于挠度是微小的，弹性曲面在坐标方向的曲率可近似地用挠度 表示为:所以应变分量又可写成薄板弯曲9薄板弯曲（2）物理方程 不计 所引起的应变，物理方程为：把应力分量用应变分量表示，得：10薄板弯曲（3）弹性曲面微分方程 在不计体力的情况下，由平衡方程的前二式得： 上式说明，主要的应力分量 沿板的厚度线性分布。将应力分量用挠度 表示，得：11

4、薄板弯曲 将应力分量用挠度 表示的物理方程代入上式，并化简得： 由于挠度 不随z 变化，且薄板在上下面的边界条件为：12薄板弯曲将上列二式对z 进行积分，得：再由平衡微分方程第三式，得：将 用挠度 表达式代入，并化简得：（1）13薄板弯曲由于挠度 不随z 变化，且薄板有边界条件:将（1）式对z 积分，得: 设在薄板顶面上每单位面积作用的载荷q(包括横向面力和横向体力），板上面的边界条件为:将 的表达式代入该边界条件，得薄板挠曲微分方程:14薄板弯曲其中称为薄板的弯曲刚度。 薄板挠曲微分方程也称为薄板的弹性曲面微分方程，它是薄板弯曲问题的基本微分方程。15薄板弯曲第三节 横截面上的内力 在薄板横

5、截面上取一微分六面体，其三边的长度分别为 ,如图所示。在垂直于x 轴的横截面上，作用着正应力 和剪应力 。由于 和 在板厚上的总和为零，只能分别合成为弯矩 和扭矩 ；而 只能合成横向剪力 。 显然，在垂直于x 轴的横截面上，每单位宽度之值如下：16 薄板弯曲同理17 薄板弯曲将上节给出的应力分量与挠度 之间关系代入，并积分得：上式称为薄板弯曲问题中内力与变形之间的弹性方程。18 薄板弯曲 利用应力分量与挠度 之间的关系、薄板挠曲微分方程以及内力与形变之间的弹性方程，消去 ，可以给出各应力分量与弯矩、扭矩、剪力、载荷之间的关系。19薄板弯曲 显然，沿着薄板的厚度，应力分量 的最大值发生在板面，

6、和 的最大值发生在中面，而 之最大值发生在载荷作用面。并且，一定载荷引起的应力分量中， 在数值上较大，因而是主要应力； 及 数值较小，是次要的应力；挤压应力 在数值上最小，是更次要的应力。因此，在计算薄板的内力时，主要是计算弯矩和扭矩。20 薄板弯曲第四节 薄板的边界条件以图示矩形板为例：1、 固定边 假定OA 边是固支边界，则边界处的挠度和曲面的法向斜率等于零。即：2、 简支边 假设OC 边是简支边界，则边界处的挠度和弯矩My21薄板弯曲等于零。即：由于且在OC上即则简支边OC 边界条件可写成：22 薄板弯曲3、自由边 板边CB 为自由边界，则沿该边的弯矩、扭矩和横向剪应力都为零，即：由于扭

7、矩可以变换为等效的剪力，故第二及第三个条件可合并为：23 薄板弯曲将Mx、Qx、Mxy与 的关系代入，得自有边界CB 的边界条件为：24 薄板弯曲第五节 薄板弯曲的直角坐标求解 用位移法求解薄板弯曲问题，通常采用半逆解法。首先设定具有待定系数的薄板挠度 的表达式；其次利用薄板曲面微分方程和边界条件，确定待定常数；最后由挠度与应力分量的关系，求得应力分量。例1 试求边界固定的椭圆形薄板在承受均布载荷q 后的最大挠度和最大弯矩。解：在图示坐标下，椭圆薄板的边界方程为:25 薄板弯曲设挠度的表达式为:其中C为常数。设n为薄板边界外法线，则在薄板的边界上应有:注意到显然所设挠度 的表达式满足固定边界条

