数理方程与特殊函数：勒让德多项式及其应用

1、1本次课主要内容勒让德多项式及其应用(一)、勒让德多项式的母函数(二)、勒让德多项式的递推公式(三)、勒让德多项式正交性与展开定理(四)、勒让德多项式的应用 2(一)、回顾1、n阶勒让德方程:n为实数或复数.本课程只考虑实数情形。2、n阶勒让德方程的通解(1)、当n为一般实数时，通解可表达为：3其中：(2) 当n是整数时，方程的通解为：Qn(x)称为第二类勒让得函数，在-1,1上无界。3、勒让德多项式的罗得利克公式 44、勒让德多项式的积分表达式 (一)、勒让德多项式的母函数可以证明：5关于勒让德多项式母函数等式的说明1、由拉普拉斯方程的基本解引出一个复变函数在上图中,置于北极处的正点电荷在M

2、处产生电势为：1drxyzM6据此引出复变函数如下：其中：x1 显然：G (x, z)在单位园z1内解析。于是考虑其在z=0处的幂级数展开，得到：其中：7C是单位园内包围z=0的任意一条闭曲线。2、可以证明：C n( x )是n阶勒让德多项式。 证明：作代换：则：8为勒让德多项式的母函数称例1、证明：证明：在母函数中取x=1时有：9所以：取x=-1时有：所以：例2、证明：10证明：在母函数中取x=0得：由于：所以11例3、证明：证明：在母函数中用-x代x，同时用-z代z得：所以得：注：对于n阶勒让得多项式Pn(x)，n为奇数时是奇函数，n为偶数时为偶函数。(二)、勒让德多项式的递推公式(重点)

3、12三个公式中，n=1,2,3.先证明公式1：由母函数两端对z求导数得：13进一步得：对上式整理得：14于是得：15于是得：所以，当n1时有：公式2的证明：将母函数两端z求导得：16进一步得：将母函数两端对x求导得：进一步得：比较(1)与(2)得：17公式3的证明：由公式1两端对x求导得：又由公式2得：将(1)-(2)得：例4、证明：18证明：由递推公式2得：由(1)+(2)得：得：又由递推公式319(三)、勒让德多项式正交性与展开定理1、勒让德多项式正交性(重点) (1)、勒让德多项式正交性定理： 勒让德多项式序列：在-1,1上正交。即：20证明：由于Pm (x)与P n (x)分别为勒让得

4、方程的解，所以有：进一步得：21上面两个式子相减得：两边积分得：22于是得：即得：(2)、归一性定理定理：勒让得多项式满足：证明：当n= 0，1时，易证明结论成立；23设n=m时结论成立，下面证明：由递推公式：取n=m得：进一步有：24两边积分得：又在递推公式中令n=m+1得：代入得：由归纳法知定理成立。25称 为n阶勒让得多项式的模。由于：所以，上面定理称为归一性定理。2、函数的勒让德多项式展开勒让德多项式展开定理：若且：f (x)在-1,1上分段连续，则：26在-1,1上可以展开为绝对且一致收敛的级数：其中：例6、将f (x)=|x|按勒让德多项式展开.解：27解：由于P2n+1(x)为奇

5、函数，所以C2n+1=0.下面计算C2n,当n=0时：当n1时：28对于29对于所以：30所以：31于是得展开式为：例7 计算解：由于32所以：33例8、将f (x)=x2+x3按勒让德多项式展开.解：显然，展开式具有形式：所以：34例9、求球域内的电位分布：在半径为1的球域内求调和函数u，使它在球面上满足：(四)、勒让德多项式的应用 分析：根据边界条件的形式可以断定：u只与r,有关，即解具有轴对称性。解：定解问题为：35分离变量令：令： 得：方程(2)是n阶勒让得方程。36令：由问题的物理意义，u (r，)必须在0，上有界，因此，n必须为整数。得：又另一个常微分方程(欧拉方程)的通解为：要使u有界，必须Dn=03