8、件。26薄板弯曲将挠度 的表达式代入弹性曲面微分方程得:从而内力27 薄板弯曲最大挠度为:最大弯矩为（设ab):其中28 薄板弯曲例2、试求图示四边简支，承受均布载荷 的矩形薄板之最大挠度。解：取图示坐标系设则在x=0及x=a边界上，边界条件自然满足。将 的表达式代入弹性曲面微分方程29 薄板弯曲得将 展为傅立叶级数其中m为偶数m为奇数则取微分方程的特解为：30 薄板弯曲并注意到挠度 是y 的偶函数，则非齐次线性常微分方程的一般解为:利用边界条件 (已用对称性）处， 得31 薄板弯曲挠度的表达式：若a=b，则可见，在级数中仅取两项，就可以达到较高的精度。32 薄板弯曲第六节 圆形薄板的轴对称弯

9、曲 求解圆板弯曲问题时，采用极坐标较方便。如果圆形薄板所受的横向载荷是绕z 轴对称的（z 轴垂直板面朝下），则该弹性薄板的位移也将是绕z 轴对称的，即 只是r 的函数，不随 而变。一、弹性曲面微分方程 参照直角坐标下的弹性曲面微分方程。极坐标下，圆形薄板轴对称弯曲时，曲面微分方程可写成：或33 薄板弯曲二、内力展开后得：该微分方程的通解为其中 是任意一个特解。 从薄板内取出一个微分单元体，图示。在 r 为常量的横截面上，弯矩和横向剪力分别为Mr 和 ；在 为常量的横截面上，则为 和 。由于是轴对称问题，故没有扭矩。34 薄板弯曲 把x 轴和y 轴分别转到这个微分单元体的r 和 方向，则利用坐标

10、转换公式，有：35 薄板弯曲三、应力分量利用坐标转换公式，同理有：将应力分量用内力表示有：36薄板弯曲例3、半径为a的实心圆板，周边固支，受均布载荷 及圆心处的集中力P 作用，求挠度。解：由题意知，本题为圆板轴对称弯曲，挠曲线方程为：取特解知通解为由实心圆板中心处的挠度 应有界知：从板中取出半径为r 的部分圆板，由z方向的平衡条件给出37薄板弯曲故而又有故由 得由 得故板的挠度38薄板弯曲第七节 变分法求薄板的位移 薄板小挠度弯曲时， 为微量，可略去不计。此时弹性薄板的变形能:用挠度 表示:39 薄板弯曲其中A为薄板面积。 对于板边固定的任意形状板，以及板边界处 的多边形（板中无孔洞），由分步

11、积分公式得:对于固定板， 即对于沿板边 的矩形板，总有 或因此40薄板弯曲即弹性板的变形能简化为：例4 求四边简支矩形板 在均布载荷 作用下的挠度。解：用里兹法。取板的挠度为如下重三角级数显然，该级数的每一项都满足四边简支的边界条件。板的弹性变形能：41 薄板弯曲在均布载荷 作用下，外力势能V 为总位能:由取极值的条件得出：（ m,n均为奇数）42 薄板弯曲由此得出故（ m,n均为奇数）(m或n为偶数时）43薄板弯曲习题12.1 矩形薄板具有固定边OA，简支边OC及自由边AB和BC，角点B处有链杆支承，板边所受荷载如图所示。试将板边的边界条件用挠度表示。xyzM0qoACBab解：（1）OA边（2）OC边后一式用挠度表示为44薄板弯曲（3）AB边用挠度表示为（4）BC边45薄板弯曲用挠度表示为（5）在B支点46薄板弯曲习题12.2 有一块边长分别为a 和b 的四边简支矩形薄板，坐标如图所示。受板面荷载 作用，试证 能满足一切条件，并求出挠度、弯矩和反力。xyzoab解： 不难验证 能满足所有简支边的边界条件，由挠曲面方程可确定 ，从而求出挠度、弯矩和反力。47薄板弯曲48薄板弯曲49薄板弯曲习题12.